淺析不同情形質量的測量方法

物體的質量是物體所含物質的多少，是物理學中一個重要的物理量。不同情況物體質量大小的測量方法是不相同的，下面筆者歸納幾種測量質量的方法。

一、利用天平測量普通物體的質量

天平是等臂杠桿，如圖1所示，當天平平衡時有m物g=m碼g，因同一地點g相同，故有m物=m碼。在不同地點由于g值不同而砝碼的重力是不同的，所以砝碼的標稱值也只能是不變的質量值。

圖1

值得指出的是，重力加速度g是在計算時消去的，并非原理上不存在，想像一臺特大的天平，它的兩臂伸到地球上g值不等的兩個地方，平衡時有m物g1=m碼g2，即m物≠m碼。由此也可以知道，在沒有重力加速度(無引力場)的地方，天平也就無法稱量了。利用天平測量，方法比較簡單，因此不再舉例說明。

桿秤和磅秤是不等臂杠桿，其原理與天平相同，它們稱出來的也是質量值。因此正常情況一般物體的質量都可以用天平或者桿秤和磅秤測量。

市場交易中計量商品的應當是質量而不是重力。目前市場上常見的，而且受到歡迎且正進一步推廣的電子秤和臺秤被用來測量商品質量。電子秤是將壓力轉化為電學量(電壓、電流、頻率)，通過數碼管顯示出數量。臺秤是根據內部彈性材料受到壓力形變而帶動指針指出數量。電子秤和臺秤都是測力工具，只是它們的刻度通過變換，轉換成質量值。由于各地的g值不同，制造廠檢驗出廠的電子秤或臺秤，使用地按理應當重新加以校準，但各地的g值相差極微，完全能達到商品質量測量的精度范圍，所以，核準這步也就被省略了。實際上以上幾種方法都利用了物體的重力來進行測量。

二、利用動力學測量變速運動物體的質量

根據牛頓第二定律，已知物體所受到的合外力和該物體的加速度可以求解出物體的質量，這種求解方法就是用動力學測量物體的質量方法。

圖2

【例1】 (高中物理必修I)1966年曾在地球上空完成了以牛頓第二定律為基礎的測定質量的實驗。實驗時，用雙子星號宇宙飛船m1去接觸正在軌道上運行的火箭組m2，接觸以后，開動飛船尾部的推進器，使飛船和火箭組共同加速，如圖2所示，推進器的平均推力等于895N，推進器開動7.0s，測出飛船和火箭組的速度變化是0.91m/s，已知雙子星號宇宙飛船的質量m1=3400kg，則火箭組的質量m2是多大?

解析:將m1和m2看作一個整體，由牛頓第二定律知F=(m1+m2)a ①

由運動學規律知 Δv=at ②

將數據代入②式得到 a=0.13m/s2 ③

將③式代入①式得到 m1+m2=6884.6kg，即火箭組的質量m2=3484.6kg。

實際上，火箭組的質量m2已經事先測出，為3660kg，與動力學測得的結果相差不到5%，正在預期的誤差范圍之內。這次實驗的目的是發展一種技術，找出測量軌道中人造天體的質量的方法。

三、利用質譜儀測量帶電粒子的質量

帶電粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動的半徑為r=mvBq，即m=Bqrv。通過已知帶電粒子的電量，測出運動半徑r，電流磁場的磁感應強度B和使帶電粒子加速的電場的電勢差得到v，就可以求出此帶電粒子的質量。

圖3

圖4

圖5

【例2】 (2001年江浙高考)如圖3是測量帶電粒子質量的儀器工作原理示意圖。設法使某有機化合物的氣態分子導入圖中所示的容器A中，使它受到電子束轟擊，失去一個電子變成正一價的分子離子。分子離子從狹縫s1以很小的速度進入電壓為U的加速電場區(初速不計)，加速后，再通過狹縫s2、s3射入磁感強度為B的勻強磁場，方向垂直于磁場區的界面PQ。最后，分子離子打到感光片上，形成垂直于紙面而且平行于狹縫s3的細線。若測得細線到狹縫s3的距離為d。導出分子離子的質量m的表達式。

解析:如圖4所示，以m、q表示離子的質量、電量，以v表示離子從狹縫s2射出時的速度，由功能關系可得12mv2=qU，

射入磁場后，在洛倫茲力作用下做圓周運動，

由牛頓定律可得qvB=mv2R，

式中R為圓的半徑。感光片上的細黑線到s3縫的距離d=2R，解得m=qB2d28U。

如果帶電粒子的電量相同，而質量m有微小差別，它們進入磁場后將沿著不同的半徑做圓周運動，打到照相底片的不同地方，在底片上形成若干譜線狀的細條，叫做質譜線。每一條譜線對應于一定的質量;從譜線的位置可以知道圓周的半徑r，已知帶電粒子的電量q，利用例2中得到的結論，就可以算出它的質量m。圖5中所示的是鍺的質譜線，在譜線上標出的數字是鍺同位素的質量數。

四、利用圓周運動和萬有引力測定天體的質量

通過一個天體m(繞行體)繞著另一個天體M(中心體)做圓周運動，萬有引力提供向心力來求出中心天體的質量。即GMmr2=mv2r=m(2πT)2r=…，消去繞行體質量m來求解中心體質量M。

【例3】 (2005年廣東高考)已知萬有引力常量G，地球半徑R，月球和地球之間的距離r，同步衛星距地面的高度h，月球繞地球的運轉周期T1，地球的自轉周期T2，地球表面的重力加速度g。根據已知條件再提出三種估算地球質量的方法并解得結果。(此題略簡化)

解析:方法一:對同步衛星繞地球做圓周運動，由GMm(R+h)2=m(2πT)2(R+h)，

解得M=4π2(R+h)3GT22。

方法二:對月球繞地球作圓周運動，由GMmr2=m(2πT)2r，解得M=4π2r3GT22。

方法三:在地面重力近似等于萬有引力，由GMmR2=mg，解得M=gR2G。

五、其他測量方法(彈簧振子)

圖6

在某種情況下如果無法測量物體的重力，比如在太空中物體處于完全失重狀態，由以上知識可知，質量無法利用天平測量。同時，不符合以上其他三種情況，那么也無法利用以上其他三種方法進行測量。那么如何測量呢?可以想像一個不需要利用重力的方法來測量。如圖6所示，利用彈簧振子來測量。讓待測質量的物體(小球)與勁度系數為k的彈簧相連，使其做左右的簡諧運動，測得其做簡諧運動的周期T，由簡諧運動的周期公式T=2πmk，可以求出待測物體的質量為m=kT24π2。

(責任編輯 黃春香)