例談二分法的應(yīng)用

在二分法中，由于不斷取中點(diǎn)，區(qū)間不斷縮小，區(qū)間的中點(diǎn)逐漸逼近方程根(或函數(shù)零點(diǎn))的精確值，所以二分法體現(xiàn)了無限逼近的極限思想;二分法本質(zhì)上又是一種區(qū)間迭代的數(shù)值算法，滲透了算法思想;二分法還體現(xiàn)了非此即彼的哲學(xué)思想，它綜合了函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列、極限等多種知識，主要有以下三方面的應(yīng)用.

一、用二分法求方程的近似解

【例1】 用二分法求方程2x3-4x²-3x+1=0在區(qū)間(2，3)的實(shí)數(shù)解.(精確度0.01)

解:設(shè)f(x)=2x3-4x²-3x+1，由f(2)=-5<0，f(3)=10>0，由零點(diǎn)存在性定理知，區(qū)間(2，3)可作初始區(qū)間(2，3)，用二分法逐次計(jì)算列表如下:

由于精確度ε=0.01，二分次數(shù)是6次時(shí)，|2.53125-2.515625|=0.015625>0.01，不合題意;當(dāng)二分次數(shù)是7次時(shí)，|2.5234375-2.515625|=0.0078125<0.01，所以原方程的近似解可取為2.5234375.

點(diǎn)評:精確度與方程的精確解和近似解的差的絕對值有關(guān)，若這個(gè)絕對值小于某個(gè)數(shù)值，那么這個(gè)數(shù)值就是精確度.即若設(shè)方程的精確解為x*，近似解為xn，由于x*和xn都位于區(qū)間[an，bn]上，則|x*-xn|≤|bn-an|.人教A版教科書上定義了精確度的概念:若區(qū)間[an，bn]的長度|bn-an|<ε，則稱ε為方程近似解xn的精確度，此時(shí)|x*-xn|<ε.所以區(qū)間[an，bn]任意一個(gè)值都是滿足精確度ε的近似解，故該題取區(qū)間(2.515625，2.5234375)上的任何一個(gè)值都符合題意，為方便不妨取區(qū)間的端點(diǎn)作為近似解.

二、用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值

【例2】 已知函數(shù)f(x)=x3-x-1，x∈[1，1.5].

(1)當(dāng)精確度為0.01時(shí)，二分的次數(shù)最少為多少次可確定零點(diǎn)的近似值?

(2)用二分法求[1，1.5]的一個(gè)零點(diǎn).(精確到0.01)

解:(1)設(shè)函數(shù)零點(diǎn)的精確值為x*，近似值為xn，由精確度定義可知|bn-an|<ε，又|x*-xn|≤|bn-an|，所以|x*-xn|≤|b0-a0|2n<ε，即1.5-12n<0.01，則2n>50，n≥6，即二分的次數(shù)最少為6次可確定零點(diǎn)的近似值.

(2)由f(1)<0，f(1.5)>0，根據(jù)零點(diǎn)存在性定量可知，區(qū)間[1，1.5]可作為初始區(qū)間，用二分法逐次計(jì)算，列表如下:

當(dāng)二分次數(shù)是5次時(shí)，|1.3281-1.3125|=0.0155>0.01，不合題意;當(dāng)二分次數(shù)是6次時(shí)|1.3281-1.3203|=0.0078<0.01，符合精確度要求，∴x6=1.3242≈1.32即為所求零點(diǎn).

點(diǎn)評:該題首先要滿足精確度0.01，二分次數(shù)需6次，此時(shí)區(qū)間[1.3203，1.3281]兩端點(diǎn)精確到0.01，近似值不同，所以再取中點(diǎn)x6=1.3242≈1.32即為所求零點(diǎn).

當(dāng)區(qū)間兩端點(diǎn)精確到0.01數(shù)值相等時(shí)，函數(shù)零點(diǎn)的近似值即為端點(diǎn)的近似值，如在例1中，區(qū)間(2.515625，2.5234375)兩端點(diǎn)精確到0.01的近似值都

是2.52，那么該方程精確到0.01的實(shí)數(shù)解就是2.52，從中可看出“精確度”和“精確到”是有區(qū)別的，“精確到”往往和有效數(shù)字“形影不離”，是一個(gè)近似值，而“精確度”與精確值和近似值的差的絕對值有關(guān)，它可取區(qū)間上的任何一個(gè)值作為近似值.

三、用二分法思想解決實(shí)際問題

【例3】 在一個(gè)風(fēng)雨交加的夜里，從某水庫閘房到防洪指揮部的一條10km的電話線路發(fā)生了故障，如何迅速查出故障所在?如果沿著線路一小段一小段地查找，每查一次要爬一次電線桿，10km長的線路大約有200余根電線桿，維修電路的工人師傅如何工作才能把故障的范圍縮小到100m以內(nèi)?至少要查多少次?

解:設(shè)A表示閘門，B表示指揮部，

他首先從中點(diǎn)C

查，用隨身帶的話機(jī)向兩端測試時(shí)發(fā)現(xiàn)AC段正常，斷定

故障在BC段，再到BC中點(diǎn)D來查，這次發(fā)現(xiàn)BD段正

常，可見故障在CD段，再到CD的中點(diǎn)E來查……每查一次，就把待查的線路長度縮短一半，則由精確度定義得10×1032n<100，解得n≥7，即至少查7次就可以把故障發(fā)生的范圍縮小在100米以內(nèi).

點(diǎn)評:二分法不僅可用來求方程的近似解以及函數(shù)的零點(diǎn)，還可以用來查找線路、水管、氣管，還能用于實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)、資料查詢等，做到在最短的時(shí)間內(nèi)用最小的精力去解決問題.

參考文獻(xiàn):

[1]張勁松.高中數(shù)學(xué)課程中的二分法[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考.2008.

[2]劉曉娜.陽光課堂—數(shù)學(xué)必修1(A版)[M].北京:人民教育出版社，2009.

(責(zé)任編輯 金 鈴)