淺談類比在數學解題中的技巧

類比法是通過對有類似關系的不同對象進行比較、把其中某一對象的某些性質推移到另一對象上去的推理方法.如何才能巧類比找到解題思路，下面列舉幾例說明.

【例1】 已知函數f(x)是在R上的偶函數，且滿足f(x+1)+f(x)=1，f(x)=2x，則f(-15)的值為 .

分析:，f(-15)=f(15)，將f(x+1)+f(x)=1變形得到f(x+1)=1-f(x).類比函數y=sin2x，有sin2(x+π2)=1-sin2x，且y=sin2x的周期為2×π2.猜想:f(x)是周期函數，它的一個周期為2.

事實上，定義在R上的函數f(x)，若滿足f(x+a)=b-f(x)，f(x)一定是以2a為一個周期的函數.

因為f(x+2a)=f(x+a+a)=b-f(x+a)=b-[b-f(x)]=f(x).

所以函數f(x)是周期函數.

由此易知，f(x+2)=f(x+1+1)=1-f(x+1)=1-[1-f(x)]=f(x).

∴函數f(x)是一個周期為2的函數.

于是f(-15)=f(15)=f(2×7+1)=f(1)=2×1=2.

【例2】 已知x∈R，m為正常數，且f(x+m)(1-f(x))=1+f(x).

求證:f(x)是周期函數.

分析:將f(x+m)(1-f(x))=1+f(x)變形為f(x+m)=1+f(x)1-f(x)，可與公式tan(π4+x)=1+tanx1-tanx類比，而tanx最小正周期為π=π4×4，可猜想到f(x)的周期為4m.

證明:由條件得f(x+m)=1+f(x)1-f(x).

f(x+4m)=f(x+3m+m)=1+f(x+3m)1-f(x+3m)=1+1+f(x+2m)1-f(x+2m)1-1+f(x+2m)1-f(x+2m)=-1f(x+2m)

=-1-f(x+m)1+f(x+m)

=-1-1+f(x)1-f(x)1+f(x)1-f(x)=f(x).

而m>0，所以4m是f(x)的一個周期.

即f(x)是周期函數.

【例3】 函數y=x+4+15-3x的最大值是 .

分析:將函數y=x+4+15-3x變形為y=x+4+35-x，可類比三角函數公式asinα+bcosα=a2+b2sin(α+β).設cosα=x+4，sinα=5-x(0≤α≤π2)，則y=cosα+3sinα=2sin(α+π6)，

因為π6≤α+π6≤π2+π6.所以ymax=2.

【例4】 若|a|≤1，|b|≤1.

求證:ab+(1-a2)(1-b2)≤1.

分析:由ab+(1-a2)(1-b2)可類比三角函數公式cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β).

證明:設a=cosα，b=cosβ，α，β∈[0，π]，則

ab+(1-a2)(1+b2)=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β)≤1.

即ab+(1-a2)(1+b2)≤1.

以上幾例說明，運用類比解題需要有豐富的知識與聯想能力，這就需要學生在平時的解題過程中進行積極的思考與總結，從而提高運用類比解題的技巧.

(責任編輯 金 鈴)