探索技巧 優化解法

三角函數一直是高中數學的重要內容之一.在三角函數的相關題型中蘊含著豐富的數學思想方法，而靈活地運用這些思想方法解題，往往可以避免復雜的運算，優化解題過程，降低解題難度.本文通過實例介紹幾種常用的數學思想方法.

一、數形結合的思想

【例1】 設函數f(x)的圖象與直線x=a，x=b及x軸所圍成圖形的面積稱為函數f(x)在[a，b]上的面積，已知函數y=sinnx在[0，πn]上的面積為2n(n∈N+)，

(1)y=sin3x在[0，2π3]上的面積為 ;

(2)y=sin(3x-π)+1在[π3，4π3]上的面積為 .

分析:本題給出了y=sinnx在[0，πn]上的面積為2n，需要由此類比y=sin3x在[0，2π3]上的面積及y=sin(3x-π)+1在[π3，4π3]上的面積.這就需要尋求相似性，其思維的依據就是條件中給出的面積的定義和已知函數的面積，但要注意條件中所給出的是半個周期的面積.

解:(1)n=3時，y=sin3x的一個周期的面積為43;

(2)畫出y=sin(3x-π)+1在[π3，4π3]上的圖象，就可以容易地得出面積為π+23.

二、整體代換的思想

【例2】 已知sinx+siny=22，求cosx+cosy的取值范圍.

分析:利用整體代換構建不等式是求解此類問題的最基本的方法.

解:設u=cosx+cosy，將已知式與待求式兩邊平方得:

12=sin2x+2sinxsiny+sin2y，①

u2=cos2x+2cosxcosy+cos2y.②

①+②得:u2+12=2+2cos(x-y)，即2cos(x-y)=u2-32，又-2≤2cos(x-y)≤2，所以-2≤u2-32≤2，解得-142≤u≤142.

所以-142≤cosx+cosy≤142.

三、類比聯想的思想

【例3】 已知λ為非零常數，x∈R，且f(x+λ)=1+f(x)1-f(x).問f(x)是否是周期函數?若是，求出它的一個周期;若不是，請說明理由.

分析:由于探索的是周期函數的問題，容易聯想到三角函數.又f(x+λ)=1+f(x)1-f(x)的結構的形式可與tan(x+π4)=1+tanx1-tanx進行類比，故可把tanx看成是f(x)的一個原型實例，且題中的λ相當于實例中的π4.由于周期函數tanx的周期T=4×π4，所以可猜想f(x)也為周期函數，且周期為4λ.

解:f(x+2λ)=f[(x+λ)+λ]=1+f(x+λ)1-f(x+λ)=1+1+f(x)1-f(x)1-1+f(x)1-f(x)=-1f(x)，

則f(x+4λ)=f[(x+2λ)+2λ]=-1f(x+2λ)=f(x).

所以f(x)是周期函數，且4λ是它的一個周期.

四、一般問題特殊化的思想

【例4】 已知函數y=asin2x+cos2x的圖象的一條對稱軸是x=π8，則a= .

分析:正弦函數、余弦函數和正切函數的圖象具有軸對稱性或中心對稱性，且其對稱軸通過函數圖象的最高點或最低點(即對稱軸與x軸交點的橫坐標使函數取得最大或最小值).特殊地，因為x=π8是函數y=asin2x+cos2x的一條對稱軸，且該函數定義域為R，所以當x=0和x=π4時函數值相等.易得a=1.

綜上所述，數學解題不能滿足于單純的就題論題，應在知識與能力之間架設一座橋梁，使學生掌握數學中最本質的東西——數學思想.只有選擇了適當的思想方法才能使學生清除思維障礙，巧妙解決數學問題，從而發展自身的創造性思維能力.

(責任編輯 金 鈴)