三類圓錐曲線“焦半徑公式”的一套記憶口訣

人教版高中數學第二冊(上)第八章《圓錐曲線方程》涉及三類圓錐曲線的統一定義，即圓錐曲線第二定義:平面內與一定點F和它到定直線的距離的比是常數e的點的軌跡，叫圓錐曲線，點F叫做圓錐曲線的焦點，直線l叫做圓錐曲線相應于焦點F的準線;常數e叫做離心率，這里e>0，當e>1時軌跡是雙曲線;當00}，由此便產生了一個非常有用的“焦半徑公式”.本文將通過推導焦半徑公式，總結出一套記憶公式的口訣，并在應用中體現公式的價值.

(注:焦半徑實際是圓錐曲線上任一點P與焦點F的距離，即|PF|.)

一、推導橢圓的焦半徑公式

結合橢圓的幾何性質及第二定義，設動點P(x0，y0).

圖1

設橢圓標準方設為程x2a2+y2b2=1(a>b>0)，F1(-c，0)，F(c，0)，e=ca(c>0)(如圖1).

左準線l1:x=-a2c;右準線l2:x=-a2c.

|PF1||PM|=e，|PF2||PN|=e.

∵|x0|

即|PF1|=e(a2c+x0)=a2c×ca+ex0=a+ex0;

|PF2|=e(a2c-x0)=a2c×ca+ex0=a-ex0.

不難發現:|PF1|與|PF2|僅與a、e、x0有關，符合“左+右-”規律.

同理可得，當橢圓標準方程為y2a2+x2b2=1(a>b>0)時，

|PF1|與|PF2|僅與a、e、y0有關，符合“下+上-”規律.

因此，對于橢圓的兩種情況而言，焦半徑公式的得到有方法:看方程得焦點，依焦點定公式.公式符合:“左+右-，下+上-”規律，左表示左焦點;右表示右焦點;下表不下焦點;上表示上焦點.

二、雙曲線和拋物線的焦半徑公式

對于雙曲線的兩種情況而言，焦半徑公式的得到有方法:一看方程定焦點;二看動點在哪支;三依動點判長短;四依口訣得公式.公式符合“左+右-;下+上-;長正短負”規律.左表示左焦點，右表示右焦點，下表示下焦點，上表示上焦點;然后依動點，判斷|PF1|與|PF2|的長短，視a+ex0，a-ex0，a+ey0，a-ey0為整體，依|PF1|與|PF2|的長短添正或負號.

對于拋物線的四種情況而言，焦半徑公式的得到有方法:看方程得焦點;依準線寫公式.公式符合“左+右-;下+上-”規律.

以上兩組口訣請讀者自行證明.歸納三類圓錐曲線的焦半徑公式，可得到統一記憶的口訣:“左+右-;下+上-;遇見雙曲，長正短負”.

有了上述記憶口訣，在應用中就可以靈活而準確地解決問題，現舉兩例加以說明.

【例1】 在雙曲線x213-x212=-1的一支上有不同的三點

A(x1，y1)，B(x2，6)，C(x3，y3)與焦點F(0，5)的距離成等差數列，求y1+y3的值.

解:雙曲線方程為y212-x213=1，F(0，5)，

又B(x2，6)、A、C在同一支，即上支上.

|AF|=-(a-ey)，|BF|=-(a-ey2)，|CF|=-(a-ey3).

又∵A、B、C到F的距離成等差數列，

∴-2(ey2-a)=-(a-ey1)(a-ey3)，∴y1+y3=2y2=12.

【例2】 拋物線y=4x2上一點M到焦點的距離為1，則點M的縱坐標是().

A.1716B.1516C.78D.0

解:∵y=4x2，∴p=18.設M(x，y)，

∴116+y=1，∴y=1516.故選B.

(責任編輯 金 鈴)