用定義巧解圓錐曲線高考題

圓錐曲線有兩種定義，第一種定義展示了三種圓錐曲線各自的幾何特征，第二種定義用統一的形式揭示了圓錐曲線的內在聯系，使焦點、離心率、準線構成了一個和諧的整體，在解決涉及焦半徑、焦準距等有關問題時，靈活運用圓錐曲線的兩種定義，往往能使解題過程簡潔明快，收到事半功倍的效果.

【例1】 (2009，全國)已知橢圓C:x22+y2=1的右焦點為F，右準線為l，點A∈l，直線AF交橢圓C于點B，若FA=3FB，則|AF|=().

A.2B.2C.3 D.3

解析:過點B作BM⊥l于M，并設右準線與x軸的交點為N，易知FN=1.由題意FA=3FB，故|BM|=23.又由橢圓的第二定義，得|BF|=22#8226;23=23.

∴|AF|=2，選A.

【例2】 (2009，北京)橢圓x29+y22=1的焦點為F1，F2，點P在橢圓上，若|PF1|=4，則|PF2|= ;∠F1PF2的大小為 .

解析:本題主要考查橢圓的定義、焦點、長軸、短軸、焦距之間的關系以及余弦定理.屬于基礎知識、基本運算的考查.

∵a2=9，b2=2，∴c=a2-b2=9-2=7，∴|F1F2|=27.

又|PF1|=4，|PF1|+|PF2|=2a=6，∴|PF2|=2，又由余弦定理得cos∠F1PF2=22+42-(27)22×2×4=-12，∴∠F1PF2=120°.故應填2，120°.

【例3】 (2009，遼寧)已知F是雙曲線x24-y212=1的左焦點，A(1，4)，P是雙曲線右支上的動點，則|PF|+|PA|的最小值為 .

解析:注意到P點在雙曲線的右支上，且雙曲線右焦點為F′(4，0)，

于是由雙曲線性質|PF|-|PF′|=2a=4，而|PA|+|PF′|≥|AF′|=5，

兩式相加得|PF|+|PA|≥9，當且僅當A、P、F′三點共線時等號成立.最小值為9.

【例4】 (2009，四川)已知直線l1:4x-3y+6=0和直線l2:x=-1，拋物線y2=4x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是().

A.2 B.3 C.115 D.3716

圖1

解析:直線l2:x=-1為拋物線y2=4x的準線，由拋物線的定義知，P到l2的距離等于P到拋物線的焦點F(1，0)的距離，故本題化為在拋物線y2=4x上找一個點P使得P到點F(1，0)和直線l2的距離之和最小，即最小值為F(1，0)到直線l1:4x-3y+6=0的距離，即dmin=|4-0+6|5=2.故選A.

【例5】 (2009，廣東)已知橢圓G的中心在坐標原點，長軸在x軸上，離心率為32，兩個焦點分別為F1和F2，橢圓G上一點到F1和F2的距離之和為12.圓Ck:x2+y2+2kx-4y-21=0(k∈R)的圓心為點Ak.

(1)求橢圓G的方程;

(2)求△AkF1F2的面積;

(3)問是否存在圓Ck包圍橢圓G?請說明理由.

解析:(1)設橢圓G的方程為:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，半焦距為c.由橢圓第一定義得

2a=12，ca=32，解得a=6，c=33.

∴b2=a2-c2=36-27=9.

所求橢圓G的方程為:x236+y29=1.

(2)點Ak的坐標為(-k，2)，S△AkF1F2=12×F1F2×2

=12×63×2=63.

(3)若k≥0，由62+02+12k-0-21=5+12k>0，可知點(6，0)在圓Ck外;

若k<0，由(-6)2+02-12k-0-21=5-12k>0，可知點(-6，0)在圓Ck外.

∴不論k為何值，圓Ck都不能包圍橢圓G.

【例6】 (2009，湖北)如圖2，過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的直線與拋物線相交于M、N兩點，自M、N向準線l作垂線，垂足分別為M1、N1.

圖2

(Ⅰ)求證:FM1⊥FN1;

(Ⅱ)記△FMM1、△FM1N1、△FNN1的面積分別為S1、S2、S3，試判斷S22=4S1S3是否成立，并證明你的結論.

解析:(1)由拋物線的定義得

|MF|=|MM1|，|NF|=|NN1|，

∴∠MFM1=∠MM1F，∠NFN1=∠NN1F.

設準線l與x的交點為F1，

∵MM1∥NN1∥FF1，

∴∠F1FM1=∠MM1F，∠F1FN1=∠NN1F，

而∠F1FM1+∠MFM1+∠F1FN1+∠N1FN=180°，

即2∠F1FM1+2∠F1FN1=180°.

∴∠F1FM1+∠F1FN1=90°.故FM1⊥FN1.

(Ⅱ)S22=4S1S3成立，證明如下:

設M(x1，y1)，N(x2，y2)，則由拋物線的定義得

|MM1|=|MF|=x1+p2，|NN1|=|NF|=x2+p2，

于是

S1=12#8226;|MM1|#8226;|F1M1|=12(x1+p2)|y1|;

S2=12#8226;|M1N2|#8226;|FF1|=12p|y1-y2|;

S3=12#8226;|NN1|#8226;|F1N1|=12(x2+p2)|y2|.

∵S22=4S1S3(12p|y1-y2|)2=4×12(x1+p2)#8226;|y1|#8226;12(x2+p2)|y2|

14p2[(y1+y2)2-4y1y2]=[x1x2+p2(x1+x2)+p24]|y1y2|.

將x1=my1+p2，x2=my2+p2與y1+y2=2mp，y1y2=-p2，代入上式化簡可得

p2(m2p2+p2)=p2(m2p2+p2)，此式恒成立.故S22=4S1S3成立.

在解圓錐曲線問題時如能有使用定義的強烈意識，必能達到化繁為簡的目的.

(責任編輯 金 鈴)