插空法的拓展

在解決排列組合的問題時，插空法一般用于特定元素不相鄰時，把它們插入已排好的其他元素形成的空隙中.其實插空法也可用于元素占位(位置多于元素)的不相鄰問題，現舉列說明.

【例】 將A、B兩種不同作物種于并排的10壟田中，為有利于作物生長，A、B兩種不同作物至少相隔6壟.

請問有多少種不同的種法?

一二三四五六七八九十

方法一:(分類原理)

選第一壟，則另一壟有八、九、十共3種選擇;

選第二壟，則另一壟有九、十共2種選擇;

選第三壟，則另一壟只有十這1種選擇.

或相隔6壟有3種選擇，相隔7壟有2種選擇，相隔8壟有1種選擇.

所以A、B兩種作物共有(1+2+3)×2=12種種法.

方法二:(插空法)

先取出6壟地，在剩下4壟中任取兩壟種植A、B兩作物，共有A24=12種，再將取出的6壟插入A、B兩作物中間還原成10壟，這樣就可保證A、B兩作物至少相隔6壟了.所以A、B兩種作物共有A24=12種種法.

[拓展一]在并排的20壟田中選3壟種同一作物，為有利于作物生長，種植的作物至少相隔4壟.有多少種不同的種法?

解析:此題如果用例題的方法一分類來解決，將相當麻煩，但用插空法來做，就很簡單了.

選出的3壟每兩壟至少相隔4壟，則要先取出8壟，在剩下的12壟中任取3壟即可，然后在取出的3壟中每兩壟之間分別加入4壟，這樣就還原成了20壟，且保證了作物之間至少相隔了4壟.所以共有C312=220種種法.

[拓展二]在1至20這20個自然數中任取3個數，并且取出的3個數每兩個數之間至少相差2，有多少種不同的取法?

解析:此題可轉化為將20個相同的球并排成一排，從中任取3個，使取出的每兩球之間至少相隔兩球，原20個球從左到右的順序數就代表1至20個自然數.

所以我們可以先取出4個球，在剩下的16個球中任選定(不取出)3個標上記號，再把選定的每兩個球中間各加入兩個球，還原成20個，此時3個球所在位置的順序數即為選出的自然數.所以共有C316=560種.

(責任編輯 金 鈴)