淺談數學解題教學

數學課堂離不開解題教學，解題教學是數學課堂教學的一個重要組成部分，它不僅能有效地增強學生解決問題的能力，而且可以加深學生對基本概念的理解，促進學生良好數學觀念的形成.《數學新課程標準》明確指出:要加強對學生數學應用意識和解決實際問題能力的培養.然而，在平時的課堂教學中，解題教學存在的一些問題應引起足夠的重視.如當學生面對新的數學問題時，常常會出現無計可施的現象.其中一個重要的原因，就是教師沒有教會學生在遇到一個新的數學題目時，應該怎樣有效地去思考，學生解題是在一種隨意的雜亂無章的思維狀態下進行的.因此，教師在課堂教學中應重視解題教學.

一、要讓學生掌握解題的思維程序

解題思維程序主要有釋題、分析、解題、反思四個環節，本文從這四個方面作些分析探討.

1.釋題，目的是為了弄清問題

它是解題思維的初始環節，也是其他三個解題環節能否順利完成的基礎.有時學生遇到題目感到無從下手，往往是由于對題目自身的含義理解得不夠透徹.因此，教師要教會學生從問題的敘述入手，觀察揣摩整個問題，仔細研究題目的意義，并指導學生完成下列工作:(1)找出已知條件和待求量.(2)將已知條件和待求量分成若干個部分.(3)畫出圖形或列出一些數據.(4)在圖形或數據中引入恰當的符號，并盡可能多地將已知和待求量“標注”出來.學生可把“問題”弄得清晰、鮮明，而且教師也在釋題過程中不知不覺地向學生滲透了解題策略中的“具體化原則”.使學生通過上述這些一般性的工作程序，逐步悟出釋題的真諦:“問題解決”的奧妙常常存在于對題目的“最初認識”之中.

2.分析，是解題過程中思維最活躍、最有創造力的環節

能否完成分析這一思維程序，是能否解題的關鍵所在，也是培養提高學生解題能力的有利時機.教會學生完成下列工作，將對學生解決問題起到難以估量的作用:(1)尋找突破口，并努力向待求量靠攏.所謂的突破口，常常是學生在釋題中感覺較為敏感的那些因素，如已知條件中的一部分，題的圖形，題中的一個特殊的數據或式子等.(2)思維受阻后的迂回、轉換.在由突破口向“問題解決”靠攏的過程中，一帆風順的時候并不多見，常常會“卡殼”于某一細節之中，此時，教師要想方設法引導學生怎樣從“無計可施”的窘境中解脫出來.

3.解題，是對釋題、分析加以落實和驗證的過程

當學生抓住了問題的主要聯系，包括可能成立的解題細節，便可進入解題這一程序，解題包括兩項工作:(1)完成釋題、分析中認為可行的一切細節并加以完善.解題過程力求清晰、詳盡、規范.(2)邊完成解題細節，邊用邏輯推理或直觀的方法加以驗證.

4.反思，是提高與延伸的機會

孔子云:學而不思則罔.“罔”即迷惑，把其意思引申一下，我們也就不難理解解題教學為什么要進行解后反思了.事實上，解后反思是一個知識小結、方法提煉的過程;是一個吸取教訓、逐步提高的過程;是一個收獲希望的過程.從這個角度講，解題教學后的反思應該成為解題教學的一個重要內容.(1)對解題過程進行反思.在解題結束后學生應盡力回憶自己從解題開始到結束的每一步心理活動，分析其中走了哪些彎路，碰到哪些問題;為什么會走這些彎路，為什么會有這些問題，有沒有規律性經驗可以吸收;自己的思路與教師或同學的思路有什么不同，其中的差距是什么，原因是什么;自己在解題過程中有沒有做過調整等問題.對解題過程的反思能夠培養學生的歸納總結能力，幫助學生養成良好的邏輯思維習慣.(2)對解題的結果進行反思.數學家波利亞在他的《怎樣解題》一書中的“回顧”環節，對此作了精彩的論述:你能檢驗這個結果嗎?你能檢驗這個論證嗎?你能以不同的方式推導這個結果嗎?你能一眼就看出它來嗎?引導學生對解題結果進行反思，找出自己做錯的原因，總結經驗教訓，避免下次解題時犯同樣的錯誤.

【例1】 已知實數a、b分別滿足a2+2a=2，b2+2b=2，求1a+1b的值.

解:由已知a、b是方程x2+2x=2的兩個根，由x2+2x=2得:x2+2x-2=0

由韋達定理，得:a+b=-2，ab=-2，∴1a+1b=a+bab=-2-2=1

上述解答看起來條理清楚，推理過程步步有依據，解答結果似乎是正確的.引導學生反思解題過程，學生發現在上述解題過程中默認了a和b不相等，從而造成漏解.這樣的反思使得解題過程更加合理、完善，有利于培養學生數學思維的嚴謹性和批判性.數學家弗賴登塔爾就指出:反思是數學活動的核心和動力.引導學生對解題進行反思，能使方法、規律得到及時的小結歸納;解后的反思使我們撥開迷霧，看清“廬山真面目”而逐漸成熟起來;在反思中學會了獨立思考，在反思中學會了傾聽，學會了交流、合作，學會了分享，體驗了學習的樂趣，交往的快慰!

二、要注重對學生進行解題教學的指導

解題教學是課堂教學工作的一個重要組成部分，也是學生鞏固知識不可缺少的一個重要環節.它對學生澄清模糊觀念、校正錯誤、查缺補漏、激發學生求知欲和提高解決問題的能力起著重要的作用.從教學效果角度考慮，解題教學要注重以下兩點:(1)教學預設要有先見性.教師有預見性的備課，是減少學生解題錯誤的關鍵.授課前，教師要對學生學習本節內容可能出現的錯誤進行預測，課內講授時有意識地點撥與強調，能防患于未然.例如，在講授乘法公式前，教師應意識到學生會犯(a+b)2=a2+b2的錯誤，于是在上課時教師應有意識地強調(a+b)2展開后是三項，它等于a2+b2+2ab，(a+b)2與a2+b2不能劃等號.(2)解題教學中要注重前后知識間的聯系.如在人教版八年級上冊有這樣一個典型問題:要在一條筆直的公路旁建一個貨物供應站，使貨物供應站到公路同側的兩個村莊A和B的距離最短，找出貨物供應站的位置.這個問題可以用軸對稱的知識來解決.而在后面學到一次函數后還會碰到:在平面直角坐標系中，在x軸上方(或下方)有兩個固定的點A和B，在x軸上找一點P，使線段PA和PB之和最短，并求出P的坐標.雖然這兩個問題呈現的形式不一樣，背景也不同，但問題間存在著很多共性，除問題的要求有層次上的差異外，解決問題的思路基本相同.因此，解題教學中如能抓住知識與問題間的內在聯系，學生的學習效率必能事半功倍.

三、解題教學要突出數學思想方法

數學問題解決中，蘊含著豐富的數學思想方法，如轉化思想、整體思想、分類討論思想、方程思想、數學建模思想、數形結合思想等，這些思想中又包含著許多具體的數學方法，如換元法、消元法、割補法、參數法等等.在解題教學中，教師應幫助學生領會伴隨著問題解決中的數學思想，使他們掌握必要的數學方法和策略.

【例2】 有甲、乙、丙三種貨物，若購甲3件、乙7件、丙1件共需3.15元;若購甲4件、乙10件、丙1件共需4.20元.現計劃購甲、乙、丙各1件，共需多少元?

解析:要求的未知數是三個(設為x，y，z)而題設條件中只有兩個等量關系，要把甲、乙、丙各1件的錢數一一求出來是不可能的.由于我們感興趣的不是x，y，z的值，而是x+y+z這個整體的值，如果我們把甲、乙、丙各一件的錢數看成一個整體，利用整體思想方法來解題，那么就會目標明確，直奔主題，收到事半功倍的效果.

解:設購甲、乙、丙各1件分別需x元、y元、z元

依題意，得3x+7y+z=3.154x+10y+z=4.20即2(x+3y)+(x+y+z)=3.153(x+3y)+(x+y+z)=4.20

解關于x+3y與x+y+z的方程組，可得x+y+z=1.05(元)

四、解題教學要有適度的變通性

在解題教學中，要使學生掌握一些必要的解題方法和模式，同時又要防止學生的思維定勢，僵化地理解這些方法和模式.在學生獲得某種基本的、常規的解題方法之后，教師應經常結合題目，將其進行適度的變通，通過改變原題目的條件、結論或解題方法，對題目進行橫向或縱向延拓，從而加深學生對知識和方法的理解，培養思維的靈活性.例如，證明命題“在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形”，除了課本上的“軸對稱”方法外，還可以引導學生用“平移梯形腰”、“作出梯形高”、“延長兩腰來相交”這幾種輔助線來證明.一題多變是題目結構的變式，表現為題設、結論、圖形或形式的變化，而題目的實質不變，以便從不同角度、不同方面揭示題目的實質.例如:已知一次函數y=(m+2)x+(3-n).(1)當m和n滿足什么條件時，y隨x的增大而減小;(2)當m和n滿足什么條件時，圖象與y軸的交點在x軸的下方;(3)當m和n滿足什么條件時，函數圖象過原點;(4)當m和n滿足什么條件時，函數圖象過一、三、四象限.

總之，解題教學作為課堂教學的一個重要組成部分，它可以讓學生進一步理解與鞏固所學的數學知識，培養數學的基本能力，掌握解決實際問題所需要的技能與技巧，發展思維的靈活性和創造性，提高分析問題和解決問題的能力.

(責任編輯 易志毅)