例談“1”在解題中的妙用

在數學中，“1”是一個很平常的數字，但又是一個很神奇的數字.正確、合理地運用“1”的特性，在解數學題中往往可以化繁為簡，變難為易.現舉例如下.

一、在解三角題中的妙用

【例1】 化簡1+tanx1-tanx.

解:原式=tan45°+tanxtan45°-tanx=tan(45°+x).

注:關鍵之處在于將“1”換成“tan45°”，逆用兩角和的正切公式.

【例2】 已知cosαcosβ=1，求cos(α-β)的值.

解:∵cosαcosβ≤1的等號當且僅當以下兩種情況之一時成立:

cosα=cosβ=1或cosα=cosβ=-1.

在這兩種情況下，都有α-β=2kπ(k∈Z).

∴cos(α-β)=1.

注:關鍵在于由條件中的常數“1”聯想到余弦函數的有界性.

【例3】 已知tanα=2，求sin2α-2sinαcosα+3cos2α的值.

解:原式=sin2α-2sinαcosα+3cos2α1

=sin2α-2sinαcosα+3cos2αsin2α+cos2α

=tan2α-2tanα+3tan2α+1

=4-4+34+1

=35.

注:本題的關鍵點在于將原式看成分母為“1”的分式，進而將“1”換成sin2α+cos2α，從而順利地將“弦”的問題轉化為“切”的問題，代入求解即可，簡捷快速明了，也進一步體現了三角化簡求值過程中統一函數名的思想.

二、在不等式證明中的妙用

【例4】 已知x，y∈R+，且1x+9y=1，求證:x+y≥16.

證明:∵x>0，y>0，1x+9y=1，

∴x+y=(x+y)(1x+9y)=yx+9xy+10

≥2yx#8226;9xy+10

=16，

當且僅當1x=9xy，又1x+9y=1，即x=4，y=12時等號成立.

注:此例的題設中含有關于“1”的條件等式，只須利用“1”的代換，再應用均值不等式解決即可.

【例5】 a，b∈R+，求證:lga+lgb3≤lga+b+13.

證明:∵3ab=3a#8226;b#8226;1≤a+b+13，兩邊取常用對數化簡即得:

lga+lgb3≤lga+b+13，當且僅當a=b=1時，等號成立.

注:此例由于要用到n=3時的均值不等式，而作為真數的3ab是ab的三次算術根，為此需湊足三個因子.證明過程中巧用了任何一個數乘1等于其本身的特性，利用n個正數的算術平均數和幾何平均數性質.該題結論可推廣到一般情形:

若a，b∈R+，則lga+lgbn≤lga+b+n-2n成立.

【例6】 已知ax-2by+cz=0，且 ac>b2，求證:xz≤y2.

證明:若x=0，則xz≤y2顯然成立.

若x≠0，則顯然有ax≠0，由ax-2by+cz=0得ax×12-2by×1+cz=0，

∴1是關于t為未知數的二次方程axt2-2byt+cz=0的根.

則有Δ=(-2by)2-4axcz≥0，從而b2y2≥axcz，∴xz≤b2y2ac.

又ac>b2，∴b2ac<1，∴xz

綜上有xz≤y2.

注:證明過程中巧妙地用了“1”的特性，使證題由難變易.

從上我們可以看出，小小的數字“1”，變化形式多種多樣，能將一些不好解決的問題順利地處理好，起到了四兩撥千斤的作用.從這我們能進一步體會到:學數學，只要能認真鉆研，深刻思考，一定會有意想不到的效果.

(責任編輯 金 鈴)