近年中考數(shù)學(xué)應(yīng)用問題解答分析

《初中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)》(以下簡稱《新課標(biāo)》)要求，通過初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)使學(xué)生認識到，現(xiàn)實生活中蘊含著大量的數(shù)學(xué)信息，數(shù)學(xué)在現(xiàn)實世界中有著廣泛的應(yīng)用;面對實際問題時，能主動嘗試著從數(shù)學(xué)的角度運用所學(xué)知識和方法尋求解決問題的策略;面對新的數(shù)學(xué)知識時，能主動尋找其實際背景，并探索其應(yīng)用價值。近年各地中考對這類問題的考查不斷加強，本文結(jié)合中考試題作些分析，供參考。

一、中考應(yīng)用題例析

【例1】 (2008年青島)2008年8月，北京奧運會帆船比賽將在青島國際帆船中心舉行.觀看帆船比賽的船票分為兩種:A種船票600元/張，B種船票120元/張.某旅行社要為一個旅行團代購部分船票，在購票費不超過5000元的情況下，購買A、B兩種船票共15張，要求A種船票的數(shù)量不少于B種船票的一半.若設(shè)購買A種船票x張，請你解答下列問題:

(1)共有幾種符合題意的購票方案?寫出解答過程.

(2)根據(jù)計算判斷，哪種購票方案更省錢?

解:(1)設(shè)A種票x張，則B種票(15-x)張，

根據(jù)題意得:x≥15-x2，600x+120(15-x)≤5000

解得:5≤x≤203

∴滿足條件的x為5或6，∴共有兩種購買方案:

方案一:A種票5張，B種票10張，

方案二:A種票6張，B種票9張，

(2)方案一購票費用:600×5+120×10=4200(元)，

方案二購票費用:600×6+120×9=4680(元)，

4200<4680，∴方案一更省錢..

評析:問題背景貼近現(xiàn)實生活實際、新穎、關(guān)注效益最大化，考查學(xué)生恰當(dāng)?shù)卦O(shè)元建立不等式組這一數(shù)學(xué)模型和學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識.現(xiàn)實世界中不等關(guān)系是普遍存在的，如日常生活中的決策、市場營銷和社會生活中有關(guān)統(tǒng)籌安排等問題，都可以轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的不等式(組)模型，從而使問題得以解決.

【例2】 廣西某汽車銷售公司到某汽車制造廠選購A、B兩種型號的轎車，用300萬元可購進A型轎車10輛，B型轎車15輛;但用300萬元也可以購進A型轎車8輛，B型轎車18輛.

(1)求A、B型兩種轎車每輛售價為多少元?

(2)若該汽車銷售公司銷售1輛A型轎車可獲利8000元，銷售1輛B型轎車可獲利5000元.該公司準(zhǔn)備用不超過400萬元購進A、B兩種型號轎車30輛，且這兩種轎車全售出后總獲利不低于20.4萬元，問有幾種購進方案，在這幾種購車方案中，哪一方案使該汽車銷售公司(將這些轎車全部售出后)獲利最多?

以上兩例說明，“面對實際問題時，能主動嘗試從數(shù)學(xué)的角度運用所學(xué)知識尋求解決問題的策略.”是數(shù)學(xué)應(yīng)用意識的重要體現(xiàn)，也是能否將所學(xué)的知識方法運用于實際的關(guān)鍵.

“面對新的數(shù)學(xué)知識時，能主動地尋找其實際背景，并探索其應(yīng)用價值.”學(xué)生只有不囿于老師和教材提供的案例，而能主動地尋求其他實際背景，才有可能進一步探索其應(yīng)用價值，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值.《新課標(biāo)》理念體現(xiàn)了，隨著現(xiàn)代生產(chǎn)和科技發(fā)展人們意識到應(yīng)用數(shù)學(xué)的重要性.因為人們很清楚，學(xué)生中將來純粹從事數(shù)學(xué)研究的人只占全體學(xué)生的極少數(shù)，而絕大多數(shù)學(xué)生是要利用數(shù)學(xué)解決現(xiàn)實問題的。所以，《新課標(biāo)》強調(diào)注意把數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實生活結(jié)合起來，提出要在學(xué)生的生活環(huán)境中發(fā)現(xiàn)并創(chuàng)造出數(shù)學(xué)。

二、解中考應(yīng)用題時還應(yīng)注意的幾點

1.注重數(shù)學(xué)知識的來龍去脈

生活中存在著大量的與和、差、倍、平均有關(guān)的事件，以及具有相反意義的量、不同形式的等量關(guān)系和不等量關(guān)系、變量與變量之間的對應(yīng)關(guān)系等等，這些都可以成為我們引入加、減、乘、除、負數(shù)、等式、不等式、函數(shù)等實際背景，建立起研究現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的基本數(shù)學(xué)模型。從生活實際引入新知識有助于學(xué)生體會數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用價值，為學(xué)生主動從數(shù)學(xué)的角度去分析、解決現(xiàn)實問題提供示范。

【例3】 2008年5月12日14點28分，四川汶川發(fā)生8.0級特大地震災(zāi)害。地震發(fā)生后由于山體崩塌壓垮道路，大車無法通過，小車勉強通行。某專業(yè)營救分隊用兩輛小汽車(設(shè)速度相同)同時送1名指揮員及7名營救員到指定災(zāi)區(qū)實施營救，每輛限坐4人(不包括司機).其中一輛小汽車在距離災(zāi)區(qū)15km的地方出現(xiàn)故障，此時離上級規(guī)定到達截止時刻還有42分鐘，這時唯一可利用的交通工具是另一輛小汽車，且這輛車在這種路面上極限的平均速度是60km/h，人步行的速度是5km/h(上、下車時間忽略不計).

(1)若小汽車送4人到指定地點，然后再回到出故障處接其他人，請你通過計算說明他們能否在上級規(guī)定的截止時刻前到達救助地;

(2)假如你是帶隊指揮員，請你設(shè)計一種運送方安，使他們能在上級指定的截止時刻前到達求助點，并通計算說明方案的可行性.

【簡解】第(1)小題本質(zhì)就是求“汽車15km，用多少時間?”第(2)小題則是第(1)小題的基礎(chǔ)上通過計算說明方案設(shè)計的合理性即可.

(1)1560×3=34=45(分鐘上)，∵45>42不能在限定時間內(nèi)到達救助點.

(2)方案1:先將4人用車送到救助點，另外4人同時步行前往救助點，汽車到救助點后返回到與另外4人的相遇處再載他們到救助點.約需40.4分鐘上;

方案2:8人同時出發(fā)，4人步行，先將4人用車送到離出發(fā)點xkm的A處，然后這4人步行前往救助點，車回去接應(yīng)后面的4人，使他們跟前面4人同時到達救助點.可求得共需37分鐘。方安1、2均能在截止時刻前到達救助點.但方案2更省時.

評析:本題打破傳統(tǒng)行程應(yīng)用題的命題形式，設(shè)計成方案設(shè)計題，解題的關(guān)鍵是將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為方程模型來解決。在應(yīng)用意識上方程(組)模型是研究現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的最基本的數(shù)學(xué)模型，它可以幫助人們從數(shù)量關(guān)系上更準(zhǔn)確、清晰地認識、描述和把握現(xiàn)實世界.

2.從數(shù)學(xué)的角度描述事物(或現(xiàn)象)，尋找其中與數(shù)學(xué)有關(guān)的因素

【例4】 (2007年綿陽)綿陽市“全國文明村”江油白玉村果農(nóng)王燦收獲枇杷20噸，桃子12噸.現(xiàn)計劃租用甲、乙兩種貨車共8輛將這批水果全部運往外地銷售，已知一輛甲種貨車可裝枇杷4噸和桃子1噸，一輛乙種貨車可裝枇杷和桃子各2噸.

(1)王燦如何安排甲、乙兩種貨車可一次性運到銷售地?有幾種方案?

(2)若甲種貨車每輛要付運輸費300元，乙種貨車每輛要付運輸費240元，則果農(nóng)王燦應(yīng)選擇哪種方案，使運輸費最少?最少運費是多少?

解析:分析問題中的關(guān)鍵詞——“有幾種方案”“一次性地”及其隱含的現(xiàn)實背景，可以將問題轉(zhuǎn)化為不等式(組)模型來解決.

(1)設(shè)安排甲種貨車x輛，依題意，得4x+2(8-x)≥20，且x+2(8-x)≥12，解此不等式組，得2≤x≤4，因此安排甲、乙兩種貨車有三種方案:

甲種貨車乙種貨車

方案一2輛6輛

方案二3輛5輛

方案三4輛4輛

(2)方案一，所需運費最少，為300×2+240×6=2040元;

評析:本題是近幾年中考呈現(xiàn)的新型試題之一，其背景貼近生活，能有效考查學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識建立不等式模型的能力.同時將計算融入問題解決之中，使得計算與答案都具有實際意義.在解決問題的過程中自然地考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)表達技能和運算能力.

除了鼓勵學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度去描述現(xiàn)實生活中的事物與現(xiàn)象以外，教師還應(yīng)努力在教學(xué)過程中為學(xué)生提供盡可能多的具有原始背景的數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生去抽象出其中的數(shù)學(xué)問題，并用數(shù)學(xué)語言加以描述.

3.搜集數(shù)學(xué)應(yīng)用的事例，加深對數(shù)學(xué)應(yīng)用的理解和體會

【例5】 廣西百色市出租汽車收費標(biāo)準(zhǔn)為:起步價4元，3千米后每千米價為1.2元，求:

(1)在3千米內(nèi)(含3千米)應(yīng)付多少元?

(2)乘坐租車行x千米應(yīng)付款多少元?

(3)如果你乘坐出租車行15千米，應(yīng)付款多少元?

評析:這是學(xué)生日常生活中的數(shù)學(xué)問題，它提供了從現(xiàn)象到數(shù)學(xué)規(guī)律(函數(shù)模型)的對接.感悟生活中的數(shù)學(xué)與應(yīng)用.

函數(shù)是對一個過程中兩個儲存的量之間對應(yīng)關(guān)系的數(shù)學(xué)刻畫和表示，以學(xué)生的現(xiàn)實生活為背景，通過刻畫變量之間的對應(yīng)關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生運用函數(shù)思想分析解決問題的意識，促使學(xué)生形成深入、牢固的函數(shù)思想，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識.

現(xiàn)實世界的存在形式千姿百態(tài)，人們無法直接看到，需要自己從數(shù)學(xué)的角度描述客觀事物與現(xiàn)象，找到其中與數(shù)學(xué)有關(guān)的因素，才有可能進一步去探索其中的規(guī)律或?qū)で髷?shù)學(xué)的解決方法，這是主動運用數(shù)學(xué)知識和方法解決實際問題的重要環(huán)節(jié).除了教師要努力為學(xué)生應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識創(chuàng)造條件和機會外，還應(yīng)鼓勵學(xué)生自己主動在現(xiàn)實中尋找用數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想方法解決問題的機會，并努力實踐.面對現(xiàn)實問題，學(xué)生能夠主動從數(shù)學(xué)的角度進行分析并探索解決方案，也是數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識的根本所在.

(責(zé)任編輯 易志毅)