解數(shù)學題的常用方法與策略舉隅

解題有法而無定法.如何才能準確而迅速地解題是我們一直關(guān)注的課題，現(xiàn)就舉例說明解數(shù)學題的一些常用的方法和策略，希望能對同學們的學習有所幫助.

【例1】 已知數(shù)列{an}，且an+1=3an+n+2，a1=1，試求其通項公式.

分析:解形如an+1=pan+f(n)(p為不等于1的常數(shù))的遞推關(guān)系，當f(n)為n的一次多項式時，可設(shè)an=bn+An+B，其中A、B為待定系數(shù)，適當選取A、B，使{bn}成等比數(shù)列，從而轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求通項.

解:設(shè)an=bn+An+B，代入遞推關(guān)系an+1=3an+n+2，得bn+1=3bn+(2A+1)n+2B-A+2.

令2A+1=0，2B-A+2=0A=-12，B=-54.

這時，bn+1=3bn，b1=a1+12+54=114，

∴bn=114#8226;3n-1.

∴an=114#8226;3n-1-12n-54.

評注:用待定系數(shù)法解題的一般步驟是:1.確定問題的結(jié)構(gòu)，引入若干待定系數(shù)，使待解問題納入已知模型，從而得到待定系數(shù)的恒等式.2.根據(jù)多項式恒等定理，列出相應(yīng)的方程.3.聯(lián)立這些方程(或特殊數(shù)值帶入法)，求出待定系數(shù).

【例2】 設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)定義在區(qū)間[0，1]上，證明存在x0，y0∈[0，1]都有

|x0y0-f(x0)-g(x0)|≥14成立.

證明:假設(shè)對任意的x0，y0∈[0，1]，都有|x0y0-f(x0)-g(x0)|<14.特別的有:

|0-f(0)-g(0)|<14，

|0-f(1)-g(0)|<14，

|0-f(0)-g(1)|<14，

|1-f(1)-g(1)|<14.

∴14+14+14+14>|0-f(0)-g(0)|+|0-f(1)-g(0)|+|0-f(0)-g(1)|+|1-f(1)-g(1)|≥

[0-f(0)-g(0)]-[0-f(1)-g(0)]-[0-f(0)-g(1)]+[1-f(1)-g(1)]=1

，即1>1，因此假設(shè)不成

立.

∴存在x0，y0∈[0，1]，使|x0y0-f(x0)-g(x0)|≥14成立.

評注:本例用的是反證法.使用反證法應(yīng)注意以下幾點:(1)前提中增加了新條件，這個條件就是假定結(jié)論的反面成立，在證明過程中必須用這個條件，否則無法引出矛盾;(2)反證法無需專門去證明某一特定結(jié)論，只要由否定結(jié)論而導(dǎo)致矛盾就可以了;(3)否定結(jié)論是反證法的第一步，含有量詞如“至少”“至多”“都…”“所有…”“任何…”“存在”等的命題，怎樣否定結(jié)論，需掌握好.比如本題，原來是存在x0，y0∈[0，1]，否定后要改為對任意x1，y1∈[0，1];(4)原命題結(jié)論的反面多于一種時，必須將其一一駁倒，才能斷定原命題成立.

【例3】 已知(x-2k)2=ax(k∈N)在區(qū)間(2k-1，2k+1]上有兩個不相等的實根，求a的取值范圍.

分析:本題單純用代數(shù)法求解，運算較煩，下面采用圖像法解答.

解:令y1=(x-2k)2，x∈(2k-1，2k+1]，y2=ax，

畫出兩個函數(shù)的圖像.

原方程在(2k-1，2k+1]上有兩個不相等的實根的充要

條件是拋物線與直線有兩個不同的交點，這等價于直

線l介于直線OA、OB之間(包括OB)，又OA、OB

的斜率分別為0、12k+1.∴0≤a≤12k+1.

評注:解含有參數(shù)的方程，圖像法是一種常用的方法.數(shù)形結(jié)合的思想是高中數(shù)學常常用到的一種思維方式.

【例4】 求函數(shù)y=1ax-kbx(a，b∈R+，且a≠1，b≠1)的

定義域.

解:要使函數(shù)有y=1ax-kbx有意義，必須

ax-kbx>0.①

不等式①受a，b的大小關(guān)系及k的正、負的影響，其解有幾種不同的情況，要分類討論.

(1)當a>b>0，且a≠1，b≠1時，

若k>0，由①得x>logabk;

若k<0，由①得x∈R.

(2)當0

若k>0，由①得x<logabk;

若k<0，由①得x∈R.

(3)當0

若k<1，由①得x∈R;

若k≥1，由①無解.

評注:在解題中，對于那些含有參數(shù)或其他不定因素，在其全域內(nèi)不宜用同一種方式處理的問題，需分類討論.分類討論的步驟是:確定分類標準;進行恰當分類(要遵循不重不漏的原則);逐類逐級進行討論，歸納結(jié)論.

【例5】 設(shè)函數(shù)F(x)=|cos2x+2sinx#8226;cosx-sin2x+Ax+B|在0≤x≤3π2上的最大值M與參數(shù)A、B有關(guān)，問A、B取什么值時M為最小?證明你的結(jié)論.

分析:想要列出M的函數(shù)式，從中直接求出M的最小值是不容易的.不妨先把結(jié)論猜測出來，然后再給出證明.

當A=B=0時，

F(x)=2|sin(2x+π4)|在區(qū)間0≤x≤3π2上，F(xiàn)(x)的最大值M0=2.取得最值M0的點是x1=π8，x2=5π8，x3=9π8，

這里的2sin(2x1+π4)=2sin(2x3+π4)=2>0，

2sin(2x2+π4)=-2<0，

且x2=x1+x32. ①

當A、B不全為零時，不妨取(1)A=0，B=1;(2)A=B=1帶入F(x)的表達式，易知F(x)的最大值都比2大.于是猜測:2就是M的最小值.

下面用反證法確認此猜測的正確性.設(shè)存在一對不全為零的實數(shù)A、B，使F(x)的最大值M≤2，則對x1、x2、x3三點，F(xiàn)(x)的值也應(yīng)滿足

|2sin(2x1+π4)+Ax1+B|≤2;

|2sin(2x3+π4)+Ax3+B|≤2;

|2sin(2x2+π4)+Ax2+B|≤2.

即Ax1+B≤0;②Ax3+B≤0;③Ax2+B≤0.④

②+③除以2，再用①代入，得

Ax2+B≤0. ⑤

由④和⑤，得

Ax2+B=0，即B=-58πA代入③，得A≤0;代入②，得A≥0，∴A=0.由此得:

A=B=0.這與假設(shè)“A、B不全為0”矛盾.故當A、B不全為0時，必有M>2.因而當A=B=0時，M的最小值是2.

評注:對一個不易入手的一般性問題，有時可采用特殊值法，猜測一般性結(jié)論，從而發(fā)現(xiàn)化歸方向.這種解題策略稱之為特殊化策略.

(責任編輯 金 鈴)