用分類討論思想解含參數的數學問題

參數廣泛地存在于中學數學的各類問題中，也是歷年來高考重點考查的熱點問題之一.以命題的條件和結論的結構為標準，含參數的問題可分為兩種類型，一種類型是根據參數在允許值范圍內的不同取值(或取值范圍)，去探求命題可能出現的結果，然后歸納出命題的結論;另一種類型是給定命題的結論去探求參數的取值范圍或參數應滿足的條件.本文擬就第一類問題的解題思想方法做一些粗淺探討.

解決第一類型的參數問題，通常要用“分類討論”的方法，即根據問題的條件和所涉及的概念，運用的定理、公式、性質以及運算的需要，圖形的位置等進行科學合理的分類，然后逐類分別加以討論，探求出各自的結果，最后歸納出命題的結論，達到解決問題的目的.它實際上是一種化難為易、化繁為簡的解題策略和方法.

一、確定分類標準

在確定討論的對象后，最困難是確定分類的標準，一般來講，分類標準的確定通常有三種:

1.根據數學概念來確定分類標準

例如:絕對值的定義是:|a|=a(a>0);0(a=0);-a(<0).

所以在解含有絕對值的不等式|log13x|+|log13(3-x)|≥1時，就必須根據log13x，

log13(3-x)的正負將定義域(0，3)分成三個區間進行討論，即0

1≤x<2，2≤x<3.

2.根據數學中的定理、公式和性質確定分類標準

數學中的某些公式、定理、性質在不同條件下有不同的結論，在運用它們時，就要進行分類討論，分類的依據是公式中的條件.

例如，對數函數y=logax的單調性是分01兩種情況給出，所以在解底數中含有字母的不等式:如logx13>-1，就應以底數x>1和0

3.根據運算的需要確定分類標準

【例1】 解關于x的不等式組loga2x<2logax，(a-1)x20且a≠1.

解:由于不等式中均含有參數a，其解的狀況均取決于a>1還是a<1，所以以1為標準進行分類:

(1)當0

(2)當a>1時，可解得x>2，0

①當1

②當a>3時，解集為(2，a+1).

綜上所述:當0

當a>3時，解集為(2，a+1).

二、分類討論的方法和步驟

1.確定是否需要分類討論以及需要討論時的對象和它的取值范圍;

2.確定分類標準科學合理分類;

3.逐類進行討論得出各類結果;

4.歸納各類結論.

【例2】 若函數f(x)=a+bcosx+csinx的圖象經過點(0，1)和(π2，1)兩點，且x∈[0，π2]時，|f(x)|≤2恒成立，試求a的取值范圍.

解:由f(0)=a+b=1，f(π2)=a+c=1，求得b=c=1-a.∴

f(x)=a+(1-a)(sinx+cosx)=a+2(1-a)sin(x+π4).

∵π4≤x+π4≤3π4，∴22≤sin(x+π4)≤1.

①當a≤1時，1≤f(x)≤a+2(1-a).∵|f(x)|≤2，∴只要a+2(1-a)≤2，解得a≥-2.∴-2≤a≤1;

②當a>1時，a+2(1-a)≤f(x)≤1，∴只要a+2(1-a)≥-2，解得a≤4+32，∴1

分類討論的思想是一種重要的解題策略，對于培養學生思維的嚴密性、嚴謹性和靈活性以及提高學生分析問題和解決問題的能力無疑具有較大的幫助.當然，并不是問題中一出現含參數問題就一定得分類討論，利用數形結合的思想、函數的思想等解題思想也能達到迅速、準確的解題效果.

(責任編輯 金 鈴)