解二元函數最值問題的常用方法

二元方程下的二元函數的最值是一類常見問題，在各類考試中屢見不鮮，但許多同學對此類問題往往感到比較棘手.本文通過一個典型例子，介紹求解這類問題的常用方法，供大家參考.

【例】 已知實數a，b滿足a>0，b>0，a+b=4，求a2+b2的最小值.

解:(消元法)將a=4-b代入所求式中，得

a2+b2=(4-b)2+b2=2(b-2)2+8，

而b>0，a=4-b>0，∴0

評注:該解法充分體現了數學中的消元思想，將二元函數的最值轉化為一元函數的最值.但在處理過程中要特別注意變量的取值范圍，否則很容易出錯.

解:(基本不等式法)∵a+b=4，∴(a+b)2=16，∴a2+2ab+b2=16，即2ab=16-(a2+b2).而2ab≤a2+b2，∴16-(a2+b2)≤a2+b2，即(a2+b2)≥8.當且僅當a=b=2時，a2+b2取到最小值8.

評注:該解法充分體現了數學中的構造思想，根據二元方程的結構特征，運用均值定理構造包含所求式子的不等式，從而得其最值.

解:(判別式法)設a2+b2=t，∵a>0，b>0，∴方程組a+b=4，a2+b2=t必有正實數解，消去a得2b2-8b+16-t=0，該一元二次方程一定有正實數根，所以Δ=(-8)2-8(16-t)≥0，16-t2>0，解之可得8≤t<16，所以a2+b2的最小值為8.

評注:該解法充分體現了數學中的方程思想，引入參數后，根據條件和結論之間的內在聯系，將問題轉化為方程必有正實數解從而得最值.

解:(三角換元法)∵a+b=4，∴a4+b4=1，又a>0，b>0，所以可設a4=sin2θ，b4=cos2θ，θ∈(0，π2)，

則a2+b2=16sin4θ+16cos4θ=16[(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ]=16(1-12sin22θ)=12+4cos4θ

，所以當cos4θ=-1時，a2+b2取到最小值8.

評注:該解法充分體現了數學中的換元思想，巧妙地運用了“1”，從而將所求式子經過三角換元轉化為一元函數最值問題.

解:(幾何法)因為滿足a+b=4，a>0，b>0的點(a，b)的軌跡是一條線段(如下圖)，即為線段AB，

而a2+b2的幾何意義是原點到點(a，b)的距離的平方，所以a2+b2的最小值為原點到線段AB的距離的平方，即(a2+b2)min=(|-4|2)2=8.

評注:該解法充分體現了數學中的數形結合思想，充分利用了所求式子的幾何意義，當然前提是二元方程對應的曲線能夠容易得到.

本文從五個方面介紹了求二元函數最值的方法，但在具體求解中，我們還需要根據所給二元方程的結構特征，靈活選用上述幾種方法來達到快速、準確解題的目的.

(責任編輯 金 鈴)