有關(guān)三等分角的綜述

三等分角是歷史最為長(zhǎng)久、流傳最為廣泛的一個(gè)幾何作圖問(wèn)題.所謂三等分角問(wèn)題，就是說(shuō)任意給定一個(gè)角，作圖工具僅限于直尺和圓規(guī)，問(wèn)能不能將這個(gè)角三等分.

一、簡(jiǎn)單說(shuō)明三等分角是不可能的

下面我們給出三等分角問(wèn)題的代數(shù)方程:

設(shè)已知角的三分之一為α，則已知角的為3α，我們?nèi)∷挠嘞?或正弦).根據(jù)平面三角學(xué)的三倍角公式有cos3α=4cos3α-3cosα.令2cos3α=m，2cosα=x，我們得到:x2-3x-m=0.容易看到，這就是三等分角問(wèn)題的代數(shù)方程，這個(gè)方程的根x，一旦能用尺規(guī)作圖作出來(lái)，則∠α的大小就可以用尺規(guī)作出來(lái).然而，這個(gè)代數(shù)方程對(duì)于任意給定的已知角，它的根x并不能表示成“可作圖幾何量”，因此三等分角問(wèn)題用尺規(guī)作圖法是不能解決的.

二、解決方法

正是因?yàn)檫@個(gè)用平面解析幾何無(wú)法解決，但又看似“簡(jiǎn)單”的問(wèn)題，就使得許多數(shù)學(xué)家和業(yè)余數(shù)學(xué)愛(ài)好者不斷地研究它，希望能夠解決它.而對(duì)這個(gè)問(wèn)題的研究只能沿如下兩個(gè)方面進(jìn)行:求近似的作圖方法和借助其他的作圖工具.

(一)求近似的作圖方法(這就要求有較高的精確度)

1952年，德國(guó)畫家杜勒(Albrecht.Durer)

提出“三等分角”的一個(gè)近似解法:

給定∠AOB，以O(shè)為圓心，OA為半徑作弧得扇形OAB;在AB上取點(diǎn)C，使AC∶BC=2∶1;取點(diǎn)E，使BE=BD;點(diǎn)F為EC的三等分點(diǎn)，EF∶FC=1∶2;在圓弧上取點(diǎn)G，使BG=BF，則

∠BOG≈13∠AOB.

以∠BOG作為∠AOB的三等分角近似程度有多大呢?

不妨設(shè)OA=1，∠AOB=3α，則AB=2sin32α，AC=23AB，BC=13AB.故AC#8226;BC=29AB2=89sin232α.延長(zhǎng)DC交圓O于D′，則CD′=CD+2cos32α.由圓冪定理得

CD#8226;CD′=AC#8226;BC，

即CD(CD+2cos32α)=89sin232α.

CD=cos232α+89sin232α-cos32α.

BE=BD=BC2+CD2

=43sin232α+2cos232α-2cos32αcos232α+89sin232α.

BG=BF=BC+23CE=BC+23(BE-BC)

=13BC+23BE.

設(shè)∠BOG=β，則sinβ2=BG/2=BC/6+BE/3

=19sin3a2+132-23sin232a-2cos3a21-19sin23a2.

三等分中的誤差隨著∠AOB的增大而增大.但是，對(duì)于60度角大約只差1″，對(duì)于90度角大約只差18″.

(二)突破作圖工具的限制，借助其他的作圖工具

1.用新的思想方法

(1)尼科梅德斯的蚌線

構(gòu)造一條蚌線要從一條直線L和一點(diǎn)P開始.過(guò)P畫射線與L相交.在每

條這樣的射線上，以L為界向外截出一段固定的長(zhǎng)度a并取點(diǎn).那么這些點(diǎn)的軌

跡便形成蚌線.蚌線的極坐標(biāo)方程是:r=a+bsecθ.

三等分已知角P可采用如下辦法:取∠P為直角三角形△QPR的一個(gè)銳角.以P為極點(diǎn)，QR為固定線L畫一條蚌線，使得它由L向外截出的固定長(zhǎng)度等于斜邊長(zhǎng)PQ的兩倍2h.過(guò)R點(diǎn)作RS⊥QR并交蚌線于S點(diǎn).現(xiàn)∠QPT即為∠QPR的三分之一(T為PS與QR的交點(diǎn)).

證明:

令M為TS的中點(diǎn)，則RM=h，這是因?yàn)椤鱏RT為直角三角形，其斜邊中點(diǎn)到各頂點(diǎn)等距離.現(xiàn)因MS=MR=h，所以∠1=∠2=k°.而∠3是△SMR的一個(gè)外角，從而∠3=2k°.又因MR=PR=h，又有∠3=∠4=2k°.∵PQ與RS共面，且同垂直于QR，

∴PQ∥RS.

∴∠2=∠5=k°.

這樣一來(lái)，∠QPR=3k°，

而13∠QPR=k°=∠5.

由此，∠QPR被三等分.

(2)希皮亞斯(Hippias，約公元前5世紀(jì))的割圓曲線

設(shè)ABCD是正方形，弧BED是以A為圓心的四分之一圓弧，如果圓的半徑從AB位置，同時(shí)以勻速繞A轉(zhuǎn)動(dòng)到AD，同時(shí)直線BC也以勻速向AD位置作平行移動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)

的半徑和作平行移動(dòng)的直線最終都同時(shí)和AD相重合.它們的交點(diǎn)的軌跡(如圖中的曲線BFNG)就稱為割圓曲線.它顯然有以下性質(zhì):

∠BAD∠EAD=BEDED=ABFH.

它的極坐標(biāo)方程為:r=2θa/(πsinθ)(a為正方形的邊長(zhǎng)).

設(shè)已知角為∠DAX，以頂角A為圓心，在正方形ABCD內(nèi)作圓弧BD，并在圓弧內(nèi)作割圓曲線BFG，設(shè)AX交割圓曲線于F.將FH三等分，使PH=13FH，作PN∥AD，交割圓曲線于N，過(guò)A點(diǎn)作直線AN，交圓弧BD于M.又作NK垂直AD于K.因?yàn)?/p>

DMDE=NKFH=PHFH=13.

所以DM=13DE，

即∠DAM=13∠DAX.

除這兩種以外還其他的很多方法.但值得注意的是希臘數(shù)學(xué)家都是從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來(lái)認(rèn)識(shí)這兩條曲線的.

2.改變機(jī)械工具

阿基米德的滑動(dòng)傳桿裝置:

假設(shè)我們要三等分的角為∠AOB，如圖，延長(zhǎng)∠AOB的邊AO，令A(yù)O表示以∠AOB的頂點(diǎn)O為圓心的圓的半徑.

∵∠AOB是△OBD的外角，

∴z=y+x.

同理，∠BCO是△COD的外角，

∴x=y+y，

即z=3y.由此，y是∠AOB大小的13，從而∠AOB已被三等分.

值得注意的是，無(wú)論是新的想法，還是新的工具，他們都有一個(gè)非常重要的共同點(diǎn):都是從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來(lái)考慮問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題.這一點(diǎn)思想正是笛卡爾《解析幾何學(xué)》的主要思想(方程與幾何圖形相結(jié)合起來(lái)，從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)看).

參考文獻(xiàn)

[1](美)T.帕帕斯著，張遠(yuǎn)南，張昶譯.數(shù)學(xué)趣聞集錦[M].上海:上海教育出版社，1998.

[2]張卿.妙趣橫生的數(shù)學(xué)難題[M].天津:天津人民出版社，1980.11.

[3]王志雄.數(shù)學(xué)美食城[M].北京:民主與建設(shè)出版社，2000.1.

[4]袁小明，胡炳生，周煥山.數(shù)學(xué)思想發(fā)展簡(jiǎn)史[M].上海:上海出版社，1991.

[5](美)H.伊夫斯著，歐陽(yáng)絳譯.數(shù)學(xué)史概論[M].太原:山西人民出版社，1986.3.

(責(zé)任編輯 金 鈴)