數(shù)學綜合題解法探索

數(shù)學中的綜合題目是指知識點較多、難度較大、綜合性較強， 考試中分步記分的題，它具有選擇題、填空題無可替代且對數(shù)學思想方法較全面考查的一類題，數(shù)學解答題在高考中占總分值一半，是一種值得認真研究、探索的題型.如何僅僅通過模擬套題以考代練，搞題海戰(zhàn)術，都是不科學的，也是無用的.那么，探索解答題的解題思路，改變以考代練的復習模式，就需要培養(yǎng)、指導考生的解題技巧和解題方法，提高考生解題的速度和解題的準確率.

首先要把握好“四個關系”:即“會”與“快”的關系、“快”與“對”的關系，“對”與“巧”的關系，“巧”與“得分”的關系.其次要分清類型，對癥下藥，有些題“材料在外、答案在內(nèi)”，有些題“起點高，落點低”，這就要求考生認真分析，做到“心里有數(shù)”，方能臨陣不亂，從容作答.

【例1】 已知實數(shù)x，y滿足x2+y2=2x ，求x2y2的取值范圍.

分析一:含有兩個變量求范圍問題，一般情況下要轉(zhuǎn)化為一個變量的關系范圍，所以由x2+y2=2x得y2=2x-x2，

于是x2y2=x2(2x-x2)，求范圍問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求值域問題，

只需將x看作關于z的變量即可，

即:z=x2(2x-x2).

解法一:

由x2+y2=2x得y2=2x-x2≥0，解得0≤x≤2.設

z=x2y2=x2(2x-x2)=-x4+2x3，

∴z′=-4x3+6x2=-4x2(x-32).

顯然，當0≤x<32時，z′>0，函數(shù)z=-x4+2x3是增函數(shù);

當x>32時，z′<0，函數(shù)z=-x4+2x3是減函數(shù).

∴x=32時，zmax=2716;當x=0或x=2時，z=0.

∴x2y2的取值范圍是[0，2716].

反思:本題通過構造函數(shù)，將雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量的問題，注意在轉(zhuǎn)化過程中要根據(jù)條件確定函數(shù)的定義域.

分析二:

考慮到平方和的關系，聯(lián)想到圓的方程:

x2+y2=2x(x-1)2+y2=1，

∴x=1+cosθ，y=sinθ.

解法二:

∵x2+y2=2x，∴(x-1)2+y2=1

令x=1+cosθ，y=sinθ，設z=x2y2，

則z=(1+cosθ)2#8226;sin2θ=(1+cosθ)3(1-cosθ)

=13(1+cosθ)3(3-3cosθ)≤13[3(1+cosθ)+3-3cosθ4]4=2716，

當且僅當1+cosθ=3-3cosθ，即cosθ=12時取“=”號，

此時x2=94，y2=34，∴z=x2y2∈[0，2716].

反思:圓的參數(shù)方程在平方和關系中很重要，應引起重視，但解法二顯然繁于解法一.

【例2】 已知點P到兩個定點M(-1，0)，N(1，0)的距離的比為2，點N到直線PM的距離為1，求直線PN的方程.

分析:常規(guī)方法是設P(x0，y0)，得出PM方程后由點到直線的距離公式求出x0、y0.

解法一:設P(x0，y0)，由|PM|=2|PN|

得(x0+1)2+y20=2(x0-1)2+2y20. ①

∵PM:y0x-(x0+1)y+y0=0，又點N到PM的距離為1，

∴由點到直線距離公式得

1=|y0+y0|y20+(x0+1)2，∴4y20=y20+(x0+1)2. ②

由①②求出x0=y0，再由兩點得PN的方程:y=x+1或y=-x+1.

反思:此法是常規(guī)解法，但運算量較大.

解法二:作NA⊥PM，垂足為A.

在Rt△AMN中，AN=1，MN=2，∴∠PNM=135°或45°.

∴直線PN的傾斜角為π4或3π4.

∴直線PN的方程為:y=x-1或y=-x+1.

反思:解法二明顯優(yōu)于解法一，若考生能熟練掌握，在考試中必能為自己爭取更多的時間.

(責任編輯 金 鈴)