幾何概型易錯題辨析幾則

幾何概型與古典概型有相同之處又有不同之處，學生初學時，往往不能識別幾何概型的特點，容易犯一些似是而非的錯誤.作為教師，需要認真辨析學生犯錯的原因，從而促進學生理解幾何概型的實質，準確解決幾何概型問題.下面結合幾則典型題目來作說明.

一、正確區分古典概型與幾何概型

【例1】 (1)在區間[0，10]上任意取一個整數x，則x不大于3的概率為 .

(2)在區間[0，10]上任意取一個實數x，則x不大于3的概率為 .

分析:(1)因為總的基本事件是[0，10]內的全部整數，所以基本事件總數為有限個11，而不大于3的基本事件有4個，此問題屬于古典概型，所以所求概率為411.

(2)因為總的基本事件是[0，10]內的全部實數，所以基本事件總數為無限個，此問題屬于幾何概型，事件對應的測度為區間的長度，總的基本事件對應區間[0，10]長度為10，而事件“不大于3”對應區間[0，3]長度為3，所以所求概率為310.

點評:此例中的兩個問題，每個基本事件都是等可能發生的，但是問題(1)中的總基本事件是有限個，屬于古典概型;而問題(2)中的總基本事件是無限個，屬于幾何概型.可見古典概型與幾何概型既有區別也有聯系，在實際問題解決中，關鍵在于正確區分古典概型和幾何概型.

二、準確分清幾何概型中的測度

【例2】 (1)在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，在直角邊BC上任取一點M，求∠CAM<30°的概率.

(2)在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，在∠CAB內作射線交線段BC于點M，求∠CAM<30°的概率.

圖1-1圖1-2

分析:此例中的兩個問題，很顯然都是幾何概型的問題，但是考察的測度不一樣.問題(1)的測度應定為線段長度，當∠CAM=30°時，CM=33AC=33BC，符合條件的點M等可能地分布在線段CM上，故所求的概率等于CMCB=33.問題(2)的測度應定為角度，過點A作射線與線段CB相交，這樣的射線有無數條，均勻分布在∠CAB內，∠CAB=45°，所以所求概率等于∠CAM∠CAB=30°45°=23.

點評:本例中的兩個問題都是幾何概型的問題，但選取的測度不一樣，在解決時考察的基本事件對象和計算的結果也不一樣.可見在解決幾何概型問題時，要認真審題，分清問題考察的測度，從而正確解決問題.

三、科學設計變量，數形結合解決問題

【例3】 (1)某人午覺醒來，發現手表停了，他打開收音機，想聽電臺整點報時，求他等待的時間不多于10分鐘的概率.

(2)某人午覺醒來，發現手表停了，則表停的分鐘數和實際分鐘數差異不超過5分鐘的概率為多少?

分析:(1)某人醒來在整點間即60分鐘內是隨機的，等待的時間不多于10分鐘可以看作構成事件的區域，整點即60分鐘可以看作所有結果構成的區域，因此本題考查的測度可看作是時間的長度，于是可以通過長度比公式計算其概率.

設“等待的時間不多于10分鐘”這一事件記作事件A，則

P(A)=等待的時間不多于10分鐘時間長度所有在60分鐘里醒來的時間長度=1060=16.

顯然這是一個與長度有關的幾何概型問題，問題比

較簡單，學生也易于理解.

(2)該問題的特點在于學生易犯固定思維的錯誤，習慣性的用問題(1)中的時間長度之比來解決，得到錯誤的答案560=112.學生錯誤的原因在于沒有透徹地認識題中的變量，本題中包含了兩個變量，一個是手表停的分鐘數，可以在[0，60]內的任意時刻，另一個變量是實際分鐘數，也可以在[0，60]內的任意時刻.所以本問題的解決應以x軸和y軸分別表示手表停的分鐘數和實際分鐘數，那么差異不超過5分鐘的充要條件是|x-y|≤5，

從而繪制直角坐標系，

數形結合，

用面積

之比，

圖2

得到結果.

由于(x，y)的所有可能結果是邊長為60的正方形，

差異不超過5分鐘由圖2中陰影部分所表示，

記“差異不超過5分鐘”為事件B.

因此，差異不超過5分鐘的概率P(B)=602-552602=23144.

點評:本例中問題(2)的解決，科學地設計變量很關鍵，但設計的前提是要提高學生自己對幾何概型實質的把握，提高自己的審題能力，能夠發現問題中隱含的變量因素，從而將一個包含兩個變量的實際問題引進到直角坐標系，通過數形結合順利解決問題.

幾何概型不是研究與幾何有關的概率模型，但從上面的幾個例子可以看出:幾何概型雖然與幾何沒有直接的關系，但是實際生活中的某些問題我們可以通過幾何圖形去合理地描述，然后用幾何知識解決這個問題，所以把它稱為幾何概型.很多與實際生活有關的概率問題，只要滿足幾何概型的兩個特點，都可以用幾何概型去刻畫，關鍵是找出問題的本質.

(責任編輯 金 鈴)