究竟“Δ＜0”還是“Δ≥0”?

【案例背景】我們經常碰到關于函數f(x)=logm(ax2+bx+c)的定義域為R或值域為R的題型，盡管講解多次，但學生還是會重復同樣的錯誤.到底在課堂中如何分析這種題型才能幫助學生正確掌握?下面我將結合一道習題的教學，談談自己的想法.

【案例描述與分析】

在學習了《對數函數及其性質一》后，我布置了浙江省教育廳教研室編寫的必修1作業本上相應的題目，其中P39第8題是這樣的:

(1)已知函數y=log12(x2-2x+a)的定義域為R，求實數a的取值范圍.

(2)已知函數y=log12(x2-2x+a)的值域為R，求實數a的取值范圍.

從作業情況可以發現對于第(1)小題的解答學生容易理解，基本上都能做對:令u=x2-2x+a，要使定義域為R，只需u>0對一切的x∈R恒成立，所以有Δ=4-4a<0，解得a>1.但對于第(2)小題，大部分學生無從入手，個別學生還是寫Δ=4-4a<0.

一、最初的分析思路

第二天在課堂上我解釋如下:這是復合函數，令u=x2-2x+a，則y=log12u，要使函數的值域為R，則u=x2-2x+a要取盡所有的正實數，所以u=x2-2x+a的圖像與x軸必須要有交點，即Δ=4-4a≥0，解得a≤1.

原以為按上面的講解思路，學生應該已經理解.但事與愿違，課后好幾個學生過來提問，說還是不太明白到底“Δ<0”還是“Δ≥0”?看來我的講解思路存在問題，不夠透徹.

二、調整后的分析思路

針對這個困惑，我再次深入地研究這道題目.其實，這里主要是讓學生明白兩個關鍵點.第一點，為什么值

域為R時，u=x2-2x+a要取盡所有的正實數?第二點，為什么當u=x2-2x+a取盡所有的正實數時，Δ≥0?這也正是這道題目的難點.為了突破難點，我在另一個班級上課時重新調整了講解思路:

我先提問:“要想函數f(x)的值域為R，需要滿足什么條件?”

生:“u=x2-2x+a>0，因為對數的真數必須為正數.”

圖1

學生回答得很好，對概念掌握得比較扎實.我又問:“那u≥2可以嗎?此時真數肯定是正數.”

學生一臉疑惑，想了一會兒，有個別學生回答不可以.我追問原因，有兩三個思維反應迅速的學生回答此時值域為(-∞，-1]，聽到這個解釋，周圍的同學也紛紛點頭表示贊同.

我笑了笑，解釋道:“沒錯，結合對數函數的圖像，如圖1，可以發現u∈[2，+∞)，則值域為(-∞，-1]，

所以u>0指u要取盡所有正實數，這樣y才可以取盡所有的實數，才會使值域為R.”

學生恍然大悟.我馬上追問:“那怎樣才能使u=x2-2x+a取盡所有的正實數呢?”

學生的答案五花八門，主要有如下幾種:Δ<0，Δ>0，Δ≥0，umin>0，umin<0，umin≤0.

圖2

我作出u=x2-2x+a的圖像(如圖2)，分析道:“u關于x的圖像無非就三種情況:與x軸沒有交點、一個交點、兩個交點.假設沒有交點，此時能取盡所有的正實數嗎?”

學生回答:“不行，u存在最小值，比最小值小的正數取不到.”

我補充道:“是的，umin=a-1，這時u∈[a-1，+∞)，取不盡所有正實數.那一個交點或者兩個交點可以嗎?”

大部分學生點頭表示可以，但個別學生還是流露出疑惑的表情，這時有個學生問:“老師，如果有交點，u不就會取到0和負數嗎?”

我解釋道:“沒錯，要想函數有意義，u>0，所以我們只需取正實數，不需要考慮u為零或負數.因此只要u能取盡所有正實數就可以了.”

我追問:“圖像與x軸有交點說明什么?”

學生回答:“Δ≥0或umin≤0.”到此，學生基本上能真正理解為什么“Δ≥0”.

三、問題的引申

為了加強學生對題目的理解，我準備了兩道引申問題:

引申1 第(1)題中定義域為R，那值域是什么?第(2)題中值域為R，那定義域是什么?

分析:第(1)題中，umin=a-1，y∈(-∞，log12(a-1)].第(2)題中，u=x2-2x+a>0，當Δ=0時，則定義域為{x|x≠1};當Δ>0時，定義域為x∈(-∞，1-1-a)∪(1+1-a，+∞).

引申2 已知函數y=log12(ax2-2x+a)的值域為R，求實數a的取值范圍.

分析:令u=ax2-2x+a，這時需要討論二次項系數的取值范圍.當a=0時，則u=-2x，u可以取盡所有正數，值域為R，所以a=0滿足條件.若a≠0，u想要取盡所有正數，則a>0，Δ≥0，解得0

【案例反思】

我們總埋怨或責怪學生對于同一類型題目會重復同樣的錯誤，其實我們教師也該自我反思一下，是否因為我們的講解欠透徹，而導致學生沒有把握住問題的本質.倘若學生沒有追根問底的學習習慣，那這些問題就得不到根本性的解決，下次碰到難免還是會錯.其實教師不僅要講解透徹，還要學會靈活多變.變題的主要意圖是培養學生從多種角度分析問題，加強對知識的理解及接受的能力，使學生不僅知其然，更知其所以然.而我們教師要善于以典型例題為原型，導出同類的異型，把它們集中在一起，對解題思路、解題策略以及解題過程中的誤區進行歸納總結.所以教師在課堂教學中的引導作用是不容忽視的，只有正確科學地引導學生進行思考、探索、提出問題、積極反思，才能提高課堂質量，才能讓我們的教育教學更有效.

參考文獻

浙江教育廳教研室編.浙江省普通高中新課程作業本#8226;數學必修1[M].杭州:浙江教育出版社，2009.

(責任編輯 金 鈴)