數(shù)學(xué)直覺思維在中學(xué)數(shù)學(xué)問題解決中的作用

“偉大的發(fā)現(xiàn)，都不是按邏輯的法則發(fā)現(xiàn)的，而都是由猜想得來的，大都是由創(chuàng)造性的直覺得來的.”[1]在數(shù)學(xué)的教學(xué)和學(xué)習(xí)中數(shù)學(xué)直覺思維與邏輯分析思維同樣重要，然而，目前數(shù)學(xué)教學(xué)往往偏重于演繹推理的訓(xùn)練，過分強調(diào)形式論證的嚴密邏輯性，忽視直覺思維的突發(fā)性理解與頓悟作用，忽視數(shù)學(xué)形式過程中生動直觀的一面及包含著大量源于直覺思維的結(jié)果，尤其是解題教學(xué)，只重視數(shù)學(xué)的邏輯思維能力的訓(xùn)練和培養(yǎng)，而忽視數(shù)學(xué)直覺思維意識的培養(yǎng)和直覺思維能力訓(xùn)練的弊端，也就是說，對于直覺思維的運用，還沒有引起應(yīng)有的重視與普遍的關(guān)注，事實上直覺思維在非邏輯思維中占有較重要的地位。

一、對數(shù)學(xué)直覺思維的認識

“在理解數(shù)學(xué)的過程中，領(lǐng)悟推理鏈中所隱含的整體性、次序性、和諧性，達到對推理鏈的整體把握，乃至能夠預(yù)見證明，這種領(lǐng)悟叫做直覺.”[2]人在進行思維時，存在著兩重不同的方式，一是邏輯思維，即遵循嚴密的邏輯規(guī)律，逐步推導(dǎo)，最后獲得符合邏輯的正確答案和做出合理的結(jié)論;另一種就是非邏輯思維.直覺思維屬于非邏輯思維的范疇，它是在觀察和經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，通過歸納、類比和聯(lián)想實現(xiàn)認識過程中由感性到理性飛躍的一種思維形式，是未經(jīng)過一步步分析，對問題突然間領(lǐng)悟、理解或給出答案的思維，是一種以高度省略、簡化、濃縮的方式洞察問題實質(zhì)的思維.在一定程度上，直覺思維就是邏輯思維的凝結(jié)或簡縮，從表面上看，直覺思維過程中沒有思維的“間接性”，但實際上，直覺思維正體現(xiàn)著“概括化”“簡縮化”“語言化”或“內(nèi)化”的作用，是高度集中的“同化”和“知識遷移”的結(jié)果[3].而數(shù)學(xué)直覺思維就是人腦對數(shù)學(xué)對象及其結(jié)構(gòu)的一種迅速的識別、直接的理解和綜合的判斷，也可以說是數(shù)學(xué)的洞察力.數(shù)學(xué)直覺思維和數(shù)學(xué)邏輯思維不同，它不是按照通常的一段論演繹邏輯進行推理的思維方式.從對數(shù)學(xué)對象的思考過程和結(jié)果來說，它比較迅速、直接;從表現(xiàn)規(guī)則來說，它比較“自由”，不受邏輯思維的約束，常常是思維操作的壓縮或簡化.這里包括兩個方面:一方面，是原有邏輯結(jié)構(gòu)的簡化和壓縮，即因為思考者具有豐富的數(shù)學(xué)經(jīng)驗和良好的數(shù)學(xué)修養(yǎng)以及熟練的數(shù)學(xué)技巧，在面臨問題情景時省略了中間的推理過程，直接做出判斷;另一方面是“違反”了邏輯程序，即思考中包含有不符合三段論演繹推理的環(huán)節(jié)，構(gòu)成跳躍式的想象和猜測.它是與數(shù)學(xué)分析思維相比較而存在的，布魯納認為:分析思維的特點是其每個具體步驟均表達得十分清晰，思考者可以把這些步驟向他人敘述:而直覺思維的特點是缺少清晰的確定步驟[4].分析思維中往往含有直覺思維的成分，直覺思維同時也離不開分析思維，分析思維是基礎(chǔ)，直覺思維是提煉與升華.

在理解或創(chuàng)造數(shù)學(xué)的過程中，直覺和邏輯的功用是不同的，推理鏈能夠記載邏輯的功用，卻無法記載直覺的功用.數(shù)學(xué)直覺思維是一種不經(jīng)嚴密邏輯分析步驟，而對問題突然間的領(lǐng)悟、理解或給出答案的思維.通常把“靈感”“猜想”“假設(shè)”“預(yù)感”等都看作是直覺思維.愛因斯坦說:“真正可貴是直覺.”亞里士多德曾說過:“靈感就是在微不足道的時間里，通過猜測而抓住事物的本質(zhì)聯(lián)系.”數(shù)學(xué)直覺思維主要表現(xiàn)如下特點:(1)數(shù)學(xué)對象的整體性;(2)思維產(chǎn)生的突發(fā)性;(3)思維過程的非邏輯性;(4)思維結(jié)果的創(chuàng)造性和超前性;(5)思維模式的靈活性和敏捷性[5].直覺思維的形成離不開思維的迅速概括和高度濃縮，在解題中是多種邏輯思維方法的綜合轉(zhuǎn)換、反復(fù)運用、高度壓縮產(chǎn)生質(zhì)變的結(jié)果，它在搜索和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)解題途徑中起著重要作用.

二、數(shù)學(xué)直覺思維與問題解決

數(shù)學(xué)直覺是能夠運用相關(guān)知識組塊和形象直覺對當前問題迅速形成解決問題的方法和途徑的思維形式，以對知識、方法掌握的廣度、深度和熟練度為基礎(chǔ)，在解題的過程中聯(lián)想和猜想是它的雙翅[6].

1.啟迪直覺思維，引發(fā)聯(lián)想解題

【例1】 已知a，b，c，d都是實數(shù)，求證

a2+b2+c2+d2≥(a-c)2+(b-d)2.

分析:從總體上觀察，此式表達的是兩數(shù)和大于第三數(shù).觀察每一項，它們都可以當作距離，直覺馬上告訴我們，用距離來解決它可能就是一種突破.在平面直角坐標系中，設(shè)A(a，b)，B(c，d)，即有︱OA︱+︱OB︱≥︱AB︱.

徐利治說:“數(shù)學(xué)直覺思維的培養(yǎng)應(yīng)成為數(shù)學(xué)教育的重要內(nèi)容之一.”而直覺思維是以高度省略、簡化、濃縮的方式洞察問題實質(zhì)的思維，能在一瞬間迅速解決問題，其基本形式是直覺的靈感與領(lǐng)悟[7].因此，在解題時，要有意識地進行求巧探索，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的直覺思維能力.

【例2】 已知sinθcosθ=60169且π4<θ<π2，求sinθ和cosθ的值.

分析:對數(shù)據(jù)敏感的同學(xué)會想到拆數(shù)據(jù)60169=1213×513，而在π4<θ<π2的范圍內(nèi)，sinθ>cosθ，從而有sinθ=1213，cosθ=513.

直覺不必建立在感覺明白之上，因為感覺不久便會變得無能為力.例如，人們無法想象千角形，可是人們能夠通過直覺一般地思考多角形，多角形把千角形作為一個特例包括起來.直覺思維不受任何模式的限定，有很大的跳躍性，可以實現(xiàn)數(shù)到形、數(shù)到數(shù)、形與形的跳躍，所以它需要豐富的想象力、創(chuàng)造力和大膽的猜想.

2.開啟直覺思維，大膽猜想

通過對所研究的數(shù)學(xué)問題的結(jié)構(gòu)特征、數(shù)據(jù)特征、圖形特征等方面的細心觀察和分析，啟動直覺思維，提出合理的猜想.

【例3】 在△ABC中，sinC=sinA+sinBcosA+cosB.求證:△ABC是直角三角形.

分析:觀察已知等式的結(jié)構(gòu)特征，發(fā)現(xiàn)A和B的地位相當，直覺上可以猜想C為直角因而設(shè)法從該等式中消去A、B即可使問題獲得解決.

【例4】 設(shè)P、Q為線段BC上的兩定點，BP=CQ，A為BC外一點，當A運動到使∠BAP=∠CAQ時，△ABC是什么三角形?試證明你的結(jié)論.

分析:這里根據(jù)已知條件無法用三段論法推知結(jié)論，必須用直覺來體會.畫出當A運動到使∠BAP=∠CAQ時的圖形，觀察圖形，憑直覺可猜出AB=AC，再證明它.

由此可見，解題的突破口在于猜想，而引發(fā)猜想的落腳點卻是直覺，在這里直覺思維為拓寬解題思路、豐富解題方法起了十分重要的作用.

3.利用直覺，誘發(fā)靈感

愛因斯坦認為:“科學(xué)研究真正可貴的因素是直覺思維.”同樣地，數(shù)學(xué)解題中靈感的迸發(fā)也離不開直覺思維.因為直覺思維在處理問題時，對問題作全面的思考之后，不經(jīng)詳盡的推理步驟，直接觸及對象的本質(zhì)，迅速得出預(yù)感性判斷[8].可以說靈感是直覺的升華，直覺是靈感的源泉.數(shù)學(xué)教師在數(shù)學(xué)中若能激發(fā)學(xué)生的直覺思維，誘發(fā)靈感，則可以提高學(xué)生分析問題解決問題的興趣和能力.

【例5】 解方程x2-6x-3+10x-30x2-6=7.

分析:如果直接采用去分母的方法，方程將變?yōu)楦叽畏匠蹋蜔o法完成，怎么辦?這時，我們觀察到，x2-6x-3與10x-30x2-6是倒數(shù)關(guān)系，通過直覺就會馬上產(chǎn)生靈感——換元.設(shè)x2-6x-3=y，原方程可化為:y+10y=7，即可解出y的具體值，進而求出x的值.

【例6】 已知3(a-b)+3(b-c)+(c-a)=0(a≠0)，求(c-b)(c-a)(a-b)2的值.

分析:有3=(3)2，故直覺告訴我們，該題設(shè)條件在形式上與一元二次方程的形式相似，可以通過構(gòu)造一元二次方程來解決問題.

在解題中運用直覺思維可以引發(fā)我們的聯(lián)想，近而很快找到解題的捷徑，并且節(jié)約時間.

要明確的是，數(shù)學(xué)直覺意味著不嚴格;意味著可見;意味著在缺乏證明時的似真性或可信性;意味著不完全;意味著與詳細或分析相對立的籠統(tǒng)與數(shù)學(xué)直覺思維是一種相對的認識方式，不同于邏輯思維，雖然只是偶然出現(xiàn)，但在想象中它的頓悟性有時超越其邏輯性，這樣，會給學(xué)生的學(xué)習(xí)和解題帶來較強的主動性[9].在解題時，只要通過對對象的考察與分析，經(jīng)過思考與概括，就能迅速抓住問題的實質(zhì)，發(fā)現(xiàn)事物變化的趨勢，把握關(guān)鍵的環(huán)節(jié)，找到解決問題的方法和途徑，從而使問題得以解決，

參考文獻

[1]慈龍英.淺談新課程標準中數(shù)學(xué)直覺思維及培養(yǎng)[DB/OL].www.tlzczs.org.

[2]郭思樂，喻緯.數(shù)學(xué)思維教育論[M].上海:上海教育出版社，1997.

[3]王子興.數(shù)學(xué)方法論-問題解決的理論[M].長沙:中南大學(xué)出版社，2001.

[4]梁知章.淺析在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生直覺思維能力[DB/OL].www.Tdsy.org.

[5]石深敏.數(shù)學(xué)直覺思維特點及直覺能力的培養(yǎng)[J]，咸寧學(xué)院學(xué)報，2003(3).

[6]封雪.直覺思維與數(shù)學(xué)問題[DB/OL].http://cns.3721.com.

[7]戴翰林.引發(fā)猜想培養(yǎng)創(chuàng)造思維習(xí)慣的基本途徑[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2001(1).

[8]梁乾培.解題教學(xué)如何誘發(fā)靈感[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，1997(3).

[9]劉妙龍.重視解析幾何教學(xué)中直覺思維的兩重性[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2003(11).

(責任編輯 金 鈴)