挖掘與拓展教材的必要性

筆者去年被聘為“青年優(yōu)質課評比”的評委，在擔任評委的過程中發(fā)現(xiàn)一些教師在教學中不怎么喜歡用教材中的例題和練習，他們認為教材的例題和練習比較簡單，與高考題的難度有一定的差距.而事實上，高考試題是命題專家潛心研究、匠心獨運的結果，考題往往具有較強的原創(chuàng)性，有利于考查學生的研究意識與創(chuàng)新意識.而原創(chuàng)性較強的高考試題也不是無本之木、無源之水，有不少高考題其原型往往源于課本的例題或練習.下面就兩個例子對教材例題與練習的深入挖掘和拓展，說明教材具有很強的教育功能，對其深入挖掘和拓展，能提高課堂教學的有效性.

【例1】 (1)(2006，江西，(文)10;(理)7)已知等差數(shù)列{an｝的前n項和為Sn，若OB=a1OA+a200OC，且A、B、C三點共線(該直線不過原點O)，則S200=().

A.100 B.101 C.200 D.201

問題探究:(1)欲求等差數(shù)列前200項和，先要求什么量?(求a1和a200，或者a1+a200，或者a1和公差d.)(2)如何求a1+a200呢?(A、B、C三點共線，得a1+a200=1.)

(2)(2002，天津，(文)12;(理)10)平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知兩點A(3，1)，B(-1，3)，若點C滿足OC=αOA+βOB，其中α，β∈R，且α+β=1，則點C的軌跡方程為().

A.3x+2y-11=0 B.(x-1)2+(y-2)2=5

C.2x-y=0D.x+2y-5=0

問題探究:(1)欲求某點的軌跡方程有哪些常用的方法?(方法一是知道該點的軌跡，用定義法求;方法二是建立直角坐標系，設出動點坐標，建立等量關系.)

(2)由已知是否能知道C點軌跡呢?(OC=αOA+βOB，其中α，β∈R且α+β=1得A，B，C三點共線.)

對例1這兩道高考題，如果上課時教師對《數(shù)學》人教版教材第一冊(下)5.3節(jié)例5做如下挖掘與拓展，學生就可以很快解答這兩道高考題.

[教材例題題目]如圖，OA、OB不共線，AP=tAB(t∈R)，用OA、OB表示OP.

分析:由題設知A、B、P三點共線得

OP=(1-t)OA+tOB，從而有如下拓展:

拓展1:已知O為任一點，

OP=xOA+yOB，若A、B、P三點共線，則x+y=1.

拓展2:考慮拓展1的逆命題，即“已知O為任一點，OP=xOA+yOB，若x+y=1，則A、B、P三點共線.”是否成立.

拓展3:把拓展1推廣到空間“已知空間任一點O和不共線的三點A、B、C，OP=xOA+yOB+zOC，若x+y+z=1，則四點P、A、B、C共面.”

拓展4:考慮拓展3的逆命題即“已知空間任一點O和不共線的三點A、B、C，OP=xOA+yOB+zOC，若四點P、A、B、C共面，則x+y+z=1.”

教材例題的結論是平面向量基本定理的一種特殊形式，而這些拓展，既對學生的知識體系進行了整合，又讓學生經(jīng)歷了一次通過類比發(fā)現(xiàn)問題的過程，從而使他們的數(shù)學思維又一次向縱深發(fā)展.例1的兩道高考題就迎刃而解了.

【例2】 (1)(2008，全國卷(Ⅱ)，(理)20)設數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知a1=a，an+1=Sn+3n，n∈N*.(Ⅰ)設bn=Sn-3n，求數(shù)列{bn}的通項公式;(Ⅱ)若an+1≥an，n∈N*，求a的取值范圍.

問題探究:(1)欲求一個數(shù)列的通項公式可用哪些方法呢?(可求Sn或構造特殊數(shù)列.)(2)怎樣找an+1與Sn的關系呢?(利用公式an+1=Sn+1-Sn).

(2)(2009，全國卷(Ⅰ)，(理)20)在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=(1+1n)an+n+12n.

(Ⅰ)設bn=ann，求數(shù)列{bn}的通項公式;(Ⅱ)求數(shù)列{an}的前n項和Sn.

問題探究:(1)欲求數(shù)列的通項公式有什么思想策略?(構造新數(shù)列.由已知有an+1n+1=ann+12n，∴bn+1-bn=12n.)(2)有什么方法求新數(shù)列的通項公式?(利用累差迭加即可求出數(shù)列{bn}的通項公式:bn=2-12n-1(n∈N*).)

例題2這兩道高考題也可在《數(shù)學》人教版教材第一冊(上)復習參考題三的B組題第5題找到原型.

[教材習題題目]在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=3Sn(n≥1)，求證:a2，a3，…，an是等比數(shù)列.

拓展1:在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=3Sn(n≥1)，求數(shù)列{an}的通項公式.

拓展2:在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=3an+2(n≥1)，求數(shù)列{an}的通項公式.并探討在數(shù)列{an}中，a1=m，an+1=pan+q(p≠0，n≥1)，求數(shù)列{an}的通項公式.

拓展3:在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=3an+2n(n≥1)，求數(shù)列{an}的通項公式.并探討在數(shù)列{an}中，a1=m，an+1=pan+q(n)(p≠0，n≥1，q(n)為關于n的函數(shù))，求數(shù)列{an}的通項公式.

拓展4:在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=n+1nan+1n(n≥1)，求數(shù)列{an}的通項公式.并探討在數(shù)列{an}中，a1=m，an+1=p(n)an+q(n)(p≠0，n≥1，p(n)、q(n)均為關于n的函數(shù))，求數(shù)列{an}的通項公式.

通過這幾個拓展，讓學生在類比學習中掌握一些已知某數(shù)列遞推公式求此數(shù)列的通項公式的常用方法(迭代法，累加法，代換法等).掌握解決這類問題的思想策略是構造新數(shù)列的思想，它對培養(yǎng)學生的邏輯思辨能力、創(chuàng)新意識、發(fā)散思維都有很強的作用，也能培養(yǎng)學生在遇到新問題時有一種轉化與化歸的思想.

總之，教材的例題和練習都具有較強的典型性，教師如果對教材的例題和練習深入挖掘和拓展，不僅有利于學生的學習方法、探究意識及創(chuàng)新精神的形成，更能提高教師課堂教學的有效性，也能加強學生在高考中的數(shù)學競爭力.

參考文獻

[1]湯敬鵬.課本例題的挖掘與拓展[J].中學數(shù)學教學參考，2009(11).

[2]劉明.研究高考試題增強有效復習[J].中學數(shù)學教學參考，2009(11).

(責任編輯 金 鈴)