對“圓錐曲線與方程”兩道課本習題的探究

蘇教版《普通高中課程標準實驗教科書數學選修1-1》第2章“圓錐曲線與方程”有兩道習題分別為:

(習題2.2(2)第11題)

一廣告氣球被一束平行光線投射到水平面上，形成一個離心率為32的橢圓.求這束光線與水平面的入射角的大小.

(習題2.1第5題)

將一個半徑為R的籃球放在地面上，被陽光斜照留下的影子是橢圓.如果將光源換成點光源，那么影子可能是拋物線嗎?

由于氣球的高低并不影響投影的形狀，所以可以將上述兩個問題合二為一，即籃球放在地面上時，研究籃球在地面上的投影情況.

對于這個問題，本文作如下的一些探究，供參考.

[探究1] 將一個半徑為R的籃球放在地面上，被陽光斜照留下的影子為什么是橢圓?

圖1

如圖1，l1，l2為球上、下兩側與球相切的兩條光線，l1，l2與地面的交點分別為A、B，AB連線稱為l，將光線l1，l2延長，在水平面的另一側放置一個球O2，使得球O2與l1，l2及地面均相切(把地面的另一側想象成空的).球O1、O2與l分別相切于點F1、F2，設P為影子上一點，光線MPN為球O1、O2的切線，PF1為球O1的切線，PF2為球O2的切線，∴PF1+PF2=PM+PN=MN，而M、N是一條直線與球O1、O2的兩個切點，MN=O1O2為定值，顯然MN>F1F2，所以，點P的軌跡是橢圓.

[探究2] 將一個半徑為R的籃球放在地面上，被陽光斜照留下的影子為橢圓.若光線與水平面的入射角為θ，試求橢圓的離心率.

在圖1中，過B作l1的垂線，垂足為C，則在Rt△ABC中，AB=2a，BC=2R=2b，∴AC=2c，∴e=ca=2c2a=ACAB=cosθ.①

習題2.2(2)第11題中，已知離心率為32，即e=cosθ=32，則θ=30°，即光線與水平面的入射角為30°.

圖2

在圖1中，如果把過球心O1、O2與太陽光線垂直的截面設為⊙O1、⊙O2，則與球相切的光線被夾在⊙O1、⊙O2間的部分可以看成是一個圓柱，而地面可以看成是圓柱的一個截面，如圖2.若截面所在平面與⊙O2所在平面形成的二面角大小為α，則橢圓的離心率e=sinα.②

顯然，α+θ=90°，所以①②式在本質上是一致的.

[探究3] 將一個半徑為R的籃球放在地面上，被陽光斜照留下的影子是橢圓.如果將光源換成點光源，且光源離地面的距離大于2R，影子是什么曲線?曲線的離心率如何表示?

圖3

如圖3，點光源O發出的光線與球O1的切線形成一個圓錐面.在地面的另一側放置一個與地面及圓錐面都相切的球O2，球O1、O2的半徑分別為R1、R2.球O1、O2與地面分別相切于點F1、F2，圓錐面與兩球的公共點分別形成圓O3、圓O4.在影子的邊緣上任取一點M，連結OM并延長分別交圓O3、圓O4于點P、Q，連結MF1，MF2，MP和MF1，MQ和MF2分別是上下兩球的切線.則MP=MF1，MQ=MF2，所以，MF1+MF2=MP+MQ=PQ.因為PQ=OQ-OP，而OQ、OP是常數，所以PQ為常數，即截線上任意一點到兩定點F1、F2的距離和等于常數.顯然MF1+MF2>F1F2，所以點M的軌跡是橢圓.

圖4

如圖4，作圓錐的軸截面.作O1A⊥OA于A，作O2B⊥OB于B，則AB=PQ=2a，F1F2與兩母線分別交于點C、D，作CE⊥O1O2于E，O1O2交CD于M，設∠BOO1=α，

∠DCE=θ，又CE⊥O1O2，O2F2⊥CD，∴∠F2O2O=θ，

又AB=2a，∴O1O2=2acosα.考察Rt△O2F2M和Rt△O1F1M，可知

2c=F1F2=O1O2sinθ=2acosαsinθ，∴e=2c2a=sinθcosα.

由于α+θ<90°，所以sinθ

[探究4] 用平面截圓錐面，當平面與圓錐的一條母線平行時，截得的圖形是什么曲線?為什么?

圖5

如圖5，△ABC為圓錐的軸截面，截面DEF平行于母線AB交軸截面于DE，在DE上任取一點J，過J作與圓錐的軸垂直的截面HKG，與面DEF交于點J、K，作DL∥HG，LM⊥DE于M，作DN⊥JG于N，則

JK2=HJ#8226;JG=LD#8226;JG=2LD#8226;JN=2DM#8226;DJ，

圖6

設x=JD，y=JK，p=DM，得y2=2px，點M為該拋物線的焦點.

[探究5] 將一個半徑為R的籃球放在地面上，被陽光斜照

留下的影子是橢圓.如果將光源換成點光源，那么影子

可能是拋物線嗎?為什么?

如圖6，從點光源發出的與

球相切的光線形成一個圓錐面，球

在地面上的影子相當于地面截圓錐面所得曲線及其內部.而當點光源O到地面距離為球直徑時，地面與母線OA平行，由探究4可知，這時所截曲線為拋物線，這其實就是習題2.2第5題的解答.

[探究6] 用平面截圓錐面，當平面與軸平行時，截得的圖形是什么?為什么?

我們考察圓錐為直角圓錐的情形.

圖7

如圖7，Rt△ABC為直角圓錐軸截面，截面DEF平行于軸AO，在DE上任取一點J，過J作與圓錐的軸垂直的截面HKG，與面DEF交于點J、K，AO交HG于點I，作DM⊥AO于點M，

設x=AI，y=KJ，a=AM，由于△AHG為等腰直角三角形，所以，

x2-y2=AI2-KJ2=HI2-HJ#8226;JG

=HI2-(HI+IJ)#8226;(HI-IJ)=IJ2=DM2=AM2=a2，

即x2-y2=a2，曲線DKF為雙曲線.

(責任編輯 金 鈴)