不等式錯(cuò)解之探究

數(shù)學(xué)教學(xué)倡導(dǎo)有意義學(xué)習(xí)，即立足理解知識(shí)的學(xué)習(xí)，而完整的學(xué)習(xí)過(guò)程包括理解知識(shí)、保持知識(shí)和運(yùn)用知識(shí)三個(gè)環(huán)節(jié).在高中不等式學(xué)習(xí)中，學(xué)生出現(xiàn)解題錯(cuò)誤便是在完整的學(xué)習(xí)過(guò)程中出現(xiàn)了漏洞.把學(xué)生作業(yè)、練習(xí)、試卷中出現(xiàn)的不等式典型的錯(cuò)解、錯(cuò)誤作為教學(xué)的素材，通過(guò)對(duì)學(xué)生錯(cuò)解、錯(cuò)誤的辨析，就可有效地幫助學(xué)生弄清出錯(cuò)的根本原因，從而深刻理解所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的本質(zhì)屬性，循序漸進(jìn)地學(xué)習(xí).

【例1】 已知a，b∈(0，+∞)，且a+b=1，求證:(1+1a)(1+1b)≥9.

錯(cuò)解:∵a，b∈(0，+∞)，∴1+1a≥21a，1+1b≥21b.

∴(1+1a)(1+1b)≥41ab.又∵ab≤a+b2=12，

∴1ab≥4，即(1+1a)(1+1b)≥44=8.

錯(cuò)解分析:不難看出1+1a≥21a，當(dāng)且僅當(dāng)1=1a，即a=1時(shí)取等號(hào)，這就使得b=0，與已知矛盾.

正解:∵ab≤a+b2=12，∴1ab≥4.

(1+1a)(1+1b)=1+1a+1b+1ab=1+1a+1b+a+bab

=1+2(1a+1b)≥1+41ab≥1+44=9(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)).

小結(jié):不等式a2+b2≥2ab(ab∈R)與不等式a+b2≥ab(a，b∈R+)成立的條件是不同的:前者只要求a、b都是實(shí)數(shù)，而后者a、b要求都是正實(shí)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào).因此在運(yùn)用這兩個(gè)不等式時(shí)，應(yīng)注意其成立的條件和正確變形.

【例2】 若x，y∈(0，+∞)且1x+9y=1，則x+y的最小值為多少?

錯(cuò)解:∵x，y∈(0，+∞)，∴1=1x+9y≥6xy，

∴xy≥36，∴x+y≥2xy≥12，故x+y的最小值為12.

錯(cuò)解分析:在運(yùn)用1x+9y≥6xy中的等號(hào)是在1x=9y，即y=9x時(shí)取得;而x+y≥2xy中的等號(hào)是在x=y時(shí)取得，很明顯，這兩個(gè)不等式取等號(hào)的條件不一致，故此解為錯(cuò).

正解:∵1x+9y=1，∴x=yy-9(x>0，y>9).∴x+y=yy-9+y=(y-9)+9y-9+10≥16，當(dāng)且僅當(dāng)y-9=9y-9時(shí)，即x=4，y=12時(shí)，x+y=16.

小結(jié):本題是利用“均值不等式”求最值的問(wèn)題，當(dāng)中要運(yùn)用的兩個(gè)不等式都是帶有“≥”的不等式，因此對(duì)其中的“當(dāng)且僅當(dāng)……時(shí)取‘=’號(hào)”這句話(huà)的含義要清楚，在同一問(wèn)題條件下兩個(gè)不等式同時(shí)取等號(hào)的條件要一致.

【例3】 設(shè)a≥0，b≥0，a2+b22=1，求a1+b2的最大值.

錯(cuò)解:a1+b2=12(2a)#8226;1+b2≤12#8226;4a2+(1+b2)2

=12[(a2+12)+(a2+b22)]=12[(a2+12)+1]≥34(a=0時(shí)取等號(hào)).

錯(cuò)解分析:在a1+b2=12(2a)1+b2≤12#8226;4a2+(1+b2)2中，

4a2+(1+b2)2并非定值.

正解:∵a2+b22=1，∴a2+1+b22=32.

∴a1+b2=2a1+b22≤2#8226;(a2+1+b222)=2#8226;322=324.

當(dāng)a2+b22=1且a=1+b22時(shí)，即a=32，b=22時(shí)，a1+b2的最大值為324.

小結(jié):在利用均值不等式求解時(shí)，應(yīng)根據(jù)不等式的意義、性質(zhì)，正確運(yùn)用重要不等式，應(yīng)用化歸思想適當(dāng)進(jìn)行“拼、配、湊”，即化未知為已知，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，化一般為特殊的方法，使之出現(xiàn)我們所需的定值，從而得解.

【例4】 已知a，b∈(0，+∞)，且a+b=1，求2+a+2+b的最大值.

錯(cuò)解:2+a+2+b=2+a#8226;1+2+b#8226;1≤2+a+12+2+b+12=a+b2+3=72，∴2+a+2+b

的最大值為72.

錯(cuò)解分析:事實(shí)上，2+a+2+b<72，因?yàn)樯厦鎽?yīng)用均值不等式時(shí)等號(hào)成立的條件為

a+2=1，且b+2=1，解得a=-1，b=-1，這顯然與a+b=1矛盾.

正解:a2+b2≥2ab，∴2(a2+b2)≥(a+b)2，∴a+b2≤a2+b22.

∴2+a+2+b≤2#8226;(2+a)+(2+b).

∴2+a+2+b≤10

，當(dāng)且僅當(dāng)2+a=2+b，即a=b時(shí)等號(hào)成立.

又a+b=1，∴a=12，b=12時(shí)，2+a+2+b取得最大值10.

小結(jié):在應(yīng)用均值不等式求最值時(shí)應(yīng)注意以下幾個(gè)條件:(1)兩個(gè)變量必須是正變量;(2)當(dāng)它們的和為定值時(shí)，其積取得最大值;當(dāng)它們的積是定值時(shí)，其和取得最小值;(3)當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)數(shù)相等時(shí)取最值，即必須同時(shí)滿(mǎn)足“正數(shù)”、“定值”、“相等”三個(gè)條件，才能求得最值.在求某些函數(shù)的最值時(shí)，還要注意進(jìn)行恰當(dāng)?shù)暮愕茸冃巍⒎治鲎兞俊⑴渲孟禂?shù).

【例5】 解不等式11-lgx≥11+lgx.

錯(cuò)解1:∵11-lgx≥11+lgx，∴1+lgx≥1-lgx，∴l(xiāng)gx≥0，∴x≥1.

錯(cuò)解2:11-lgx-11+lgx≥0，2lgx(1-lgx)(1+lgx)≥0，

∴l(xiāng)gx(1-lgx)(1+lgx)≥0，解得lgx≤-1或0≤lgx≤1.

正解:原不等式可化為:lgx(lgx-1)(lgx+1)<0或lgx=0.

∴l(xiāng)gx<-1或0≤lgx<1，∴0

∴原不等式的解集為{x|0

小結(jié):解對(duì)數(shù)不等式除了應(yīng)用不等式的基本解法外，往往還要用到對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)或其他相關(guān)變換思想將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式問(wèn)題來(lái)解，在變形過(guò)程中應(yīng)注意變形的恒等性.

錯(cuò)誤是正確的先導(dǎo)，錯(cuò)誤是通向成功的階梯.教師所設(shè)計(jì)解法的正誤討論能夠使學(xué)生嘗試失敗，并從失敗中找到錯(cuò)誤原因，使學(xué)生在比較中加深對(duì)正確解法的理解，把新知識(shí)納入到原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中.教學(xué)不是單純的解題活動(dòng)或解題過(guò)程，我們應(yīng)該在題目解完后，反思解題的探索過(guò)程，概括提煉出規(guī)律性的東西，將所解之題進(jìn)行拓展延伸，歸納總結(jié)，掌握規(guī)律，促進(jìn)遷移.當(dāng)學(xué)生通過(guò)自己一系列思維活動(dòng)獲取知識(shí)，并能深入思考問(wèn)題本質(zhì)、排除錯(cuò)誤時(shí)，他們就能在鍛煉和培養(yǎng)自身思維的靈活性、嚴(yán)謹(jǐn)性、深刻性等良好思維品質(zhì)上向前跨越一步!

(責(zé)任編輯 金 鈴)