把握應用題教學脈絡降低應用題教學難度

一、 問題的提出

小學六年級數(shù)學的數(shù)與代數(shù)領域的核心內(nèi)容為分數(shù)(百分數(shù))乘除法應用題。由于百分數(shù)應用題可以相應地轉(zhuǎn)化為分數(shù)應用題，其解題思路是一致的，因而分數(shù)乘除法應用題的教學就成了重中之重。

解答分數(shù)乘除法應用題，一般有以下步驟:第一，讀題并找出單位“1”的量;第二，找出題目中的等量關系;第三，列式或列方程計算;第四，檢驗并寫出答語。在教學中我們會強調(diào)找準單位“1”的量、分析數(shù)量關系的重要性，并明確當單位“1”已知時，用單位“1”的量×對應分率=要求的比較量，而當單位“1”未知時，用比較量÷對應分率=單位“1”的量(或列方程解答)。

雖然經(jīng)過大量的分析和計算訓練，但是學生仍然會經(jīng)常出錯。對他們來說，小學階段的應用題中，最難以理解和掌握的就是分數(shù)乘除法應用題，因為這類應用題的分析、解答方法與以前所學應用題截然不同，因而難以接受，在解題時只能憑借“感覺”去猜測。究其原因，還是解答分數(shù)乘除法應用題時“不得要領”，沒有完全理解。

面對這種情況，怎樣才能幫助學生更好地理解并熟練掌握分數(shù)乘除法應用題的分析、解答方法，從而化解小學階段應用題教學中的最大一塊“頑石”呢?

二、 追根求源

小學階段應用題中所涉及到的各種數(shù)量關系，究其根源，都可以歸結為差比關系和商比關系這兩大類，其中差比關系包括兩個數(shù)量之間相比較的相差關系和整體與部分之間的部總關系，涉及到加減法運算，其應用題形式表現(xiàn)為加減法應用題;而商比關系包括兩個數(shù)量之間相比較的倍數(shù)關系和總量與每份量之間的份總關系，涉及乘除法運算，其應用題形式表現(xiàn)為乘除法應用題。

如果從應用題中所涉及到的數(shù)的范圍來看，小學階段的應用題又可分為整數(shù)應用題、小數(shù)應用題、分數(shù)和百分數(shù)應用題。

小學一二年級就開始全面學習整數(shù)應用題，幫助學生分析、理解并熟練解答相應的差比關系和商比關系應用題，而三四年級則將整數(shù)應用題的練習進一步強化。至此，學生對整數(shù)應用題中的差比和商比關系已形成了一個完整的解題思路，建構起一整套知識體系。

到了五年級第一學期，學習了小數(shù)四則運算之后，教材中并沒有正式出現(xiàn)相應的小數(shù)應用題的例題，而是把這些小數(shù)應用題放在練習題中由學生獨立解答。由于小數(shù)應用題與整數(shù)應用題的數(shù)量關系完全一致，而只是數(shù)的范圍由整數(shù)擴展到了小數(shù)，學生完全可以憑借原先掌握的解答整數(shù)應用題的方法，輕松地完成小數(shù)應用題，所以這類應用題對他們來說沒有任何困難。

在五年級第二學期學習了分數(shù)加減法后，教材中隨即出現(xiàn)了相應的差比關系的分數(shù)應用題，對于這些題目同樣無需教師著力講解，可以放手讓學生獨立解答，同樣也不存在任何困難。

然而到六年級學習商比關系的分數(shù)應用題時，情況卻有了很大的變化。比如教材中有以下四道例題(例題的順序已作調(diào)整):

例1:做一朵綢花用米綢帶，小芳做3朵這樣的綢花，一共用幾分之幾米綢帶?

例2:4米綢帶，每米剪一段，可以剪成多少段?

例3:黃花有50朵，紅花比黃花多，紅花比黃花多多少朵?

例4:小瓶果汁有600毫升，小瓶里的果汁是大瓶的，大瓶果汁有多少毫升?

對于上面的例1和例2，教材一般通過應用題引出分數(shù)乘除法的計算教學，而應用題的分析、理解則沒有任何難度。而對于例3和例4這類涉及到“分率”和單位“1”的分數(shù)應用題，就需要教師重點講解應用題的分析方法，通過線段圖幫助理解。盡管如此，學生在理解上還是存在相當大的困難，分析理解時錯誤時有發(fā)生。同樣是商比關系的分數(shù)應用題，差別為何如此之大?

教育心理學的同化理論告訴我們，學生在學習新知識識時，如果其原有認知結構中有相應的舊知識能與所學的新知識發(fā)生聯(lián)系，就能很快地把新知識納入到原有的認知結構中去，從而理解、掌握新知識;如果在原有的認知結構中找不到可以同化新知識的“生長點”，那么理解、掌握新知識將會比較困難。

對于差比關系的應用題，在教學中并沒有依據(jù)數(shù)據(jù)的范圍來進行分析，也就是說不管是整數(shù)、小數(shù)還是分數(shù)，其分析、解答方法都是一樣的。因此，學生容易從整數(shù)應用題順利地遷移到小數(shù)和分數(shù)應用題中，而沒有任何困難。

但是對于商比關系的應用題，就截然不同了。當商比是整數(shù)、小數(shù)時，即為一般的倍數(shù)關系應用題(如上面的例1和例2中的商比都是整數(shù)，因而它們的分析方法與整數(shù)、小數(shù)中的倍數(shù)關系應用題是一樣的，所以沒有什么困難);而當商比是分數(shù)時，就是特殊的分數(shù)乘除法應用題(如上面的例3和例4)，它的分析方法與倍數(shù)關系應用題有很大差別，因而不能順利地產(chǎn)生遷移，進行新知識同化，造成理解上的困難。

由此看來，分數(shù)乘除法應用題之所以難教、難學，主要是因為知識體系的前后脫節(jié)，而要想從根本上解決這個問題，就必須統(tǒng)一商比關系應用題。

三、 統(tǒng)一乘法算式的含義

商比關系應用題的不統(tǒng)一，其根源在于一直以來形成的乘法算式含義的多樣化。盡管新教材中已經(jīng)刪除了理解乘法算式含義的教學要求，但它對應用題的分析、理解仍然存在著不可避免的影響。因此，統(tǒng)一商比關系應用題，就需要從統(tǒng)一乘法算式的含義入手。

對于四則運算的含義，加法、減法和除法都不受數(shù)據(jù)范圍的影響，算式的含義都是一致的，而只有乘法算式最為特殊，對于不同的數(shù)據(jù)范圍有著不同的具體含義，甚至在新的課程標準實施之前，乘法算式的含義及其獨特性還一直是試卷上的“常客”。

對于整數(shù)乘法而言，算式表示“求幾個相同加數(shù)的和的簡便運算”，如15×4表示“求4個15相加的和是多少”;當乘數(shù)是大于1的小數(shù)時，算式表示“求一個數(shù)的多少倍”，如15×1.4表示“15的1.4倍”;當乘數(shù)是小于1的小數(shù)時，要說成“求一個數(shù)的十分之幾、百分之幾、千分之幾……是多少”，如15×0.14表示“15的百分之十四”;而當乘數(shù)是分數(shù)時，則要說成“求一個數(shù)的幾分之幾是多少”，如15×表示“15的三分之二”。

乘法算式含義的多樣化，讓學生無以應對。其實要說含義多樣化，除法一點也不遜色。比如45÷15表示“求45里有幾個15”，40÷15表示“求40是15的多少倍”，10÷15表示“求10是15的幾分之幾”，而10÷則又表示“求什么數(shù)的是10”。對于這些具體的含義，我們都不需要加以考慮，而只是簡單的說成“已知兩個數(shù)的積是……，和其中一個數(shù)……，求另一個數(shù)是多少”。

因此，對于乘法算式，我們也不妨統(tǒng)一說成是“求一個數(shù)的幾倍”，而不必考慮這兒的倍數(shù)是整數(shù)、小數(shù)還是分數(shù)。如前面幾個乘法算式可相應地說成“15的4倍”、“15的1.4倍”、“15的0.14倍”和“15的倍”。

盡管這種改變與我們的傳統(tǒng)習慣相沖突，可能一時還難以接受，但是如此一來，就可以避開算式和數(shù)據(jù)之間的具體差別，而把它們緊緊地統(tǒng)一在一個相同的關系之中，四則運算的含義也就全部保持一致，乘法算式也就不會因其含義的不一致而產(chǎn)生出種種麻煩來了。

四、 統(tǒng)一商比關系應用題

1.統(tǒng)一商比關系

在乘除法應用題中，兩個數(shù)量或整體與部分之間的比值(或商)稱作是商比，當商比是整數(shù)、小數(shù)時，即為一般所稱的倍數(shù);當商比是分數(shù)時，即為分率。為了增強乘除法應用題的內(nèi)聚性，突出它們之間的聯(lián)系，我們不妨把這里的商比統(tǒng)一稱作“比率”。

這樣一來，整數(shù)、小數(shù)乘除法應用題中的“一倍量、幾倍量與倍數(shù)”和分數(shù)乘除法應用題中的“單位‘1’、比較量與分率”都可以統(tǒng)一在“標準量、比較量與比率”這三者的關系之中，從而增強它們之間的聯(lián)系，明確分數(shù)乘除法應用題的“生長點”。

2.重新分析倍數(shù)關系應用題

統(tǒng)一后的乘除法應用題，其起始部分為倍數(shù)關系應用題，我們要注意打好學生這部分的基礎，做好教學上的銜接工作，為后續(xù)內(nèi)容的學習做好準備。

例如，有這樣一道例題:“飼養(yǎng)組養(yǎng)了12只小雞，3只小鴨。小雞的只數(shù)是小鴨的幾倍?”教材上的提示為:“想:12里面有幾個3，小雞的只數(shù)就是小鴨的幾倍”，教師在課堂上也是這樣引導的。通過這樣的提示，學生就能明白為什么要用12÷3。

這樣的教學安排，只局限于教會學生解答倍數(shù)關系應用題，由于忽略了標準量的分析，割裂了與分數(shù)乘除法應用題之間的聯(lián)系，無形中加大了后續(xù)學習的難度。況且，僅從倍數(shù)關系本身考慮，而不引導學生分析標準量，不利于數(shù)學辨證思想的培養(yǎng)，不能很好地認識事物與數(shù)量之間的相對性。

如果例題中增加一個條件——“小鵝有6只”，這時，小雞的只數(shù)為小鵝的2倍。小雞的數(shù)量沒有變，為什么倍數(shù)在變?學生很難準確回答。因為學生并沒有很好地認識到，在兩次比的過程中，雖然小雞的數(shù)量沒變，但比的標準變了，因而倍數(shù)也會跟著改變。

在倍數(shù)關系應用題中，確定標準量是非常重要的，教學時應特別注重標準量的分析。當學生初步認識了“倍”之后，就要引導他們思考題目中是哪兩個量在比?以什么量為標準?是誰在和這個標準量比?通過分析，讓學生明白:當小雞的只數(shù)與小鴨的只數(shù)在比時，以小鴨的只數(shù)為標準，把小鴨的只數(shù)當作一個整體，作為一份的量。這樣，求小雞的只數(shù)是小鴨的幾倍，就是求小雞的只數(shù)中有幾個這樣的一份，即有幾個3只。

這樣教學，學生就完全抓住了問題的關鍵，即先找標準量和比較量，當比較量或標準量發(fā)生改變而引起倍數(shù)的改變時，學生就能說出其中的理由了。這種教法正好與分數(shù)乘除法應用題的分析方法銜接起來，突出了對標準量和比較量的分析，分散了后續(xù)學習的難點。

3.改革分數(shù)乘除法應用題教學

當我們統(tǒng)一了乘法算式的含義、調(diào)整了倍數(shù)關系應用題的教學策略之后，分數(shù)乘除法應用題與整數(shù)、小數(shù)乘除法應用題之間原本存在的“鴻溝”將不復存在。因為分數(shù)應用題中分析標準量、比較量與比率關系的方法，已在倍數(shù)關系應用題中打下了基礎，理解起來不會有太大的難度。

在分數(shù)乘除法應用題的題目呈現(xiàn)時，都統(tǒng)一在分率后面添上一個“倍”字，雖然只是一字之差，但卻真正使分數(shù)乘除法應用題融入到商比關系應用題的完整體系中，不再顯現(xiàn)出算式含義的特殊性與應用題分析、理解、解答方法的特殊性。相反，學生可以從原有倍數(shù)關系應用題的分析方法上，順利地遷移到分數(shù)乘除法應用題中，既增強了知識體系的前后連貫性，又幫助學生降低了學習難度，有效地同化了新知識。

例如，在教學“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾”的應用題時，可以這樣引入:“雞50只，鴨10只，雞的只數(shù)是鴨的多少倍?”然后把鴨的只數(shù)依次改為20、30，并最后出示“雞50只，鴨60只，雞的只數(shù)是鴨的幾分之幾倍?”逐步讓學生發(fā)現(xiàn)，求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾，其實與求一個數(shù)是另一個數(shù)的多少倍是一樣的，分析時都要先確定標準量和比較量，這樣學生便能順利掌握。

對于要求比較量的應用題，如:“紅花有120朵，白花的朵數(shù)是紅花的，白花有多少朵?”如果改成:“紅花有120朵，白花的朵數(shù)是紅花的倍，白花有多少朵?”學生便能方便地知道是求“120朵的倍是多少”，聯(lián)系倍數(shù)關系應用題中求幾倍量的方法，根據(jù)“比較量=標準量×比率”而順利列出算式“120×”，無需教師過多地講解或是借助線段圖來幫助分析。

對于要求單位“1”的題目，如前面的例4，教材通過對線段圖進行分析，考慮到題目是逆敘述的，學生直接用算術方法解答比較困難，便引導根據(jù)關系式“單位‘1’×分率=比較量”而列出方程解答。同樣是逆敘述，倍數(shù)關系應用題中要求一倍量時，根本無需列方程解答，而只需要用“幾倍量÷倍數(shù)=一倍量”直接列算式即可。因此教材中列方程求單位“1”的解答方法，實則是人為地增加了分數(shù)乘除法應用題的難度，生生割裂了應用題之間的前后聯(lián)系。如果把例4改為:“小瓶果汁有600毫升，小瓶里的果汁是大瓶的倍，大瓶果汁有多少毫升?”那么根據(jù)題意可知“大瓶果汁體積的倍是600毫升”，因此“大瓶果汁的體積”是標準量，“600毫升”是比較量，而“倍”則是比率。根據(jù)關系式“比較量÷比率=標準量”，類似于倍數(shù)關系應用題中求一倍量的方法，就可以列出算式“600÷”，根本無需借助方程來幫助思考并解答。

對于較復雜的分數(shù)乘除法應用題，我們同樣可以把單位“1”的量視為標準量(一倍量)，在分率后面添上“倍”字變成比率(倍數(shù))，從相應的整數(shù)、小數(shù)應用題引入，就能降低難度，達到較好的教學效果。比如:“學校有足球65個，比籃球的個數(shù)多，籃球有多少個?”這類題目在解答時，不僅要求學生判斷單位“1”的量是已知還是未知(確定用乘法解答還是用除法或方程解答)，還要判斷題目中的分率是多還是少(確定分率是用加法還是減法計算)，學生一不小心就容易做錯。

聯(lián)想到倍數(shù)關系應用題中的類似問題:“白兔有60只，比灰兔的只數(shù)多2倍，灰兔有多少只?”根據(jù)“白兔比灰兔多2倍”，可以知道白兔的只數(shù)是灰兔的1+2=3倍，灰兔的只數(shù)是一倍量，因而用除法解答:60÷(1+2)。

那么類似的，如果把剛才這道學生容易做錯的分數(shù)應用題改為:“學校有足球65個，比籃球的個數(shù)多倍，籃球有多少個?”學生就可以根據(jù)“足球比籃球多倍”這個條件，知道足球的個數(shù)相當于籃球的1+=倍，也就是說籃球個數(shù)的倍是65只，籃球個數(shù)是標準量，用除法來解答:65÷(1+)。這樣，學生就能很好地理解并解答這些較復雜的分數(shù)應用題。

上面我們詳細分析了分數(shù)乘除法應用題難教難學的癥結所在，并嘗試著在教學中進行應用題的整合處理，提出了一整套教學改革措施。相信經(jīng)過我們的努力，分數(shù)乘除法應用題將不再成為學生學習過程中的一大障礙，而僅僅是隨著數(shù)的范圍擴展在應用題領域的一個普通遷移而已。