“螺旋上升”的價值實現于教學目標的準確定位

現行《全日制義務教育數學課程標準》把“小數概念”教學分為兩個階段，與之相配套的各類教材中，第一學段三年級下冊以“小數的初步認識”編入，第二學段從四年級下冊起系統認識小數。“小數的意義”一課是第二學段系統認識小數的起始課。這樣的編排，符合“按照兒童的認知規律和數學知識的內在聯系”，“由淺入深，由易到難，循序漸進，螺旋上升”[1]的編排意圖。然而要真正把教材編排意圖在教學實踐中體現出來，其前提在于教師對分段后各層次教學內容、教學目標的準確把握上。但在實踐中，一線教師對這兩節內容設計意圖把握不清晰，造成教學目標定位不恰當的現象屢屢發生。因此，我們很有必要對“小數概念”教學兩個不同階段的內容作深入解讀與分析。

一、 教材內容解讀與教學目標定位

數學知識“螺旋上升”式的編排方式，是基于學生對數學知識的理解和掌握的過程，正是一個從低級到高級、從簡單到復雜的曲折過程，符合學生的認知特點。那么，如何以“螺旋上升”的思想解讀“小數初步認識”和“小數意義”這兩節內容呢?

1.“小數的初步認識”——喚醒學生經驗中的“小數”

從教材主題圖及例題情境可以看出，人教版三年級下冊“小數的初步認識”一課雖然安排在三年級上冊“分數的初步認識”之后，但引導學生“結合具體情境解釋情境中某個具體小數的含義”，借助學生豐富的生活經驗(如“人民幣單位”、“長度單位”間的進率)，初步感知“小數”與“分數”之間的聯系，是這節課的重點教學內容。

在筆者的理解中，更愿意把“小數的初步認識”作為系統學習“小數”的準備課來處理。因為“小數的初步認識”一課還沒有真正切入到小數的本質內涵上來。這節內容更側重于為學生呈現經驗認識的東西，引導學生將對小數與分數已有的認識經驗全部暴露出來，并借助某個具體量來初步感知小數與分數間的關系，進而直觀認識小數。這種認識僅僅是一種直觀層面的連接，不具有結構化與抽象歸納的特征。筆者以為，在本節內容中，“小數”與“分數”間的聯系試圖通過一個具體的量來建立。如“1角可以用0.1元來表示”，“1角也可以用元來表示”，引導學生感知0.1元和元可以表示同一個量。教材沒有上升到“0.1元=元”的要求，更沒有出現“0.1=”這樣的要求。又如例1中出現:1分米是米，還可以寫成0.1米;1厘米是米，還可以寫成0.01米;“做一做”中出現:7角是 元，還可以寫成()元。這些“還可以”的表述均表示了這樣的定位。

2.“小數的意義”——追求“小數”概念的數學理解

概念的建立是一個系統過程，有些概念的認識是一種“前概念”否定之否定的過程，是一個不斷累積與升華的過程。對于學生來說，因為對“小數”的認識經驗，起始于生活，其前概念中具有豐富的感性材料作支撐。當然，學生對“小數概念”的認識不能僅僅停留于此，于是在“小數的意義”一課的教學中，更多關注了數學知識的內在邏輯結構。

“小數的意義”一課，人教版教材編排在四年級下冊。同樣從教材呈現的主題圖與例題來分析，這節內容的重點是幫助學生建立“小數是十進分數的另一種表示形式”的概念，即“一位小數表示是十分之幾的分數，兩位小數表示的是百分之幾的分數，三位小數表示的是千分之幾的分數……”教材則以“對應”的方式表達的:

1分米1厘米1毫米

米 米 米

0.1米 0.01米 0.001米

最后得出:分母是10、100、1000……的分數可以用小數來表示。

筆者明顯感到，教材有意識地把關注“一位小數、兩位小數以及三位小數與十分之幾、百分之幾、千分之幾之間的對應關系”，作為引導學生理解“一位小數表示十分之幾、兩位小數表示百分之幾、三位小數表示千分之幾”這一本質內涵的重要過程，充分體現了教材編寫者利用數學知識內在的邏輯結構，幫助學生理解“小數即是十進分數的另一種表示形式”的意義這一意圖。

綜合以上分析，筆者認為，三年級下冊教材“小數的初步認識”更多關注了小數與分數之間的線性聯接;四年級下冊教材“小數意義”則注重了“小數概念”數學內涵層面上材料的呈現。于是，兩節內容的核心目標也就可以這樣來確定了。

“小數的初步認識”教學的核心目標:引導學生理解具體情境中小數的含義，知道以“元”、“米”等作單位表示具體量的小數各個數位上的數所表示的意義;結合具體情境，知道十分之幾可以用一位小數表示，百分之幾可以用兩位小數表示。

“小數的意義”教學的核心目標:在探究小數與十進分數內在聯系的基礎上，理解小數的意義，知道一位小數表示十分之幾，兩位小數表示百分之幾，三位小數表示千分之幾……

二、 核心活動設計與分析

1.“小數的初步認識”核心活動設計與分析

【核心活動的設計】

活動一:以“元”作單位的小數含義的理解。

選擇一個以“元”作單位的小數，請學生說一說這個小數的具體含義，喚起學生經驗中對“元”作單位小數的認知:小數點左邊的數表示元，小數點右邊第一位上的數表示角，小數點右邊第二位上的數表示分。如:2.95元也就是2元9角5分。

結合一定的練習(如5角是( )元，1元7角是( )元，1元7分是()元等)，引導得出以“元”作單位的小數的具體含義。

同樣的方式組織進行以“米”作單位的小數含義理解。

活動二:感知小數與十進分數的關系。

以1米長的線段為材料，并畫出1分米長度處。

讓學生猜一猜，這一段有多長?當學生答出1分米后，請其說說是怎樣看出1分米的，引導學生回顧把1米平均分成10份，其中的1份就是十分之一米。

引導得出:這一段還可以看成是0.1米。幫助學生感悟1分米的一段，既可以用米來表示，也可以用0.1米來表示。

延伸:那7分米呢?9分米呢?

最后歸納:幾分米，當我們要用“米”作單位時，既可以寫成十分之幾的分數，又可以寫成一位小數。

【分析】

以上活動設計體現了兩個方面的特點:

首先要充分利用學生已有的經驗。小數雖然源于分數，但從學生的現實來分析，學生對小數的認識有著相當豐富的感性認識，對具體情境中小數含義的理解很有經驗，特別是計量長度和價格時所用的小數。因此，用好學生的經驗，抓住學生原有的認知起點，是這節課的首要策略。

以上活動用好了學生兩個層面的經驗:一是生活經驗。如帶長度單位的小數、帶貨幣單位的小數、帶質量單位的小數等等。因為這些小數有具體背景作支撐，大多數學生對其有一定的認識。如學生知道“5.9元表示5元9角”，“4.15元表示4元1角5分”，這是學生提煉歸納“以‘元’作單位的小數，小數點左邊的數表示‘元’，右邊第一位上的數表示‘角’，第二位上的數表示‘分’”的基礎。又如學生知道“1.73米表示1米73厘米或1米7分米3厘米”，這又為理解歸納“以‘米’作單位的小數，小數點左邊的數表示‘米’，右邊第一位上的數表示‘分米’，第二位上的數表示‘厘米’”作了準備。二是對“分數初步認識”的數學經驗。如把1米長的線段平均分成10份，其中的1份既是1分米，也是1米的，也就是米。

其次要巧妙架設小數與分數間“貫通”的橋梁。本節課要達成的目標是讓學生初步感悟小數與分數間的聯系，幫助學生初步積累“一個具體量可以用十進分數表示時，那么它也可以用相應的小數來表示”的直觀經驗。如在“十分之幾米”和“一位小數表示的米數”的關系教學中，我們不強求每一個學生都知道“一位小數表示的米數等于十分之幾米”，沒有提升到脫離具體情境來認識小數與十進分數之間的關系。我們更多以實例來引導學生感悟兩者之間的關系。如“1分米可以用米表示，還可以用0.1米表示”，“0.4米表示4分米，還表示米”……在這樣一個過程中，突出了1分米、9分米、4分米等具體量在學生感知“十分之幾米”和“一位小數表示的米數”的關系中的“橋梁”作用，既注意了知識點上的滲透，又關注了知識面上的溝通，使學生對“小數”的認識過程更具伸展性，有利于學生在系統學習小數之前積累更為豐富的感性經驗。

2.“小數的意義”核心活動設計與分析

【核心活動的設計】

活動一:認識“一位小數表示十分之幾”

出示正方形紙片:如果用這張正方形的紙來表示1元，那么這里的2元怎樣來表示呢?0.1元呢?到不到1張紙?那到底是多大的一塊呢?你能不能把它表示出來?請你通過分一分、畫一畫，表示出0.1元。

學生操作后展示:這張紙的就是0.1元。

先指名說說是怎么想的，接著引導學生進行抽象與提升:小數0.1表示什么意義呢?請學生表達并結合媒體演示:把1張紙平均分成10份，表示其中的1份。

追問:0.2、0.3、……0.9呢?教師結合學生回答順勢板書:0.1=、0.2=、……0.9=。引導思考:1里面有幾個0.1?

小結:像這樣小數點后面只有一位的小數，我們把它叫做一位小數。那請你想一想，一位小數表示什么意義呢?(十分之幾的分數)

活動二:認識“兩位小數表示百分之幾”

引導:剛才同學們已經知道了一位小數表示的是十分之幾的分數，那兩位小數又表示什么呢?我們以0.01為例，如果把這個正方形看作“1”，要表示出0.01那么大的一塊，你會怎么做呢?

獨立思考→同桌交流→指名回答→課件演示(如右圖):

提問:從這個圖上你還能看到別的小數嗎?

(空白部分是0.99)0.99表示什么?

追問:1里面有幾個0.01?0.1和0.01有怎樣的關系呢?

要表示出0.18，該怎么涂?如果繼續涂下去，還能表示哪些小數呢?請你先涂一涂，再寫出這個小數。

學生獨立操作后反饋交流，并出示一個小數(如:0.27)，讓學生猜猜是怎么涂的?

小結得出:兩位小數表示百分之幾。

【分析】

與三年級下冊“小數的初步認識”一課的教學相比，本節課中的活動又具有以下兩個方面的特點。

首先在思維層次上明顯提高了要求，增強了思維的挑戰性。從以上教學活動中，可以明顯感受到，學生學習過程中的思維要求高了，思維空間變寬了。如開頭學生獨立探究“1張正方形紙片上表示0.1”。這是溝通小數與分數關系的關鍵活動，也是學生從直觀經驗上升到數學理解的重要過程。但本操作過程需要有兩個層面知識和思考能力的支撐:一是對小數與分數之間關系的初步認同;二是分數意義的初步理解，即能夠以實物或圖形表示出某個分數的能力(此處是把一張正方形紙片平均分成10份)。因為本活動是在課的起始部分就進行了，對學生的思維來說具有很強的挑戰性。

本節課第二個思維活動落在“思考0.01如何在正方形紙片上表示出來”。這是一位小數到兩位小數的擴展，是深入理解小數意義的又一關鍵活動。而當需要學生思考“1里面有幾個0.1?有幾個0.01?0.1與0.01有怎樣的關系?”等問題時，雖有直觀圖形作支撐，但更多是數學層面上的抽象分析與思考，對學生思維的挑戰性更強了。其次在概念認識上突出了數學知識內在的邏輯結構，增強了概念呈現的系統性。

小數概念的建立需要實物、圖形、符號以及豐富的對象刺激等過程，且小數概念的體系，不僅僅指某個具體單獨的數，它更包括數的組成、數位位值關系、數與數之間的聯系等等。從以上活動中可以看出，教師在“小數意義”的理解教學中，不僅僅呈現了豐富的數，還不斷引導學生思考數與數之間的聯系(如0.1、0.2、0.3、……0.9;0.1與0.01之間的關系等等)，呈現一系列的數及數的組成圖式，溝通一位小數、兩位小數、三位小數等等關系的符號，意在引導學生能夠在一個系統性較強的層面上認識小數，理解小數的意義。這也是有別于三年級下冊“小數初步認識”教學的關鍵之處。