文化符號(hào)的數(shù)學(xué)思維

摘要：本文從科學(xué)的視角研究探討數(shù)學(xué)及其對(duì)稱原理和理論，井應(yīng)用數(shù)學(xué)作為方法論，研究中西方傳統(tǒng)文化和藝術(shù)中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)觀。人們?cè)趧?chuàng)造和使用一切文化世界的符號(hào)過程中，時(shí)常蘊(yùn)藏著人類智慧的另一個(gè)重要內(nèi)容，即數(shù)學(xué)。我們將其稱之為“文化符號(hào)的數(shù)學(xué)思維”，即文化符號(hào)在構(gòu)筑過程中同時(shí)所蘊(yùn)含著某種數(shù)學(xué)原理、理論及思想。探討藝術(shù)如何遵循數(shù)學(xué)“法則”進(jìn)行創(chuàng)作活動(dòng)，其動(dòng)機(jī)不在于數(shù)學(xué)本身，而在于喚醒人們重視科學(xué)對(duì)藝術(shù)的影響作用。研究數(shù)學(xué)與文化的另一主要目的是，希望人們能從全方位的和文化的視角欣賞數(shù)學(xué)的全貌和魅力，同時(shí)闡明一個(gè)基本觀點(diǎn)：數(shù)學(xué)不僅僅是一種抽象的思想，同時(shí)也在藝術(shù)的創(chuàng)作方法和工具中具備重要價(jià)值。

關(guān)鍵詞：文化符號(hào)；數(shù)學(xué)思維；對(duì)稱

中圖分類號(hào)：J0－05 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009－3060(2010)06－0061－09

文化符號(hào)學(xué)以研究人類文化活動(dòng)領(lǐng)域中的符號(hào)現(xiàn)象(符號(hào)的形式、結(jié)構(gòu)、材料及功能等)為主要內(nèi)容。人類的文化世界是一個(gè)由符號(hào)所構(gòu)筑的“虛擬世界”。文化符號(hào)存在于人類所創(chuàng)造的一切文化領(lǐng)域之中。

文化符號(hào)的“數(shù)學(xué)思維”或“數(shù)學(xué)觀”，它所指的是文化符號(hào)與數(shù)學(xué)有著密切的關(guān)聯(lián)。眾所周知，人類所創(chuàng)造的一切文化世界的符號(hào)往往基于某種宗教、美學(xué)、藝術(shù)和哲學(xué)等目的，通過符號(hào)物理存在形式傳達(dá)與符號(hào)相對(duì)應(yīng)的某些抽象意義，實(shí)現(xiàn)符號(hào)的表達(dá)與審美功能。在創(chuàng)造和使用一切文化世界的符號(hào)過程中，時(shí)常蘊(yùn)藏著人類智慧的一個(gè)重要內(nèi)容，即數(shù)學(xué)。我們將其稱之為“文化符號(hào)的數(shù)學(xué)思維”，即文化符號(hào)在構(gòu)筑過程中同時(shí)所蘊(yùn)含著某種數(shù)學(xué)理論、原理及思想。從人類文明進(jìn)程的角度看，無論是具體的科學(xué)，還是抽象的藝術(shù)與文化，它們都是構(gòu)成人類文明所不可分割的有機(jī)部分。

就此而言，本文從科學(xué)的視角研究探討數(shù)學(xué)原理及其對(duì)稱理論，并應(yīng)用數(shù)學(xué)作為方法論，研究中西方傳統(tǒng)文化、建筑和藝術(shù)中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)觀，探討藝術(shù)如何遵循數(shù)學(xué)“法則”進(jìn)行創(chuàng)作活動(dòng)，其動(dòng)機(jī)不在于數(shù)學(xué)本身，而在于喚醒人們重視科學(xué)對(duì)藝術(shù)的影響作用。研究數(shù)學(xué)與文化的另一主要目的是，希望人們能從全方位的和文化的視角欣賞數(shù)學(xué)的全貌和魅力，同時(shí)闡明一個(gè)基本觀點(diǎn)：數(shù)學(xué)不僅僅是一種抽象的思想，同時(shí)也在藝術(shù)的創(chuàng)作方法和工具中具備重要價(jià)值。藝術(shù)與科學(xué)的結(jié)合以及藝術(shù)對(duì)新技術(shù)成果的吸收與利用是20世紀(jì)以來藝術(shù)發(fā)展過程中的一個(gè)鮮明特征。西方藝術(shù)發(fā)展過程中所蘊(yùn)涵的科學(xué)觀，以及西方藝術(shù)和科學(xué)技術(shù)相結(jié)合的歷史對(duì)于當(dāng)今的藝術(shù)教育和創(chuàng)作實(shí)踐具有借鑒意義，這些問題都值得我們進(jìn)行系統(tǒng)的、多元化的思考。

一、人類文明進(jìn)程與符號(hào)的功能

從人類漫長(zhǎng)的進(jìn)化歷程來看，人類擺脫動(dòng)物屬性的最根本標(biāo)志不僅是出現(xiàn)了直立行走、手腳的分工等資質(zhì)，最根本的在于人類創(chuàng)造了語言，創(chuàng)造了工具與一切人造之物。人類語言文字的出現(xiàn)標(biāo)志著人類真正意義上邁入了文明進(jìn)程，人類不僅有了思想、感情與各種信息等抽象內(nèi)容進(jìn)行思維、表現(xiàn)與傳達(dá)的各種可能性，從此人類也逐漸地與動(dòng)物分道揚(yáng)鑣，不再像動(dòng)物那樣僅束縛于自身和自然的本能。人類在漫長(zhǎng)的進(jìn)化過程中，逐步造就了現(xiàn)代人所特有的資質(zhì)。與此同時(shí)，人類在進(jìn)化過程中不斷地與自然作斗爭(zhēng)，并在征服和改造自然的經(jīng)驗(yàn)中逐漸認(rèn)識(shí)自然規(guī)律，并將一個(gè)人類完全不具主體性的自然世界改變?yōu)橐粋€(gè)人類具有主體性的文化世界，從而在現(xiàn)實(shí)世界的基礎(chǔ)上創(chuàng)造出一個(gè)與它平行的另一個(gè)文化的世界。而這個(gè)文化世界，是以各類符號(hào)為“人造界面”所構(gòu)筑起來的種種符號(hào)系統(tǒng)。創(chuàng)造并使用符號(hào)是人類在長(zhǎng)期進(jìn)化中所形成的本性特質(zhì)。

從人類文明史的角度看，在文字和數(shù)等眾多符號(hào)沒有出現(xiàn)之前，人類早期的傳播方式主要是依靠口述和肢體。所謂藝術(shù)、美術(shù)創(chuàng)作、創(chuàng)意其實(shí)是人類開始利用圖畫及各種簡(jiǎn)單筆劃符號(hào)記錄自己的思想時(shí)就已經(jīng)開始的一項(xiàng)活動(dòng)，貫穿了人類文明史的整個(gè)過程。人類為記錄自己的思想、活動(dòng)、成就，開始時(shí)利用圖畫和簡(jiǎn)單符號(hào)作為手段，但是圖畫對(duì)于思想的表達(dá)能力非常有限，不足以表現(xiàn)和記錄人類比較抽象的思維活動(dòng)。因此，人類創(chuàng)造了文字和出現(xiàn)了數(shù)等一系列符號(hào)。根據(jù)馬克思主義的觀點(diǎn)分析，是勞動(dòng)和生活創(chuàng)造了人類的一切文化和藝術(shù)。

在人類漫長(zhǎng)的進(jìn)化和發(fā)展的過程中，只有當(dāng)文字的出現(xiàn)才真正標(biāo)志著人類開始步入了文明時(shí)期，只有當(dāng)文字的出現(xiàn)，人類的文明和文化才有可能綿延不絕流傳萬代。在人類的文化符號(hào)體系中，文字與數(shù)是兩種符號(hào)系統(tǒng)，它們并時(shí)而起，各自發(fā)展。可是文字系統(tǒng)后來越來越趨向于思維與表意體系。在文字和數(shù)崛起與競(jìng)爭(zhēng)之中，數(shù)縱使與象結(jié)合，而人類文化符號(hào)體系中的文、象、數(shù)諸多符號(hào)體系的競(jìng)爭(zhēng)與各自發(fā)展，共同推動(dòng)了人類思想與文明的進(jìn)程。也正是由于文字的出現(xiàn)，人類的藝術(shù)與抽象思維以及科學(xué)活動(dòng)等符號(hào)才逐漸開始趨于功能分離。而人類在構(gòu)筑自身文化的過程中，數(shù)學(xué)一直是人類文化的重要組成部分。

人類所創(chuàng)造的語言是一切符號(hào)系統(tǒng)以及所構(gòu)筑的文化世界的基石。其特征在于，語言既有存在于物理世界的形式，即語音，又有與語音緊密相聯(lián)的抽象的內(nèi)容，即語義。概括地說，一切文化世界的符號(hào)都具有物理存在形式的文化對(duì)象以及與符號(hào)相對(duì)應(yīng)的抽象的意義。而人類正是用這些符號(hào)構(gòu)筑一個(gè)自身所創(chuàng)造的、與現(xiàn)實(shí)世界平行的所謂文化世界，即一個(gè)由符號(hào)所構(gòu)筑的“虛擬世界”。人類的語言、文學(xué)、戲劇、舞蹈、詩詞到科學(xué)技術(shù)等大多如此。就藝術(shù)而言，它本身是一種符號(hào)體系，它是一種物化的人類某種情感。藝術(shù)對(duì)現(xiàn)實(shí)和情感的解釋和表現(xiàn)不是靠概念，而靠直覺，不以思想為媒介，而以感性形式為媒介，而所謂感性的形式，即一種具有物理存在形式的符號(hào)體系。正如托爾斯泰在他的《什么是藝術(shù)》一書中所描述的那樣：“作品所體驗(yàn)過的情感感染了觀眾或聽眾，這就是藝術(shù)。在自己心靈喚起曾經(jīng)一度體驗(yàn)過的感情，在喚起這種感情之后，用動(dòng)作、線條、色彩、聲音以及言詞所表達(dá)的形象來傳達(dá)這種情感，使別人也能體驗(yàn)到這同樣的感情，這就是藝術(shù)活動(dòng)，藝術(shù)是這樣一項(xiàng)人類活動(dòng)，一個(gè)人用某種外在的標(biāo)志，有意識(shí)地把自己體驗(yàn)過的情感傳達(dá)給別人，而別人為這些情感所感染，也體驗(yàn)到這些情感”。

二、文化符號(hào)的數(shù)學(xué)思維史

數(shù)學(xué)與文化在人類文明的發(fā)展過程中兩者休戚相關(guān)。人類思想和激情的優(yōu)秀成果，無論是藝術(shù)、宗教、美學(xué)、哲學(xué)和科學(xué)的成果都如同我們今天一樣，與數(shù)學(xué)有著密切的關(guān)聯(lián)。事實(shí)證明，數(shù)學(xué)一直是人類文化的重要組成部分。

20世紀(jì)杰出的數(shù)學(xué)家R·柯朗(Richard Cou－rant)在他的專著《什么是數(shù)學(xué)》一書中是這樣定義數(shù)學(xué)的，“數(shù)學(xué)，作為人類思維的表達(dá)形式，反映了人們積極進(jìn)取的意志、縝密周詳?shù)耐评硪约皩?duì)完美境界的追求。它的基本要素是：邏輯和直觀、分析和構(gòu)作、一般性和個(gè)別性。雖然不同的傳統(tǒng)可以強(qiáng)調(diào)不同的側(cè)面，然而正是這些互相對(duì)立的力量的相互作用以及它們綜合起來的努力構(gòu)成了數(shù)學(xué)科學(xué)的生命、用途和它的崇高價(jià)值。”

人類對(duì)客觀事物量的規(guī)定性研究產(chǎn)生了數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)的基本作用是提供自然現(xiàn)象的合理結(jié)構(gòu)，同時(shí)，數(shù)學(xué)又是一種嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)符號(hào)體系和一個(gè)有機(jī)的整體，它深刻地反映現(xiàn)實(shí)世界的規(guī)律性，是科學(xué)思考與行動(dòng)的基礎(chǔ)，從而也就使數(shù)學(xué)與其他各門科學(xué)研究的聯(lián)系愈加密切。毫無疑問，一切數(shù)學(xué)的形成與發(fā)展或多或少地都是基于實(shí)際的，但是理論一旦在實(shí)際的需求中形成，就不可避免地會(huì)使它自身獲取發(fā)展的動(dòng)力。數(shù)學(xué)最大的魅力在于創(chuàng)造，數(shù)學(xué)中無限的概念和思想能激發(fā)人們的想象力。綜觀人類的文明史，無論是中國古代文明、希臘文明、埃及以及巴比倫文明，由于人類眾多的需要和興趣激發(fā)了人類數(shù)學(xué)活動(dòng)的靈感，無論是實(shí)用的、科學(xué)的、美學(xué)的和哲學(xué)的因素，共同促進(jìn)了數(shù)學(xué)的形成與發(fā)展。

1 人類古代文明與數(shù)學(xué)的淵源

人類古代在天文學(xué)和建造金字塔及神殿過程中大量運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的事實(shí)，一直被作為古代數(shù)學(xué)具有博大精深內(nèi)容的證據(jù)。中國古代的算術(shù)十分發(fā)達(dá)，中國早在巴比倫和古埃及文明之前也都有了歷法，中國天文學(xué)都稱之為歷算，其核心就是數(shù)學(xué)。也就是說，中國古代很早就懂得用數(shù)對(duì)物理世界進(jìn)行定量分析與研究。所謂“因數(shù)明理”以及《易經(jīng)》中所提到的“以數(shù)表象”是中國人固有之態(tài)度及方法，中國算術(shù)的傳統(tǒng)也極為悠久。類似例證常見于中國古代的歷史與文化之中。

埃及也是世界上文明發(fā)生最早的國家之一，從公元前2686年進(jìn)入古王國時(shí)期，發(fā)展象形文字，其金字塔的建設(shè)更體現(xiàn)當(dāng)時(shí)強(qiáng)大的中央集權(quán)。在天文學(xué)方面，古埃及人經(jīng)過長(zhǎng)期觀察，發(fā)現(xiàn)天上星相和地面河流汛期密切相關(guān)，并在這個(gè)基礎(chǔ)上制定了歷法，后經(jīng)羅馬教廷的改革，形成格里哥利歷，即我們今天的公歷。在古埃及，當(dāng)時(shí)由于尼羅河水的泛濫，給下流地域居民的土地劃分帶來困難，每年汛期后，要重新測(cè)量及劃分土地，興修水利，于是促使了幾何學(xué)的形成與發(fā)展，所以埃及人在幾何數(shù)學(xué)領(lǐng)域的研究和成果十分發(fā)達(dá)。古埃及人在勞動(dòng)與生活實(shí)踐過程中逐漸凝聚智慧并留給人類大量寶貴而豐富的文化遺產(chǎn)。象征著古埃及文明的著名建筑金字塔是古代埃及國王的陵墓，是巨大的三角錐體，仿佛漢字金字的輪廓，所以漢字譯為“金字塔”。埃及共有100余座金字塔。金字塔的建造足以體現(xiàn)古埃及的文明進(jìn)步和智慧，反映了當(dāng)時(shí)的國力強(qiáng)盛。金字塔中還包含著許多神秘的、挖掘不盡的與人類的科學(xué)、天文、地理、生理和數(shù)學(xué)等許多難已解密的聯(lián)系。

瑪稚文化，這是在中美洲莽莽的熱帶叢林中一處被遺忘的文明，那里蘊(yùn)藏著很多不為人知的高度文明，它是在1945年以后才逐步為人們所認(rèn)識(shí)。所以人們常用失落的古文明來形容瑪雅文化。例如提到金字塔，人們立刻聯(lián)想到埃及，殊不知在原來的馬雅文化(即今日的墨西哥、危地馬拉、洪都拉斯、薩爾瓦多……等地區(qū))同樣存在金字塔，埃及共有金字塔約100座，而美洲就有幾萬座以上的金字塔。如墨西哥的太陽金字塔，高達(dá)64.5米、占地5萬平方米(相當(dāng)于6個(gè)足球場(chǎng)大小)。又如墨西哥的卓魯拉金字塔，可算是世界上最大建筑，基底占地16萬平方米，幾乎是一座小山。參見圖1、圖2(資料來源于Google－圖片搜索)為永久逝去的瑪雅文明遺跡。

瑪雅是世界上極少的熱帶地區(qū)的古文明。瑪雅文明是中美洲的印第安人與亞、非、歐等古代文明完全隔絕的情況下創(chuàng)造出來的，在文字、數(shù)學(xué)、天文、歷法、建筑等方面成就突出。瑪雅文化萌芽于公元前2500年，約在公元前500至100年，已有城市貿(mào)易，公元100至900年間最為昌盛，在公元300至800年前后，建造了大量金字塔。公元900年以后日趨衰落以至消亡，消亡的原因至今一直是個(gè)謎。

瑪雅文化的輝煌是由其文化及大量歷史遺跡：文字、金字塔、神殿、天文臺(tái)、宮殿、廣場(chǎng)、建筑、石碑、雕刻及天文歷法和數(shù)理科技等多方面的成就組成。古代瑪雅人在數(shù)理及科技方面有著令人驚訝的成就，瑪雅人以幾近零誤差和令人驚異的正確度來設(shè)計(jì)和建設(shè)太陽及月亮等神殿。古代瑪雅人在數(shù)學(xué)和天文學(xué)方面展示的智慧令人非常驚訝，世界上最早發(fā)明“零”的民族是瑪雅人，比阿拉伯商隊(duì)橫越中東的沙漠，把這個(gè)概念從印度帶到歐洲的時(shí)間要早1000年。也就是說，瑪雅人比阿拉伯人早1000年就已經(jīng)知道0，以二0進(jìn)位法，并利用類似算盤的方法，用二個(gè)記號(hào)“點(diǎn)和線”。二個(gè)記號(hào)，也正是今天電腦的基礎(chǔ)。瑪雅文化留給人們無限的思索和奇異、甚至惘然，無論是考古科學(xué)工作者，文化與藝術(shù)史研究人員等，希望能解開瑪雅古文明的興衰之謎，愿為之付出畢生精力，充分說明瑪雅文化的深廣及誘人內(nèi)涵。從研究人類文化符號(hào)所蘊(yùn)含數(shù)學(xué)觀角度看，瑪雅文明也不例外，研究瑪雅文明的意義更加深遠(yuǎn)。事實(shí)也將進(jìn)一步證明，在人類的整個(gè)文明進(jìn)程中，數(shù)學(xué)與文化兩者始終休戚相關(guān)，數(shù)學(xué)一直是人類文化的重要組成部分。圖3(資料來源于“The Story of Archi tecture”by Patrick Nuttgens)為象征瑪雅文明的金字塔，瑪雅人建筑的金字塔與埃及著名金字塔有所不同，埃及金字塔是空心，內(nèi)部為帝王陵寢；而瑪雅金字塔為實(shí)心，塔前廣場(chǎng)是民眾參加祭奠的場(chǎng)所，塔頂則供教士們辦公、居住，或觀察天象之用。據(jù)考古史料研究，瑪雅人建筑的金字塔、廟宇并不是基于日常實(shí)用的需求，而是因?yàn)闅v法上的指示，每隔52年要建造一座有一定數(shù)目階梯的大建筑物，一天為一階，一道平臺(tái)表示一月，直到頂端共計(jì)365天，每一塊石塊都與歷法有關(guān)，每一座完成的建筑物都需符合天文上一定的要求。似乎他們除了宗教熱忱的沖動(dòng)外，好像更多的基于天文和數(shù)學(xué)的思考，并未有更深度的建造大型廟宇的意念，只因歷法賦予這項(xiàng)義務(wù)，他們循環(huán)反復(fù)、按步就班地履行著。

人類所創(chuàng)造的一切文化世界的符號(hào)往往基于種種宗教、美學(xué)、哲學(xué)以及科學(xué)等目的，通過符號(hào)物理存在形式傳達(dá)與符號(hào)相對(duì)應(yīng)的某些抽象的意義。人類在創(chuàng)造和使用文化符號(hào)過程中有時(shí)卻有意或無意識(shí)地蘊(yùn)藏著人類智慧的另一方面的內(nèi)容，即人類的數(shù)學(xué)。

2 古希臘文化與藝術(shù)中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)觀

從人類歷史上看，人類最早將數(shù)學(xué)、幾何學(xué)和審美經(jīng)驗(yàn)相聯(lián)系的先驅(qū)者可追溯到古希臘哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras)和柏拉圖(Plato古希臘哲學(xué)家)等人。他們共同創(chuàng)立了所謂數(shù)學(xué)的審美觀。在古希臘時(shí)期，希臘人在征服自然的經(jīng)驗(yàn)中逐漸認(rèn)識(shí)了自然的規(guī)律，并在混沌的自然現(xiàn)象中看到了宇宙秩序的表現(xiàn)形式。畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為“萬物皆由數(shù)來安排”，而數(shù)學(xué)的法則和比例是理解美的鑰匙。柏拉圖則把形式美的本質(zhì)看作秩序、比例、和諧。

眾所周知，希臘人偏愛抽象和理想化，這在哲學(xué)和數(shù)學(xué)中已充分得到顯示。在藝術(shù)中同樣也充分展示了這一特點(diǎn)。在古代希臘，雕塑更注重所謂理想模式。這種理想化加以擴(kuò)展后，就導(dǎo)致了身體各個(gè)部位比例的標(biāo)準(zhǔn)化。這種所謂的理想化身材標(biāo)準(zhǔn)被一直延續(xù)至現(xiàn)今的選美活動(dòng)。在古希臘人看來，一個(gè)整體的各個(gè)部分之間存在著一定的比例關(guān)系，而“美”就來源于比例的和諧。他們并根據(jù)數(shù)的規(guī)律，賦予藝術(shù)作品以比例、大小、結(jié)構(gòu)和節(jié)奏等要素。這種所謂幾何標(biāo)準(zhǔn)(金字塔構(gòu)圖、黃金分割比等)成為西方形式主義美學(xué)的基石。從而逐漸建立了完整的理性主義思想體系，并為西方文化的發(fā)展奠定了理性主義的基調(diào)。

在古代希臘，很難想象，歐幾里得(Euclid古希臘數(shù)學(xué)家]出于純數(shù)學(xué)幾何的目的而提出的貌似簡(jiǎn)單的直線分割在以后會(huì)產(chǎn)生如此廣泛的影響，從植物葉子的分布、鸚鵡螺的軀殼、玫瑰花瓣的排列等幾乎包含所有領(lǐng)域。黃金比例不僅對(duì)數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家有吸引力，生物學(xué)家、畫家、建筑師、心理學(xué)家、歷史學(xué)家乃至音樂家都在思考和討論它的普遍意義和影響力。

黃金分割和比率源于一個(gè)數(shù)學(xué)公式，本文未遑深論，所指的是矩形的長(zhǎng)寬比，符合黃金分割比例的矩形有一種特殊的視覺愉悅和美感。古希臘的數(shù)學(xué)家們認(rèn)為長(zhǎng)方形的長(zhǎng)度約為寬度的1:1.618倍時(shí)最為和諧、最為漂亮，特別稱這些長(zhǎng)方形為“黃金矩形”(golden rectangle)，矩形是長(zhǎng)方形的別名。雖則其中學(xué)理的奧秘始終未被弄通透，但這似乎并不妨礙敏感的藝術(shù)家在實(shí)踐中熟練運(yùn)用。所以古往今來這一“數(shù)學(xué)法則”被普遍應(yīng)用于藝術(shù)創(chuàng)造，并將這種“數(shù)學(xué)法則”與藝術(shù)審美完美地結(jié)合在一起。綜觀人類藝術(shù)史到處都可以找到黃金分割的影子。也許最著名的例子是雅典的帕臺(tái)農(nóng)神廟(Partheron)——古希臘人供奉雅典娜的地方。神廟正面的圓柱排列及構(gòu)造完全符合黃金分割比例，形成一個(gè)完美的黃金矩形。這個(gè)建筑的設(shè)計(jì)者是菲迪亞斯(Phidias)，古希臘的雕刻家。圖4(a)、(b)和(c)(資料來源于Google圖片搜索)分別是黃金分割的方法和雅典著名的帕臺(tái)農(nóng)神廟以及黃金渦線的構(gòu)建示意圖。所謂黃金螺旋形曲線或簡(jiǎn)稱黃金渦線(golden spiral)。在數(shù)學(xué)上稱對(duì)數(shù)曲線(loga－rithmic curve)，經(jīng)研究顯示，人眼總是在掃視物象的運(yùn)動(dòng)過程中獲得“悅目賞心”的視覺興奮與滿足。黃金渦線既有無窮變化的品格，又有比率節(jié)奏的品格，完全符合“變化統(tǒng)一”、“多樣均衡”所謂形式美法則。從古希臘的藝術(shù)、建筑及文藝復(fù)興時(shí)期畫家達(dá)·芬奇、拉斐爾、米開朗基羅等前輩大師們的作品中都可以找到應(yīng)用黃金分割和黃金渦線的佐證。圖5為黃金渦線的數(shù)學(xué)法則和原理被應(yīng)用于古希臘和羅馬時(shí)期的柱頭(資料來源于Google-圖片搜索)。圖6是一幅達(dá)芬奇為《神奇的比例》一書所畫的著名插圖的手稿(資料來源于Google－圖片搜索)。數(shù)學(xué)與藝術(shù)審美以及文化符號(hào)完美融合的例證在西方傳統(tǒng)文化與藝術(shù)中已屢見不鮮。

綜上所述，文化符號(hào)的數(shù)學(xué)觀，是指人類創(chuàng)造的藝術(shù)和文化成果，與數(shù)學(xué)有著密不可分的關(guān)聯(lián)。這種相關(guān)的文化符號(hào)不僅在物理存在形式傳達(dá)與符號(hào)相對(duì)應(yīng)的某些抽象的意義，實(shí)現(xiàn)審美的功能，同時(shí)在符號(hào)背后又蘊(yùn)藏著某種數(shù)學(xué)思維、原理和完整系統(tǒng)的理論。

三、數(shù)學(xué)對(duì)稱原理在圖形創(chuàng)意中的具體應(yīng)用

文化符號(hào)在構(gòu)建過程所基于的數(shù)學(xué)原理與理論分類很廣也十分繁多，就數(shù)學(xué)對(duì)稱理論而言，它與人類的文化、藝術(shù)、建筑和雕刻等各種文化符號(hào)聯(lián)姻的歷史也十分淵源，可追溯到人類的史前文化。綜觀人類的藝術(shù)史，以及根據(jù)現(xiàn)已被發(fā)現(xiàn)的大量的記錄在巖石上的古文明、新石器時(shí)代的手工陶藝、夏商周的青銅制品、古希臘文明、以及埃及和瑪雅文明中均有發(fā)現(xiàn)文化符號(hào)基于數(shù)學(xué)對(duì)稱思維的例證。

1 數(shù)學(xué)對(duì)稱理論

在科學(xué)中，對(duì)稱性指的是研究對(duì)象在某種變換或操作下保持不變的性質(zhì)，因而具有根本性的意義。所謂對(duì)稱變換(symmetry transformation)是對(duì)稱操作(Symmetry operation)的結(jié)果。對(duì)稱操作只影響對(duì)象的幾何學(xué)性質(zhì)的變換。在平面中，對(duì)稱變換僅涉及到設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)，同時(shí)，也允許反演對(duì)稱操作并使對(duì)象重新回到原點(diǎn)。在藝術(shù)中，對(duì)稱性常與平衡、形狀、形式、空間等相聯(lián)系。

歷史上最早意識(shí)到“對(duì)稱”在二維平面設(shè)計(jì)中(尤其是紡織品圖案設(shè)計(jì)及平面圖形裝飾設(shè)計(jì))具有輔助作用，并努力使“對(duì)稱”原理非神秘化地應(yīng)用于設(shè)計(jì)實(shí)踐的人是H.J.Woods。他是英國利茲大學(xué)紡織系的一名物理學(xué)家，在20世紀(jì)30年代他連續(xù)發(fā)表了四篇研究論文，試圖通過簡(jiǎn)易通俗的數(shù)學(xué)語言解析數(shù)學(xué)對(duì)稱原理，并通過可視化的圖形符號(hào)解析對(duì)稱在構(gòu)建圖形結(jié)構(gòu)與設(shè)計(jì)過程中的輔助作用。Woods的最初動(dòng)機(jī)是鼓勵(lì)和啟發(fā)那些從事紡織品圖案設(shè)計(jì)的學(xué)生，通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)對(duì)稱原理，在二維重復(fù)的有規(guī)律性的圖形結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)過程中得到幫助。這些最初的理論探索和嘗試在以后的晶體學(xué)領(lǐng)域得到了發(fā)展并被用于解釋三維空間的晶體結(jié)構(gòu)。

從非數(shù)學(xué)研究的角度看，Owen Jones的著作《裝飾原理》(The Grammar of Ornament)，該書出版于19世紀(jì)初，似乎最具影響力。該書分析介紹了大量的圖案與裝飾，并根據(jù)不同的時(shí)期、民族區(qū)域和風(fēng)格將圖案與裝飾進(jìn)行分類。該書在以后的20世紀(jì)，直至近年還在繼續(xù)再版，同時(shí)印有法文及德文版，對(duì)圖形與對(duì)稱的研究起到了進(jìn)一步的促進(jìn)和推廣作用。

從數(shù)學(xué)研究的角度看，歷史上的數(shù)學(xué)家和科學(xué)家(例如，Coxeter，Jeger，Guggenheimer，Yale，Gans，Ewald，Dodge，Shwbnikovand Koptsik，Schattschneider，and Hargit－tai都已經(jīng)意識(shí)到數(shù)學(xué)意義上的對(duì)稱，是以四種基本對(duì)稱操作或幾何變換在平面中的應(yīng)用為特征。所謂對(duì)稱操作和幾何變換(Symmetry Operation／Geometric transformation)，即平移(Translation)、旋轉(zhuǎn)(Rotation)、反射(Reflection)，滑移反射(Glide-reflection)。四種基本對(duì)稱操作或幾何變換的示意圖，參見圖7(資料來源于《對(duì)稱與圖形創(chuàng)意》林迅著)。他們的研究和探索在晶體學(xué)和數(shù)學(xué)對(duì)稱的研究領(lǐng)域具有重要的影響力。

歷史上有無數(shù)的人們都曾進(jìn)行過有關(guān)數(shù)學(xué)對(duì)稱理論的開創(chuàng)性研究與探索實(shí)踐。在中西方傳統(tǒng)文化和藝術(shù)中也存在許多十分優(yōu)秀的圖形創(chuàng)意及圖案作品可供研究和參考，那些圖形的創(chuàng)意蘊(yùn)藏著深?yuàn)W的數(shù)學(xué)思想與理論，充分體現(xiàn)了我們先輩的智慧和創(chuàng)造力，同時(shí)，也清楚地看到對(duì)稱在構(gòu)建有規(guī)律的重復(fù)的圖形組織結(jié)構(gòu)的輔助作用。從圖形創(chuàng)意的理論研究與實(shí)踐探索綜合的角度看，荷蘭藝術(shù)家M.C.埃舍爾(M.C.Es-cher)的研究與探索最具代表性，并且理論研究體系也十分系統(tǒng)和深入，它那神奇的圖形創(chuàng)意是科學(xué)與藝術(shù)相融合的典范，充分體現(xiàn)了他對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)稱理論的深入了解與應(yīng)用(那些看似無意巧合的奇妙圖形創(chuàng)意，在其圖形組織結(jié)構(gòu)中卻深藏著數(shù)學(xué)理論與奧秘)。研究與欣賞M.C.埃舍爾的藝術(shù)以及基于相同對(duì)稱原理的創(chuàng)意作品，首先必須了解其作品所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和理論，才能真正享受到他們的藝術(shù)和數(shù)學(xué)同時(shí)帶給人們的審美愉悅和視覺享受。見圖8(資料來源于“TheMagic Mirror of M.C.Escher”by Bruno Ernst)，這是M.C.埃舍爾基于class p2gg類對(duì)稱特征及原理所創(chuàng)作的作品，是一幅動(dòng)物主題的有規(guī)律的平面分割創(chuàng)意作品。

2 數(shù)學(xué)對(duì)稱原理在傳統(tǒng)文化符號(hào)中的表現(xiàn)

對(duì)稱原理在傳統(tǒng)文化符號(hào)中的應(yīng)用范例十分繁多，常見于人類古代傳統(tǒng)的大多與勞動(dòng)和生活的用具有關(guān)，圖案裝飾往往出現(xiàn)在織物、陶器手工藝品、地毯、編織工藝品、器具、武器、地磚及墻壁的壁飾上，如圖9所示，這是基于數(shù)學(xué)對(duì)稱原理而構(gòu)成的各種編織紋樣裝飾，來自不同區(qū)域、民族，和文化的與圖案相關(guān)的原始手工藝品(資料來源于“Decorative Patterns of the AncientWorld”by Flinders Petrie)。在中西方傳統(tǒng)的建筑和圣殿的建造過程中，在布局和結(jié)構(gòu)中都有發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)對(duì)稱原理，當(dāng)然這其中也蘊(yùn)涵著文化、宗教、美學(xué)等內(nèi)容的考量，在此不作深論。在傳統(tǒng)文化符號(hào)中，對(duì)稱常應(yīng)用于有規(guī)律的、持續(xù)的、帶有周期性的排列和裝飾的文化符號(hào)。對(duì)稱不僅對(duì)數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家有吸引力，生物學(xué)家、畫家、建筑師、心理學(xué)家、考古和史學(xué)家乃至音樂家都在思考和討論它的普遍意義和影響力。

數(shù)學(xué)對(duì)稱在圖形創(chuàng)意中應(yīng)用的歷史十分久遠(yuǎn)，可追溯到人類的史前文化。所謂圖形創(chuàng)意，即人類在原始巖石及山洞墻壁上涂鴉時(shí)就已開始的一項(xiàng)文化啟蒙活動(dòng)，在世界上許多地方被發(fā)現(xiàn)的大量巖壁上均有記錄。這些巖畫通常大多反映當(dāng)時(shí)的生態(tài)環(huán)境及生活和勞動(dòng)的場(chǎng)面。這一原始的文化活動(dòng)可以理解為人類最早的圖形創(chuàng)意。現(xiàn)今考古發(fā)現(xiàn)的那些古代原始巖畫或山洞中的壁畫，繪畫的主題基本上都是動(dòng)物、人物、守獵等與生活和勞動(dòng)有關(guān)的內(nèi)容，描繪生動(dòng)，形象簡(jiǎn)練，具有強(qiáng)烈的符號(hào)特征。圖10(資料來源于Google－圖片搜索)為我國西南地區(qū)位于云南中南部滄源巖畫。

從圖形創(chuàng)意的角度看，在現(xiàn)已被發(fā)現(xiàn)的大量的新石器時(shí)代的手工陶藝及夏商周的青銅制品中，其紋樣和各種裝飾與原始巖畫作比較，圖形的復(fù)雜程度、圖案的故意編排及創(chuàng)意設(shè)計(jì)的特征也較為突出，圖案裝飾的規(guī)律性和周期性特征也十分明顯，圖案中相同母題的重復(fù)和排列顯然是根據(jù)某種編排的“法則”和規(guī)律進(jìn)行的，所謂法則，即基于人類最原始幾何學(xué)的思考和原理。對(duì)研究圖形設(shè)計(jì)起源和發(fā)展提供了極其珍貴的史料。圖11(a)和(b)(資料來源于Google－圖片搜索)，分別為新石器時(shí)代的彩陶文化和商代晚期的青銅器“父丁卣”(裝飾紋樣局部)。

數(shù)學(xué)對(duì)稱理論，其實(shí)是人類在勞動(dòng)和生活中的某種需要和興趣所激發(fā)的一種數(shù)學(xué)思維和活動(dòng)的靈感。從人類懂得選擇適當(dāng)?shù)氖^和磚瓦用來構(gòu)筑自已的藏身和住宿那時(shí)起，人類已經(jīng)開始接觸圖形和圖案以及同時(shí)引入了數(shù)學(xué)幾何對(duì)稱的思考和概念了。選擇怎樣形狀的石頭和磚瓦用于覆蓋地面、圍墻及建筑合意空間等，那種對(duì)形和體積的思考，以及努力尋求某種方法，即使相同或不同形狀的磚和石的排列能體現(xiàn)出某種持續(xù)的規(guī)律性等，形成遍布和帶狀形式等，這種方法及思維完全是基于數(shù)學(xué)活動(dòng)的靈感。人類這種原始的數(shù)學(xué)活動(dòng)的靈感所體現(xiàn)出的規(guī)律性、周期性、以及循環(huán)反復(fù)的特征，與數(shù)學(xué)幾何對(duì)稱的基本原則是吻合的，對(duì)數(shù)學(xué)幾何對(duì)稱理論的逐步形成和發(fā)展起到了促進(jìn)作用。而這項(xiàng)活動(dòng)的本身同樣可視為人類早期的文化活動(dòng)，而所創(chuàng)造的文化符號(hào)充分反映了人類啟蒙的數(shù)學(xué)活動(dòng)的靈感。總之，是人類眾多需要和興趣激發(fā)了數(shù)學(xué)的形成和發(fā)展。參見圖12，這是中國新疆高昌古城遺址(圖片由作者本人拍攝于古城遺址)。

四、結(jié)語

我們從不同的視角、不同層次、全方位地反復(fù)討論介紹了“文化符號(hào)的數(shù)學(xué)思維”現(xiàn)象，即文化符號(hào)的形式、結(jié)構(gòu)、及它們的表達(dá)所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想與理論及其符號(hào)的審美等。我們?cè)噲D關(guān)心這一現(xiàn)象的目的不僅在于觀察數(shù)學(xué)本身的科學(xué)基礎(chǔ)性，更重要的在于喚醒人們重視科學(xué)對(duì)藝術(shù)的影響與促進(jìn)作用，并希望人們能從全方位和文化的視角欣賞數(shù)學(xué)的全貌和魅力。藝術(shù)與科學(xué)的完美聯(lián)姻，必將使藝術(shù)趕上時(shí)代步伐，煥發(fā)出新的生命和活力!

(責(zé)任編輯：陳曉東)