好的算法可以減少運(yùn)算量

題目:已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，求證:+為定值.

證明:(1)若直線AB的斜率不存在，則AB⊥x軸， AB是拋物線的通徑. 所以|AF|=|BF|=p，于是

+=+=.

(2)若直線AB的斜率存在，設(shè)為k(k≠0)，直線AB的方程為y=k(x-). 代入y2=2px，得k2(x-)2=2px，即k2x2-(k2p+2p)x+k2p2=0，所以x1+x2=，x1#8226;x2=p2. 由拋物線的焦半徑公式有|AF|=x1+，

|BF|=x2+，于是+=+=====. 綜合(1)(2)可知， +為定值.

思考:上述解法在課堂教學(xué)中常常出現(xiàn).從老師的角度來說，思路自然，條理清楚，同學(xué)們易于接受.從同學(xué)們的角度來說，當(dāng)堂都能聽懂理解，但當(dāng)自己親自動(dòng)手做時(shí)，總是出現(xiàn)這樣或那樣的錯(cuò)誤，正確率不高.同學(xué)們普遍的感受是:思路較自然，知道怎么做，就是運(yùn)算難以過關(guān)，往往不易做對(duì). 可以說運(yùn)算量大是不易做對(duì)的主要因素.造成運(yùn)算量大的原因是什么呢?

(1)一定要對(duì)直線AB的斜率進(jìn)行分類討論嗎?其實(shí)可以設(shè)直線AB的方程為x=ky+，k∈R，這種設(shè)法就能避免對(duì)直線AB的斜率進(jìn)行分類討論，簡化了解題過程.

(2)一定要將x1+x2=代入+=中嗎?其實(shí)x1+x2+p=|AF|+|BF|=

|AB|， x1+x2=|AB|-p. 于是+=====.

當(dāng)然，在此過程中先要聯(lián)立y2=2px，x=ky+y2-2pky-p2=0y1#8226;y2=-p2，而得到x1#8226;x2=p2.

(3)是用x1#8226;x2=(ky1+)(ky2+)來計(jì)算x1#8226;x2，還是利用點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程y21=2px1和y22=2px2來求x1#8226;x2呢? 顯然選擇后者.因?yàn)橛蓎21=2px1和y22=2px2很快得到(y1#8226;y2)2=4p2x1#8226;x2，將y1#8226;y2=-p2代入立即得x1#8226;x2=4p2.

這比利用x1#8226;x2=(ky1+)(ky2+)求x1#8226;x2的運(yùn)算量要小得多.

啟示:(1)解析幾何綜合題的運(yùn)算量一般都比較大，這是解析幾何綜合題的顯著特點(diǎn)，又是求解的難點(diǎn).很多同學(xué)在解析幾何綜合題上花了不少的工夫， 但效果卻并不十分理想. 其實(shí)，尋求合理的運(yùn)算方法是減小解析幾何綜合題運(yùn)算量大、運(yùn)算過程繁的有效途徑.(2)解析幾何中有不少問題，有的解題思路在理論上自然、易想到、易懂、易理解，但實(shí)際中卻難以操作. 比如課本在推導(dǎo)“點(diǎn)到直線的距離公式”時(shí)，避開了聯(lián)立直線方程求垂足坐標(biāo)這一常規(guī)思路(因?yàn)檫@種思路運(yùn)算量太大，使人用筆算難以進(jìn)行下去)， 而采用構(gòu)造直角三角形的方法來處理，過程簡潔，富有思想性和示范性.這啟發(fā)我們，對(duì)于解析幾何中運(yùn)算量大的問題，不僅要考慮算理，還要考慮算法. 好的算法可能使運(yùn)算量大大減小，從而提高解題的正確率.

練習(xí):求拋物線x2=-2y中斜率為2的平行弦的中點(diǎn)的軌跡方程.(參考答案:x+2=0(y<-2).)

責(zé)任編校徐國堅(jiān)