從特殊到一般

一、題目:

由下列各式:

1>，

1++>1，

1++++++>，

1+++…+>2， …

你能得出怎樣的一般性結論，并進行證明.

分析1 由于不等式左邊的最后一項的分母滿足以下特點:1=21-1，3=22-1，7=23-1，15=24-1，…，第n個式子的最后一項的分母為2n-1，而對應各式右端為. 這樣，經過對各式進行觀察比較，從特殊到一般，得到答案.

解析 1+++…+>(n∈N*).

分析2 如何直接證明此式?若從一般性結論出發來證明，難度較大，可退一步從特殊性中來找線索.

證明 從特殊性入手. 如當n=2時，1++>++>1，結論顯然成立. 當n=3時，1++++++>1++(+)+(+++)-=1+-=+1->.從而發現規律，適當分組放縮求和即可.方法如下:

1+++…+=1++(+)+(+++)+…+(+…++)->1++(+)+(+++)+…+(+…+)-(最后一個括號中共有2n-1項)=1++++…+-=1+-=+1->，結論得證.

評注 本題的證明過程闡述了什么是從特殊到一般的數學思想，退一步在特殊(個體)中找思路，進而一般(整體)地解決問題，正所謂“退一步海闊天空”!

二、練習

觀察下列等式:

i=n2+n， i2=n3+n2+n， i3=n4+n3+n2， i4=n5+n4+n3-n， i5=n6+n5+n4 -n2， i6=n7+n6+n5-n3+n，

……

ik=ak+1nk+2+aknk+ak-1nk-1+ak-2nk-2+…+a1n+a0，

可以推測，當k≥2(n∈N*)時，ak+1=，

ak= ，ak-1=，ak-2= .

分析 從特殊到一般，顯現答案.

解析 縱向觀察每個式子的第一項，，，，，，…可知ak+1=，再看每個式子的第二項，都是，所以ak=，同理ak-1=，ak-2=0. 故ak+1=，ak=，ak-1=，ak-2=0.

評注 本題由特殊到一般，從特殊中找規律，得出一般結論.

三、心得與感悟

1. 在數學史上的特殊到一般.

在人類進步的過程中，數學史上不斷出現從特殊到一般的數學思想.如:

(1)著名的哥德巴赫(Goldbach)猜想的過程.

Goldbach猜想是說，每一個不小于6的偶數都等于2個奇質數的和. 例如: 6=3+3. 雖然現在仍在證明，但其求證的歷史過程就包含了從特殊到一般的數學思想. 1966年，我國著名數學家陳景潤攻克了“1+2”，也就是:“任何一個足夠大的偶數，都可以表示成兩個數之和，而這兩個數中的一個就是奇質數，另一個則是兩個奇質數的積.”這個定理被世界數學界稱為“陳氏定理”.

由于陳景潤的貢獻，人類距離哥德巴赫猜想的最后結果“1+1”僅有一步之遙了. 但為了實現這最后的一步，也許這個從特殊到一般的思想還要歷經一個漫長的探索過程.

(2)費爾馬大定理.

1637年，法國業余大數學家費爾馬(Pierre de Fremat)在關于勾股數問題的頁邊上，寫下猜想:an+bn=cn是不可能的(這里n>2;a，b，c，n都是非零整數). 此猜想后來就稱為費爾馬大定理.費爾馬還寫道“我對此有絕妙的證明，但此頁邊太窄寫不下”. 因為這句話，挑戰人類3個世紀，耗盡人類眾多最杰出大腦的精力，讓多少人癡迷!就是歐拉這樣的數學天才，200年間只解決了n=3，4，5，7四種情形. 終于在1994年被普林斯頓大學英國數學家安德魯#8226;懷爾斯攻克. 獲得了1998年的菲爾茲獎特別獎以及2005年度邵逸夫獎的數學獎，等等.

2. 在中學數學課本內容中的特殊到一般.

該數學思想不僅在初中數學教學內容中有所表現，而且在高中教學內容中也有多處可見.如:

(1)等差、等比數列的通項公式的推導過程;

(2)在微積分中，用局部的線性處理全局非線性的問題，用矩形面積逼近取代曲邊梯形的面積的思想;

(3)歸納二項式定理的過程中通過觀察(a+b)2、(a+b)3…的展開式從而得出(a+b)n的展開式的特點(即二項式定理)，等等.

3. 從特殊到一般的感悟.

當你拿到一道數學題無從下手時，如何從簡單、特殊的事物當中找到數學規律，從而破解難題，乃至偉大的發現?

古代哲學家老子早就說過:“道生一，一生二，二生三，三生萬物.”若要深刻認識數學中的一般性問題，為何不是從“一”開始?這時的“一”即為事物的特殊性吧.

先易后難，先簡單后復雜.毛澤東在軍事思想中的著名的論斷:“先打分散和薄弱之敵，后打集中和強大之敵”，先吃肥肉，后啃骨頭. 解數學題又何嘗不是如此呢?

從特殊到一般的思想表現在:從簡單情形去認識復雜事物，她能使抽象的數學命題變得具體而簡單.由簡單情形作為起點，猶如一面鏡子，可為一般情形提供對比，在對比中解決問題.在變化中把握趨勢，在特殊中窺見一般，從而破解難題，乃至偉大的發現!這個使人為之傾倒的方法，正是來源于從特殊到一般的數學思想!

總而言之，從特殊到一般的數學思想就像一把金鑰匙，你能不喜歡她嗎?

責任編校 徐國堅