直擊一類含參函數的單調性問題

在高考中，含參函數的單調性問題，是一類頻繁出現的熱點問題，這類問題，從知識點上看，主要考查了函數單調性與導數的關系;從數學方法上看，主要考查分類討論思想.下文舉例加以說明.

例題 討論函數f(x)=(-1

點撥 利用導數可以研究函數的單調性，一般應先確定函數的定義域，再求導數f ′(x)，通過判斷函數定義域被導數為零的點所劃分的各區間內f ′(x)的符號，來確定函數f ′(x)在該區間上的單調性.當給定函數含有字母參數時，分類討論難于避免，不同的化歸方法和運算程序往往使分類方法不同，應注意分類討論的準確性.在本例中f ′(x)=-參數b對其大小有著直接影響，故對b進行分類討論，同時注意到函數f(x)是奇函數，故只需討論函數在(0，1)上的單調性.

答案 當b>0時，函數f(x)在(-1，1)上是減函數，當b<0時，函數f(x)在(-1，1)上是增函數.

提示 含參函數的單調性問題往往可以通過求導，轉化為不等式的解集問題，因為含有參數，不等式的解集不確定，故必須分類討論.

變式練習 已知函數f(x)=1nx-ax(aR)，求函數f(x)的單調區間.

答案 定義域為{x|x>0}，f ′(x)=-a=.

當a≤0時，f ′(x)>0;函數f (x)在定義域內是增函數，所以f (x)的單調增區間為(0，+∞);當a>0時，若00;若x>，則f ′(x)<0，所以f(x)的單調增區間為(0，)，單調減區間為(，+∞).

責任編校徐國堅