且莫悄悄改變條件

數學問題的求解過程，實際上是問題的轉化過程，條件由“隱”轉化為“顯”，結論由“暗”轉化為“明”，這是人所共知的事實，也是求解數學問題的真實寫照.但轉化必須“尊重”題目的原條件，否則是會出錯的.請看:

例1 已知sin2=a，cos2=b，求tan(+)的值

法一 由tan==，從而tan(+)==.

法二 由tan(+)===.

評析 這兩個結論的區別在哪里?孰是孰非?在tan=中要求cos2≠-1，即≠k+(k∈Z);在tan(+)中，需要+≠k+，即≠k+(k∈Z)，這是題設的變量取值范圍.顯然，法一的求解過程除了原來的題設條件外，又新增了條件≠k+(k∈Z)，也就是說，當=k+(k∈Z)時，用法一不能產生結果.于是，我們說法一是不理想的結果.

例2 已知sin=，cos=，且0≤≤，問:當實數t取何實數時，0≤≤成立?

法一 由0≤≤，要使0≤≤，即為0≤tan≤1，而tan==，由0≤≤1，得-1≤tant≤1，那么k-≤t≤k+(k∈Z)，

故k-≤t≤k+(k∈Z)時，有0≤≤成立.

法二 由sin=，cos=，得|sint|+|cost|=1，從而得|sint|#8226;|cost|=0，那么t=k(k∈Z)或t=k+(k∈Z)，若t=k(k∈Z)，則sin=0，結合0≤≤可知=0;若t=k+(k∈Z)，則sin=1，結合0≤≤可知=不滿足0≤≤，故滿足的0≤≤的t取值為t=k(k∈Z).

評析 法一有兩處改變了條件，①由于sin與cos產生的|sint|與|cost|的制約關系.②若0≤≤時，確實有0≤tan≤1成立，但0≤tan≤1成立，所得結論就一定能滿足0≤≤嗎?于是法二的結論才是正確的.

例3 求函數y=的值域.

解析 由y===(sinx+cosx-1)=sin(x+)-，由-1≤sin(x+)≤1，

得-≤y≤即為所求的值域.

剖析 式子“=(sinx+cosx-1)”是有條件的，你看到了嗎?左邊要求1+sinx+cosx≠0，而右邊的是任意實數，顯然，從左到右條件被你“悄悄”改變了，當然，結論也就不是所求的值域了.正確答案為{x|-≤y<-1或-1

求解數學問題，轉化是應該的也是必須，但轉化必須保證條件的一致性，當不能保證時，錯誤隨時都可能發生.

責任編校 徐國堅