GM(1,1)模型在深基坑水平變形預測的應用

摘要:根據基坑開挖全過程的水平位移量與時間關系的特點建立了GM(1，1)模型并且從機理上做了詳細的分析，然后將該模型應用于某些具體的工程證實了該方法的合理性，最后指出了值得進一步研究的問題。

關鍵詞:灰色系統 深基坑 GM(1，1)模型 預測

1 灰色系統的基本原理

灰色理論的基本原理包括:默承認原理，默否認原理;差異信息原理;信息認知原理;解的非唯一性原理;白化原理;新息優先原理;最少信息原理;灰性不滅原理。在上述種種原理中，默承認原理、默否認原理、差異信息原理與灰性不滅原理是灰色理論中屬于前提性、奠基性的原理;信息認知原理是灰色理論中認知模式的依據，白化原理是認知模式的表現，解的非唯一性原理是白化原理的延伸;新息優先原理是灰控制的基礎;最少信息原理是貫穿灰關聯、灰建模、灰生成、灰決策的關鍵性原理。

由于基坑變形受著眾多因素的影響，變形是眾多因素共同作用的結果，很難確定某一原因或因素在其中所起的確切作用。因此，將基坑視作一個系統，采用體現綜合因素的現場位移監測數據進行預測具有實際意義。灰色理論認為:部分信息已知、部分信息未知的系統為灰色系統，系統的行為現象盡管是朦朧的，數據是雜亂的，但它是有序的，具有整體功能，雜亂無章的數據后面必然潛藏著內在規律，通過科學的處理，可以找出其規律性。這就為基坑變形預測奠定了理論基礎，可以通過建立位移灰色預測動態模型進行未來變形預測。

灰色系統中應用最多的是GM(1，1)模型，在巖土工程中已有應用，該模型所用數列為經過一次累加生成處理后的數據列，累加生成處理的目的在于減弱數據列隨機性，提高其內在規律。為了選出具有代表性、真實反映基坑變形規律的原始數據，一般需對原始記錄通過分段均值選優、滑動平均處理方法取得原始數據列。灰色預測模型在大多數情況下是相對粗糙的，其原因是這種模型要求累加生成的數列具有指數規律，這樣才能用相應微分方程擬合。然而，一個非負的時間序列其累加生成數列事實上常常不具有指數規律，有時具有近似指數規律，近似程度也很差，而灰色模型總是用指數方程擬合，這本身就有很大誤差存在，通過累加生成和累減還原更加大了模型的誤差。鄧聚龍教授于20 世紀80年代提出用于控制和預測的灰色理論和方法灰色模型是利用系統部分已知信息建立起反映系統發展規律的微分數學模型并通過建立的灰色模型來預測系統的發展它通過對部分已知信息的生成開發去了解和認識現實世界實現對系統運行行為和演化規律的正確把握和描述灰色理論，自1982 年提出以來以其強大的生命力在許多領域得到了應用巖土工程方面一般采用GM(1，1)模型。

2 數學模型

在工程實際中，人們最關心的是基坑開挖工程中固結沉降過程和最終水平位移量。對于固結沉降過程一般利用土體固結理論進行分析;對于基坑的最終水平量只要采用等比級數曲線模型和GM(1，1)灰色理論模型進行預測求解，本文主要闡述根據實測變形預測最終水平位移量的GM(1，1)灰色理論模型。

2.1 GM(1，1)模型建立 GM(1，1)模型是由一個只包含單變量的一階微分方程構成的模型。用S(0)表示實測基坑變形的原始數據序列:S(0)={S(0)(1)，S(0)(2)，S(0)(3)，…S(0)(n)｝

對原始數據列S(0)進行一次累加生成數據列S(1)

S(1)={S(1)(1)，S(1)(2)，S(1)(3)，…S(1)(n)｝

其中 S(1)(k)=S(0)(i)，k=1，2，3，…N

則累加生成的變形數據S(1)對時間求導得微分方程:

+as(1)=b 式中a，b均為待定系數

則 =lim

其離散形式可表示為:

==s(1)(k+1)-s(1)(k)=s(0)(k+1)

將s(1)取為時刻k和k+1的均值生成序列z(1)(k)

z(1)(k+1)=

將以上各式代入可得: s(0)(k+1)+az(0)(k+1)=b

當取k=1，2，3…，N時，上式為一方程組，記系數向量α=[a，b]T，則 YN=Bα

其中YN為原始數據矩陣: YN=[s(0)(2)，s(0)(3)，…s(0)(N)，]T

B為累加生成矩陣

用最小二乘法求解a、b得

將求得的系數向量及邊界條件s(1)(1)=s(0)(1)代入，解微分方程，可得:(1)(t+1)=[s(0)(1)-]e-at+

式中(1)(t+1)為預測的t次累加生成值。上式為基坑變形的灰色預測GM(1，1)模型，通過一側累減處理，則可得到不同時刻預測位移值:(0)(t+1)=[(1)(t+1)-(1)(t)]，t=1，2，…N

2.2 GM(1，1)模型的精度檢驗 沉降預測模型建立后，為了對其質量進行評價，必須對它的精度進行檢驗，一般用兩種方法檢驗、判斷模型的精度:①殘差檢驗:對模型值和實際值的誤差進行逐點檢驗。②后驗差檢驗:對殘差分布的統計特性進行檢驗。本文采用后驗差檢驗。

2.2.1 殘差檢驗 在t時刻原始數據的實際值s(0)(t)和預測值(0)(t)之差，稱為在t時刻的殘差，記為E(t);殘差與實際值s(0)(t)之比稱為在t時刻的相對殘差，記為e(t)，即E(t)=s(0)(t)-(0)(t);e(t)=

各時刻的殘差和相對殘差，反映了沉降預測模型的預測精度。

2.2.2 后驗差檢驗 設原始數據s(0)(t)和殘差數列E(t)的離差分別為R1，R2則有R12=[s(0)(t)-]2 R22=[E(k)-]2

式中 =s(0)(k) =E(k)

則后驗差比值C: C=R2/R1

指標C越小越好。C小說明盡管原始數據規律性差，但預測誤差波動幅度不大。因R1為觀測數據的誤差，R1大說明觀測數據離散性大，即原始數據波動幅度大，規律性差;凡代表預測誤差的離差， R2小，說明預測誤差離散性小，一般要求C<0.35。

2.3 預測步驟

2.3.1 模型類型的選擇，在研究某變量的發展變化時，一般只突出一個變量。為計算簡單，一般均選用最簡單的GM(1，1)預測模型。

2.3.2 原始數據的處理。根據式(1)對原始數據進行一次累加生成處理。

2.3.3 構造矩陣B與YN。根據具體模型構造，構造相應的矩陣B與YN。

2.3.4 作最小二乘計算。計算GM(1，1)預測模型中參數列B。

2.3.5 建立時間響應函數。建立時間響應函數就是求白化形式微分方程的解。

3 工程實例

3.1 原始資料 本例以杭州地鐵某站站4月4日到12日的CX01點0米處的水平位移來推測以后的水平位移。

原始數據為 日期3月4日3月5日3月6日3月7日3月8日3月9日3月10日3月11日3月12日

變形8.31mm 7.88mm 7.47mm 8.44mm 7.77mm 7.4mm 7.92mm 7.41mm7.03mm

S(0)=(8.31，7.88，7.47，8.44，7.77，7.40，7.92，7.41，7.03)

原始數據分析 從原始數列S(0)可以看出a從S(1)~S(3)序列是遞減的;b從S(3)~S(4)序列是遞增的;c從S(7)~S(9)序列是遞減的;整個S從S(1)~S(9)是從降到升再到降地擺動的。

3.2 序列的GM(1，1)建模 原序列S為擺動序列，記為:

S(0)=(8.31，7.88，7.47，8.44，7.77，7.40，7.92，7.41，7.03)

二級參數包

從右圖中實測曲線與預測曲線相比，前幾個數據預測精度都很高，最后幾個偏差明顯增大。這說明，預測模型應隨著工程的進展而不斷更新，為了進一步提高后續變形的預測精度，可以采用新的實測數據，重新建立預測模型，以提高預測精度。

4 結論

本文基于時變參數的概念，利用灰色GM(1，1)模型建立了等時距的參數隨時間變化的時變參數灰色GM(1，1)模型，并將此模型用于水平變形預測，即將水平預測分為模型參數預測和根據參數預測值的水平預測兩部分。實例分析表明此模型應用于水平預測是可行的。

參數的時變特性是沉降發展中的內在屬性，在沉降預測模型研究中具有重要的意義。考慮參數的時變特性將為提出高精度的、適合中長期預測的沉降預測模型提供可能的途徑。

參考文獻:

[1]鄧聚龍.灰預測與灰決策[M].武漢.華中科技大學出版社.2002.45—174.

[2]鄧聚龍.灰色系統理論的GM模型[J].模糊數學.