小學數學總復習指導

摘 要:本文以《課程標準》為依據，以冀教版教材為范本，同時兼顧人教版教材，在往年復習指導資料的基礎上，繼承、創新、提升。復習遵循五個目標，從八個部分內容入手，著重知識梳理，強化基礎知識和基本技能練習，拓展對知識的全面掌握、運用。

關鍵詞:小學數學;總復習;指導

中圖分類號:G623.5 文獻標識碼:B 文章編號:1009-010X(2010)04-0024-13

復習目標

通過系統、全面的復習，達到以下目標:

1.系統掌握整數、小數、分數、百分數、簡易方程、比和比例等基礎知識;進一步理解四則運算的意義，能正確、迅速、合理、靈活地進行整數、小數、分數四則運算;會解簡易方程，會解比例等，提高綜合計算能力。

2.知道計量單位的大小，掌握計量單位之間的進率，能夠較熟練地進行名數的簡單換算。

3.熟練掌握常見的數量關系，掌握解決實際應用問題的策略和方法，能夠正確、靈活解答一些應用問題，進一步提高邏輯思維能力和解決實際問題的能力。

4.掌握所學幾何形體的的特征，理解和掌握計算公式，會計算一些幾何體的周長、面積、體積以及簡單組合圖形的面積。

5.掌握所學簡單統計和概率知識;能夠看懂和繪制簡單的統計圖、表，并能運用統計知識解決一些簡單的實際問題;知道事件發生的不確定性和可能性，并能計算一些簡單事件發生的可能性。

數的認識

一、數的意義

1.整數。

像…，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4…這樣的數統稱為整數。0左邊的數都是負整數，0右邊的數都是正整數，0不是正數也不是負數。沒有最大的整數，也沒有最小的整數，整數的個數是無限的。

注:后面關于數的大小和運算，如沒有特殊說明都是指正數范圍。

2.自然數。

在數物體有多少時，用來數物體個數的1、2、3、4……叫做自然數。一個物體也沒有用0表示，0是自然數。自然數的單位是“1”，自然數中沒有最大數，也就是自然數的個數是無限的。自然數是等于0或大于0的整數。

3.分數。

4.小數。

把整數“1”平均分成10份、100份、1000份……這樣的一份或幾份是十分之幾、百分之幾、千分之幾……可以用小數表示。如0.1表示十分之一，0.35表示百分之三十五，等等。

整數和小數都是按照十進制計數法寫出的數，其中個、十、百……以及十分之一、百分之一……都是計數單位。各計數單位所占的位置叫做數位。整數部分是0的小數叫做純小數，如0.4，0.063等。整數部分不是0的叫做帶小數，如3.05，40.152等。一個小數，從小數部分的某一位起，一個數字或幾個數字依次不斷地重復出現，這樣的小數叫做循環小數，循環小數的小數部分的位數是無限的。比如0.888……，3.2727……等都是循環小數。循環小數可以用簡便方法來寫。如:0.888……=0.8，3.2727……=3.27。

5.百分數。

表示一個數是另一個數的百分之幾的數叫做百分數。百分數也叫做百分率或百分比。百分數通常用“%”來表示。

二、數的讀寫與改寫

1.整數的讀寫。

讀一個多位數，要從高位到低位，一級一級地讀。個級數的讀法是:每個數位上是幾就讀作幾，末尾不管有幾個0都不讀，其它數位上連續有幾個0，只讀一個零;萬級數的讀法與個級數相同，只是在萬級的后面加一個“萬”字;億級數的讀法也與個級數相同，只是在億級的后面加一個“億”字。如:40200700800讀作:四百零二億零七十萬零八百。寫一個多位數，也要從高位到低位，一級一級地寫，哪一個數位上一個單位也沒有，就在那個數位上寫0。

2.小數的讀寫。

整數部分按整數來讀(寫)，小數點讀作“點”，小數部分依次讀出每一位上的數。

3.數的改寫。

為了讀寫方便，一個較大的多位數，常常把它改寫成用“萬”或“億”作單位的數。有時根據需要，用“四舍五入”法、“進

一”法或“去尾”法省略某一位后面的尾數，寫成近似數。要知

道，“改寫”后的數是精確值，“省略”后的數是近似值。比如:

①3204600=320.46萬 (改寫成用“萬”作單位的數)

②3204600≈320萬(用四舍五入法省略“萬”位后面的尾數)

③3204600≈321萬(用進一法精確到“萬”)

三、小數、分數、百分數的互化

小數化成百分數，小數點向右移動兩位，添上%。如:0.045=4.5%。

百分數化成小數，去掉%，小數點向左移動兩位。如:78%=0.78。

分數化成百分數，先化成小數，再化成百分數。百分數化成小數，先寫成分數形式，再約分。

四、數的大小比較

1.整數的大小比較。

負整數、0與正整數比較，所有的負整數都小于0，0小于正整數。

正整數的大小比較:比較幾個正整數的大小，先看每個數的數位，哪一個數的數位多，這個數就大;如果數位相同，要從左到右逐個比較相同數位上的數字，即先比較左邊第一位上的數字，第一位上數字大的這個數就大;若左邊第一個數字相同，就比較左邊第二位上的數字……

負整數的大小比較，比較幾個負整數的大小，負整數的數越大，這個數越小。如:-12<-5。

2.小數的大小比較。

比較幾個小數的大小，一般先比較幾個小數的整數部分，整數部分大的小數就大;如果整數部分相同，就從左往右逐位比較小數部分相同數位上的數，十分位上數字大的這個數就大，若十分位也相同，就比較百分位……

3.分數的大小比較。

分母相同的分數，分子大的分數比較大;分子相同的分數，分母小的分數比較大。分數的分子和分母都不相同時，比較方法有兩種:一種是先通分，再按同分母分數比較大小;另一種是把每個分數先化成小數，再比較大小。

練習一

1.想一想，填一填。

(1)把一個長方形平均分成8份，其中的5份用分數表示是()。

(3)二十億六千萬九千零八十寫作( )，把它改寫成用“萬”作單位的數是()，用四舍五入法省略萬位后面的尾數是( )。

(4)70023060是()位數，讀作()，7在千萬位上表示( )，3在()位，表示( )，這個數用進一法省略萬后面的尾數是( )。

(5)1.096的計數單位是()，它有()個這樣的計數單位，保留兩位小數是()。

(6)一個數是由2個1和25個百分之一組成，這個數用小數表示是()，改寫成最簡分數是()。

(7)大于0.5而小于0.6的最大兩位小數是()，最小兩位小數是()。

(8)用2、3、4、0這四個數字一共可以組成()個四位數，其中最大的四位數是()，最小的四位數( )，它們相差( )。

(9)比-9大的負整數有( )個，最大的負整數是()。

2.讀一讀、寫一寫。

(1)讀出下面各數。

(2)寫出下面各數。

二十萬零五十 四百七十億零三百萬

十點零五二 六又十三分之七

億位上是4，百萬位上是9，十位上是2，其它各位上都是0的數。

十位上是5，百分位上是1，千分位上是6，其它各位上都是0的數。

3.數的改寫，我能行。(按要求把下面各數改寫成用“萬”或“億”作單位的數)

50217400(改寫成用萬作單位的數)

2040087000 (用去尾法省略萬后面的尾數)

49923004000(用進一法省略億后面的尾數)

4.數的轉化，看我的。(把下面各小數化成分數，分數化成小數，除不盡，保留兩位小數)

5.比較大小，我最棒。

603000○5004000 897200○907200

5678000○5687000 1.375○1.38

0.52○0.524 9.402○9.401

7*.排一排，選一選。(用3、4、5、6和四個0按要求組成數)

(1)一個零也不讀的最大八位數和最小八位數。

(2)讀出一個零的最大八位數和最小八位數。

(3)讀出兩個零的最大八位數和最小八位數。

數的運算

一、四則運算的意義和法則

1.整數、小數和分數四則運算的意義。

整數、小數和分數，它們的加法、減法和除法的意義完全相同。即加法是把兩個數合并成一個數的運算;減法是已知兩個加數的和與其中的一個加數，求另一個加數的運算;除法是已知兩個因數的積與其中一個因數，求另一個因數的運算。整數乘法、小數乘整數、分數乘整數的意義完全相同，都是求幾個相同加數和的簡便運算。而一個數乘小數和一個數乘分數的意義是相同的，都是求這個數的幾分之幾是多少。

2.四則運算的法則。

整數加、減法:相同數位對齊，從個位算起;小數加、減法，小數點對齊，從低位算起;分數加、減法，相同的分數單位相加、減。整數、小數和分數加、減法運算方法的相同點都是相同數位才能相加、減。

整數乘法:先用第二個因數個位上的數去乘第一個因數的每一位數，得數的末尾與因數的個位對齊;再用第二個因數十位上的數去乘第一個因數的每一位數，得數的末尾與因數的十位對齊……最后把幾次乘得的結果相加。

小數乘法與整數乘法的運算方法相同。所不同的是要在計算出結果后，先看因數中一共有幾位小數，再從積的右邊起數出幾位點上小數點。

整數除法:除數是幾位數，就看被除數的前幾位。如除數是兩位數就除被除數的前兩位，如果前兩位比除數小，就除前三位。除到被除數的哪一位，就把商寫在那一位的上面。注意:(1)每次除后的余數要比除數小。(2)除到被除數的哪一位不夠除，就在這一位的上面商0占位(商的最高位除外)繼續除。

小數除法:先把除數和被除數同時擴大相同的倍數，使除數變成整數，然后按照整數除法的方法來除。注意:商的小數點要與被除數的小數點對齊。

分數乘法:分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母。注意:能約分的要先約分。

分數除法:按照“一個數除以一個分數等于乘這個分數的倒數”，然后按照分數乘法的運算方法進行計算。

二、加減、乘除各部分之間的關系

加與減，乘與除是互逆運算，乘法是加法特殊情況的簡便運算。它們之間的關系如下:

三、積、商的變化規律，分數、小數的基本性質和小數點位置移動引起小數大小變化的規律

1.積的變化規律。

在乘法算式里，一個因數不變，另一個因數擴大(或縮小)若干倍，積也擴大(或縮小)相同的倍數。

2.商的變化規律。

在除法里，被除數和除數同時擴大(或縮小)相同的倍數，商不變。注意:如果是有余數的除法，被除數和除數同時擴大(或縮小)相同的倍數后，商不變，而余數要擴大(或縮小)相同的倍數。比如:7÷3=2……1，所以，70÷30=2……10。

3.分數的基本性質。

分數的分子和分母同時乘或都除以相同的數(0除外)，分數的大小不變。這一點與除法中商不變的規律有著緊密的聯系。比如:

4.小數的基本性質。

小數的末尾填上0或者去掉0，小數的大小不變。

5.小數點位置移動引起小數大小變化的規律。

在一個小數中，小數點向右移動一位、兩位、三位……原來的數就擴大10倍、100倍、1000倍……。反之，小數點向左移動一位、兩位、三位……原來的數就縮小10倍、100倍、1000倍……

四、四則混合運算、運算定律與簡便運算

1.四則混合運算。

在四則混合運算中，加、減法是同級運算，也是第一級運算;乘、除法是同級運算，也是第二級運算;小括號內是第三級運算;中括號內是第四級運算。

在一個沒有括號的算式里，如果只含有同一級運算，要從左往右依次計算;如果含有兩級運算，要先做第二級運算，再做第一級運算。

在有括號的算式里，要按照先算小括號里面的，再算中括號里面的，最后算括號外面的順序計算。

2.運算定律。

學過的運算定律有:加法交換律、結合律，乘法交換律、結合律和分配律。用字母表示這些運算定律是:

加法交換律:a+b=b+a

加法結合律:(a+b)+c=a+(b+c)

乘法交換律:a×b=b×a

乘法結合律:(a×b)×c=a×(b×c)

乘法分配律:(a+b)×c=a×c+b×c

3.簡便運算。

(1)運用加法運算定律和乘法運算定律可以進行一些簡便運算。比如:

①應用加法交換律、結合律。

21.7+4.38+8.3+5.62=(21.7+8.3)+(4.38+5.62)=30+10=40。

②應用乘法分配律。

3.8×2.35+3.8×7.65=3.8×(2.35+7.65)=3.8×10=38。

(2)簡便運算的方法還很多，除了運用加法、乘法運算定律外，還可以運用減法的性質、除法的性質以及巧妙利用積的變化規律、商不變的性質等進行簡便運算。比如:

①利用減法的性質a-b-c=a-(b+c)。

38-7.4-2.6=38-(7.4+2.6)=38-10=28。

②利用除法的性質a÷b÷c=a÷(b×c)。

6÷1.25÷8=6÷(1.25×8)=6÷10=0.6。

③利用商不變的規律。

1.3÷2.5=(1.3×4)÷(2.5×4)=5.2÷10=0.52。

練習二

1.填空樂園。

(1)在一個減法算式中，被減數是512，減數和差的和是

( )。

(2)在一個沒有余數的除法算式中，被除數是485，商和除數的積是( )

(3)9與一個整數相乘的積是3186，這個整數是( )。

(4)一道減法算式的被減數、減數和差三個數之和是216，被減數是()。

(5)把0.128擴大100倍是()，再縮小1000倍是

( )。

(6) 等式600÷25=(600×4)÷(25×4)=2400÷100=24運用了( )的規律。

(7)7×4×5=7×(4×5)=7×20=140運用的運算定律是

()。

(8)4.5×2.8+4.5×7.2=(2.8+7.2)×4.5=10×4.5=45運用的運算定律是()。

(9)把4÷3的被除數和除數同時擴大100倍，商是

()，余數是( )。

3.神機妙算。(照例子直接寫結果)

(1) 350×9=3150(2) 300÷50=6(3) 15÷4=3……3

35×9= 30÷5= 150÷40=

35×900= 3000÷500= 1500÷400=

4.計算廣場。

270+80=4.37+2.63= 5.75-3.7= 10.8-1.8=

7.5÷2.5=12.5×4= 4.2×3=42÷2.1=

5.我是神算手。(用豎式計算)

4700-87 325+6759 5.045+0.453.704-0.47

306×15 40.5×200.58×0.25 3.14×2.6

512÷32 8.4÷0.6 7.68÷0.024 5.7÷3.2

6.簡便算法我能行。

24.8-7.2-2.8 280÷25÷4

2.5×12.5×32 5.6×6.3+6.3×4.4

7*.智力沖刺看我的。

倍數和因數

一、概念

在小數階段學習“倍數和因數”時所說的數，一般指除0以外的自然數。

自然數中，是2的倍數的數叫作偶數(或雙數)。如2、4、6、8、10……都是偶數。0也是偶數;不是2的倍數的數叫作奇數(或單數)。如1、3、5、7、9、11……都是奇數。

如果整數a除以整數b，商是整除，而沒有余數，a就叫作b的倍數。比如:12÷4=3，12是4的倍數，12也是3的倍數。乘數也叫因數，如:3×4=12，3和4都是12的因數。不能單獨說12是倍數，4是因數。倍數和因數是相互依存的。

一個數的因數的個數是有限的，其中最小的因數是1，最大的因數是它本身;一個數的倍數的個數是無限的，其中最小的倍數是它本身。

一個數，如果只有1和它本身兩個因數，這個數叫做質數(或素數)。比如:2、3、5、7、11等都是質數;一個數，如果除了1和它本身，還有別的因數，這個數叫做合數。比如:4、6、8、9、15、24等都是合數。1既不是合數，也不是質數。

每個合數都可以寫成幾個質數相乘的形式，這幾個質數都叫做這個合數的質因數。把一個合數用質因數相乘的形式表示出來，叫做分解質因數。比如:210=2×3×5×7。

幾個數公有的因數，叫做這幾個數的公因數。其中最大的一個，叫做這幾個數的最大公因數。幾個數公有的倍數，叫做這幾個數的公倍數。其中最小的一個，叫做這幾個數的最小公倍數。公因數只有1的兩個數，叫做互質數。

二、求最大公因數和最小公倍數

如果兩個數是互質數，這兩個數的最大公因數是1，最小公倍數是這兩個數的積。比如:5和9的最大公因數是1，最小公倍數是45;如果兩個數是倍數關系，這兩個數的最大公因數是較小數，最小公倍數是較大數。比如:6和48的最大公因數是6，最小公倍數是48;如果兩個數即不是互質數，也不成倍數關系，可以用分解質因數的方法求兩個數的最大公因數或最小公倍數。比如:求60和42的最大公因數和最小公倍數。

60=2 ×2×3×5

42=2× 3×7

60和42的最大公因數是:2×3=6。

60和42的最小公倍數是:2×3×2×5×7=420 。

這種方法是把60和42分別分解成質因數，兩個數都含有的質因數各取一個(如2，3)，它們的乘積是這兩個數的最大公因數;兩個數都含有的質因數各取一個，再把各自獨有的質因數全部乘進去，所得的積就是這兩個數的最小公倍數。

短除法也是求兩個數最大公因數和最小公倍數的有效方法:用兩個數公有的質因數分別去除每一個數，直到沒有公有的質因數為止，所有的公有質因數相乘的積，就是這兩個數的最大公因數;把所有的公有質因數和各數獨有的質因數相乘，它們的積就是這兩個數的最小公倍數。如:求36、48的最大公因數和最小公倍數。

三、2、3、5倍數的特征

2的倍數的特征:個位上的數字是0、2、4、6、8。

3的倍數的特征:所有數位上數字的和是3的倍數。

5的倍數的特征:個位上的數字是0或5。

練習三

1.根據“24÷4=6”，說一說:誰是誰的倍數?誰是誰的因數?

2.我會填。

(1)比20小的偶數一共有( )個，奇數有( )個。

(2)20以內不是偶數的合數有( )個，不是奇數的質數有()個。

(3)12和16的最大公因數是( )，最小公倍數是( )。

(4)是2的倍數也是3的倍數的最小兩位數是( )，最大兩位數是( )。

(5)在6、9、15、32、35、60中，是2倍數的數有()，有因數3的數有()，是5的倍數的數有()，即是2的倍數又是3的倍數的數有()，是3倍數也是5倍數的數有()。

(6)A=2×2×3，B=2×3×3×5，A和B的最大公因數是

()，最小公倍數是()。

(7)一個數的最大公因數是60，把這個數分解質因數是

( )。

(8)三個連續偶數的和是72，這三個數的最大公因數是

( )。

3.我來判一判。(正確的在()打“√”，錯誤的打“×”)

(1)所有的質數除2以外，一定都是奇數。()

(2)一個合數一定能寫成幾個質數相乘的形式。()

(3)所有的自然數，不是奇數就是偶數。()

(4)兩個數的公約數是有限的，兩個數的公倍數是無限的。()

(5)所有的合數一定都是偶數。()

(6)兩個不同的質數一定是互質數。()

(7)如果A÷B=8，則A和B的最大公因數是8。()

(8)一個數含有因數3并且是5的倍數，則這個數一定是15的倍數。()

(9)兩個數的最小公倍數一定是它們最大公因數的倍數。()

(10)比1大的相鄰兩個自然數一定是互質數。()

4.分解質因數，我能行。

4270 145 280

5.下面各組數的最大公因數和最小公倍數，我會求。

12和6830和75 4、5和8 15、30和45

6.在□里可以填哪些數，我會準確填在( )里。

(1)含有因數3的數。31□( );1□2( )。

(2)是5倍數的數。71□( );3□5( )。

(3)即是2的倍數也是5的倍數。6□();3□0( )。

(4)同時是2、3和5的倍數。42□();3□0( )。

量的計量

一、量、計量、計量單位的含義

量。量是事物的一種屬性，像長度、面積、體積、時間、質量等都是量。量都是可以被計量的，量的多少必須用標準的量作單位計量后，才能知道它的大小，才能比較。比如一件物品的長度和質量，長度只有用米或其它長度計量單位測量后，才能知道它的的長短;質量只有用千克或其它質量單位測量后才能知道它的輕重。

計量。在測量物體的大小、長短、輕重、運動的快慢等時，要把測定的量與一個作為標準的量相比較，這就是計量。計量在歷史上稱為度量衡，其含義是關于長度、容積、質量、速度等的測量。

計量單位。我們學過的計量單位主要有:長度計量單位，如:厘米、分米、米、千米;面積計量單位，如:平方厘米、平方分米、平方米、公頃、平方千米;體積計量單位，如:立方厘米、立方分米、立方米。質量計量單位，如:克、千克、噸。時間計量單位，如:年、月、日、時、分、秒。人民幣計量單位，如:元、角、分。等等。

二、常用的計量單位及進率

長度單位:1米=10分米，1分米=10厘米，1千米=1000米。

面積單位:1平方米=100平方分米，1平方分米=100平方厘米，1公頃=10000平方米，1平方千米=100公頃。

體積(容積)單位:1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米，1升=1000毫升，1立方分米=1升。

時間單位:1世紀=100年，1年=12個月，1年=365日(或潤年366日)，1日=24時，1時=60分，1分=60秒。

質量單位:1噸=1000千克，1千克=1000克。

人民幣單位:1元=10角，1角=10分。

三、名數改寫

計量的結果要用數來表示，并且要帶上單位名稱，把數和名稱合起來通常叫做名數。只帶一個計量單位的名數叫做單名數。帶有兩個或兩個以上同類計量單位的名數叫做復名數。在同類單位中，較大的單位叫高級單位，較小的單位叫低級單位。

把高級單位的名數改寫成低級單位的名數，要用高級單位的數乘進率。如果是復名數，還要注意加上低級單位的數。比如:2米15厘米=( )厘米。想:2米等于200厘米，200厘米加15厘米等于215厘米。

把低級單位的名數改寫成高級單位的名數，要用低級單位的名數除以進率。如果是復名數，還要注意加上原有的高級單位的數。比如:4平方分米8平方厘米=( )平方分米。想:1平方分米=100平方厘米，8平方厘米就是8÷100=0.08平方分米，4平方分米加0.08平方分米等于4.08平方分米。

練習四

1.大家都來填一填。

5平方米=( )平方分米300千克=( )噸

1250克=( )千克 2400立方厘米=( )立方米

2平方米50平方分米=()平方分米=( )平方米

24.6分米=( )厘米=( )米=( )米( )厘米

2.37元=( )元( )角()分 8分=()角=()元

3時15分=()分 4.5小時=()時()分

1.5升=()立方分米=( )立方厘米

2.我來判。(對的在()打“√”，錯的打“×”)

(1)計量物體的面積不能用長度計量單位。()

(2)邊長2分米的正方形，周長與面積相等。()

(3)2010年的第一季度共91天。 ()

(4)2千克的鐵比2千克的棉花重。()

(5)0.6平方分米與60平方厘米的面積一樣大。()

(6)0.5噸的物品比400千克的物品重。()

(7)4小時50分與4.5小時的時間一樣長。()

(8)把三個棱長1厘米的小正方體拼成一個長方體，體積不變，表面積減少4平方厘米。()

3.我來選。(選擇合適的單位名稱填在括號里)

(1)家庭一間住室的面積約15( )。

(2)一個蘋果的質量約是210( )。

(3)一個家庭用熱水瓶的容積約是2( )。

(4)小轎車的行駛速度約每分鐘1.5( )。

(5)我國陸地面積約為960萬( )。

(6)一本小新華字典的體積約900( )，質量約為0.5

( )。

4.把下面每組數量按從大到小的順序排列，我能行。

(1)340平方厘米3平方分米4平方厘米

代數初步認識

一、用字母表示數

在含有字母的式子里，如果已知每個字母的值，就可以把值代入式子中的字母，求出式子的值。比如:當長方形中的長a=10厘米，寬b=6厘米時，S=10×6=60(平方厘米);C=(10+6)×2=32(厘米)。

二、簡易方程

含有未知數的等式叫做方程。方程與等式之間有聯系，即構成方程必須具備兩個條件，其一必須是等式，其二等式中必須含有末知數。也就是說，方程必須是等式，但等式不一定是方程。比如:8+6、4x+3都是式子，但不是等式，也不是方程;15+7=22是等式，但不是方程。

求方程的解的過程叫做解方程。解方程有兩種思路，一是依據加、減、乘、除各部分關系解方程;二是依據等式的性質解方程。比如:依據等式的性質解方程5x+15=60，把“5x”看作一個數，等式的兩邊都減去15，得出5x=45，再在等式的兩邊都除以5，得出x=9。求出方程的解后，要注意把方程的解代入原方程進行檢驗。

方程的解是指能使方程左右兩邊相等的未知數的值。比如:x=4是方程8x=32的解。

三、比和比例

1.比的意義和基本性質。

比的基本性質:比的前項和后項同時乘或者除以相同的數(0除外)，比值不變。

2.比、除法、分數之間的關系。

比表示兩個數相除;除法是一種運算;分數可以表示一個具體數。比的前項相當于除法中的被除數，分數中的分子;比的后項相當于除法中的除數、分數中的分母。在比、除法和分數中，比的后項、除法中的除數、分數中的分母都不能為0。

3.比例的意義和基本性質。

比例的基本性質:在比例里，兩個內項的積等于兩個外項的積。比如在上面比例中，3×4=2×6。

4.求比值與化簡比區別。

從要求上看:求比值是前項除以后項的商，而化簡比則要求化成最簡單的整數比;從方法上看:求比值用除法計算，而化簡比則運用比的基本性質;從結果上看:求比值得到的是一個具體的數值，而化簡比則要得到的是一個最簡整數比。

5.正比例和反比例。

比如:(1)汽車的速度一定，行駛的時間越長，行駛的路程就越多，即路程和時間成正比例關系。(2)如果路程一定，行駛的時間越長，速度就越慢，即速度和時間成反比例關系，速度×時間=路程(一定)。

練習五

1.用含有字母的式子表示數量關系或相等關系，我會做。

(1)a加b的和乘6。 (2)a的3倍加上b的5倍。

(3)比x的7倍多12的數。 (4)24除以x的4倍。

(5)a的6倍減去15，差是20。

(6)x加上12的和，再乘3，積是48。

2.沙里淘金，我會選。(下面的式子哪些是等式?哪些是方程?為什么?)

3.解決實際問題。

李叔叔看一本故事書，每天看12頁，已經看了a天，還剩下b頁。

(1)用式子表示這本故事書一共有多少頁?

(2)當a=8，b=30時，這本故事書有多少頁?

4.我來解一解。

5.將下面字母式子補充完整看我的。(b、m都不等于0)

a∶b=(am)∶( )=(a÷m)∶(b÷m)

6.注意審題，仔細解答。

7.火眼金睛會辨析。(下面哪些比可以組成比例，寫出來)

8.數字案件我來判。(判斷下面的量是否成比例，成什么比例?為什么?)

(1)一個學校的男生人數和女生人數。

(2)正方形的周長一定，長和寬。

(3)長方形的面積一定，長和寬。

(4)商品的單價一定，總價和數量。

(5)一個人的體重一定，這個人的年齡和身高。

(6)一堆煤的數量一定，每天燒的量和燒的天數。

解決應用問題

一、解決應用問題的一般步驟和審題要求

一般步驟:審題——分析數量關系——列式計算——檢驗——寫答語。

審題要求:找出應用題的已知條件和所求問題，明確應用題的結構(主干)是求和、差、積、商的哪一種。

二、分析數量關系

分析數量關系是解答應用問題的關鍵。分析數量關系就是分析條件與條件、條件與問題之間的和、差、倍、分四種基本關系。不論是用算術方法解還是用方程解，或是用比例方法解，分析和、差、倍、分都是基本的內容。但是選擇解題方法不同，分析數量關系的方法也就不同。比如:

1.選擇用算術方法解。

首先分析解決的問題需要哪兩個條件，不是已知條件的作為中間問題，再尋找解決中間問題需要哪兩個條件……然后根據分析逆推，從已知條件開始逐步解決問題。

2.選擇用方程解。

先尋找條件與條件、條件與問題之間的等量關系，找等量關系的基礎就是找出條件與問題之間的和、差、倍、分關系，然后根據等量關系列出方程解答。

3.選擇用比例解。

在分析和、差、倍、分數量關系的基礎上，判斷問題中兩個相關聯的量成什么比例關系，然后列出比例式解答。

三、解決應用問題的基本策略

1.根據基本數量關系解決簡單問題。

常見的基本數量關系如下表。

2.找量與量、量與率的對應關系解決問題。

量與量的對應關系，就是同一組數量關系中基本量之間的對應關系，如上表中的基本數量關系式，另外還有像“1倍數×倍數=幾倍數”等關系式。量與率的對應關系，就是“總量×部分量的對應分率=部分量”。比如:

(1)一款手機降價銷售，現價比原價少450元，已知原價是現價的2.5倍。這款手機的現價是多少元?

分析:現價比原價少450元，就是原價比現價多450元，原價是現價的2.5倍，就是原價比現價多(2.5-1)=1.5(倍)。用原價比現價多的錢數除以倍數，就是現價。

解:450÷(2.5-1)=300(元)

3.找等量關系解決問題。

尋找數量間的相等關系，分析數量之間的關系是解決問題的一種重要方法，也是列方程解決問題的關鍵。在尋找數量間的相等關系時，可以根據常見的數量關系式找，也可以利用周長、面積、體積公式確定，還可以利用線段圖等直觀方式尋找數量之間的等量關系。比如:

(1)用鋁條做一個長方形鏡框共用了180厘米，鏡框的長比寬多20厘米。鏡框的長和寬各是多少厘米?

分析:根據長方形周長公式，列方程解答。

解:設鏡框的寬是x厘米，則長是(x+20)厘米。

根據題意:(x+20)×2+2x=180

4x+40=180

x=35 (厘米)

長為:35+20=55(厘米)。

(2)有糖水500克，含糖28%，加入一些水，含糖16%。加入了多少克水?

分析:根據加水前后糖水含糖總量不變，列方程解答。

解:設加水x克。

根據題意:(500+x)×16%=500×28%

x=375(克)

(3)一列客車和一列貨車從兩地同時開出，相向而行。客車每小時行駛120千米，經過4小時客車在駛過中點后離中點50千米處與貨車相遇。貨車每小時行駛多少千米?

分析:從下圖可以看出:行駛4小時，貨車行駛路程加上50千米到中點，客車行駛路程減少50千米是中點，這時兩車行駛的路程相等。

解:設貨車每小時行駛x千米。

根據題意:4x+50=120×4-50

x=95(千米)

(4)一輛汽車從甲地開往乙地，3小時行了135千米。用這樣的速度，又行駛了2.4小時到達乙地。甲乙兩地之間的公路長多少千米?(用比例解)

分析:汽車的速度一定，就是路程和時間成正比例關系。

解:設甲乙兩地之間公路長為x千米。

3x=135×(3+2.4)

x=243(千米)

4.多角度思考、分析數量關系解決問題。

同一個問題，思考的角度不同，分析數量關系的方式不同，解決問題的方法也就不同。有些應用問題，應用倍數、分數、比和比例等基本概念，可以多角度分析，尋找不同的解答方法。比如:

李叔叔家花2350元新買一輛電動車和一輛自行，其中電動車的價錢是自行車的4倍。電動車和自行車各多少元?(解題步驟略)

解法③:根據“根據電動車與自行車價錢的比是4:1”，可以用按比例分配的方法解。4+1=5(份)。自行車:2350÷5=470(元);電動車:470×4=1880(元)。

解法④:根據“電動車價錢+自行車價錢=總錢數”的等量關系，用方程解。

解:設自行車x元，則電動車4x元。

x+4x=2350 x=4704x=4×470=1880。

解法⑤:根據“自行車價錢與總錢數的比是1∶(1+4)”，可以用比例方程解。

解:設自行車x元。

x∶2350=1∶(1+4) x=470

電動車:470×4=1880(元)。

練習六

1.今年劉老師的月工資比2004年多1600元。已知劉老師今年工資是2004年的3.5倍。劉老師2004年的月工資是多少元?

2.梨樹屯計劃用16天完成今年的植樹任務，實際每天植樹280棵，12天就完成了任務，并且超額植樹160棵。原計劃每天植樹多少棵?

4.甲乙兩地之間公路長240千米，一輛汽車從甲地開往乙地，1.5小時行駛了90千米，按照這樣的速度，汽車到達乙地還需要多長時間?

5.一項工程甲隊獨做要30天完成，乙隊獨作要45天完成。現在甲乙兩隊合作這項工程，合作期間乙隊因事5天沒有參與。完成這項工程乙隊工作了多少天?

6.大劉莊村有2430口人，比吳莊村人口的2倍多160人。吳莊村有多少人?

7.一輛小汽車和一輛客車同時從甲地出發開往乙地。小汽車平均每小時行駛60千米，客車平均每小時行駛40千米。當小汽車到達乙地后立刻按原路返回，小汽車從出發到與客車相遇共經過3.5小時。

(1)甲乙兩地之間的路程是多少千米?

(2)相遇時客車距乙地還有多遠的路程?

8.一塊長方形木板的周長是24分米，長與寬的比是3∶2。

(1)木板的長和寬各是多少分米?

(2)面積是多少平方分米?

10.一個果園里有蘋果樹和梨樹共485棵，蘋果樹比梨樹多67棵。蘋果樹和梨樹各有多少棵?(用算術和方程兩種方法解答)

11.一種農藥，用藥液和水按10:240配制而成。配制這種農藥750千克，需要藥液和水各多少千克?

12.一種羊毛衫春季每件售價550元，到夏季按春季降價30%出售，夏季售價仍比進價高10%。這種羊毛衫每件進價是多少元?

空間與圖形

一、平面圖形

1.線。

①直線:直線沒有端點，可以向兩個方向無限延長，不可以度量長度。②射線:射線只有一個端點，可以向一方無限延長，不可以度量長度。③線段:線段有兩個端點，可以度量長度。

在同一個平面內兩條直線的位置關系有相交和平行兩種，其中垂直是兩條直線相交的一種特殊情況。

2.角。

從一點引出兩條射線所組成的圖形叫做角。也可以理解為，一條射線繞著它的端點旋轉而得到。角的大小與角兩條邊的長短沒有關系，角的大小取決于角兩邊張開的程度，兩條邊張開的越大，角就越大。

角按從小到大可以分為:銳角、直角、鈍角、平角和周角。

3.三角形。

由三條線段圍成的封閉圖形叫做三角形。三角形具有穩定性。三角形三個內角和是180°。三角形按角的大小可以分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形;按邊可以分為不等邊三角形、等腰三角形和等邊三角形。從三角形的任意一個頂點向它的對邊作垂線，頂點到垂足之間的線段長叫做三角形的高，這條邊叫做三角形的底邊，每一個三角形都有三條高。等腰三角形和等邊三角形都是軸對稱圖形，等腰三角形有1條對稱軸，等邊三角形有3條對稱軸。

4.四邊形。

四邊形是由四條線段圍成的封閉圖形。長方形、正方形、平行四邊形、梯形都是四邊形。正方形是特殊的長方形，正方形和長方形都是特殊的平行四邊形。

長方形、正方形、平行四邊形、梯形的圖形與特征如下:

5.圓。

圓是由平滑曲線圍成的封閉圖形。一個圓，只有一個圓心，有無數條半徑、無數條直徑，所有的半徑都相等，所有的直徑都相等，直徑是半徑的2倍。

6.平面圖形的周長及面積。

二、圖形與變換

1.平移。

一個物體或圖形在平面內沿某個方向移動一定距離，這樣的物體或圖形運動叫平移。平移不改變圖形的形狀、大小和方向。比如:把桌面上的一本書從一個位置推到另一個位置，這本書的運動就是平移現象。

2.旋轉。

一個圖形在平面內繞著一個固定點轉動一定角度，這樣的圖形運動叫旋轉，這個固定點稱為旋轉中心。旋轉不改變圖形的大小和形狀。比如:“門的轉動”和“蕩秋千”都是旋轉現象。

3.軸對稱。

如果一個平面圖形，沿著某一條直線對折，直線兩邊的部分能夠完全重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形。這條直線叫對稱軸。互相重合的點叫對稱點。比如:等腰三角形是軸對稱圖形，底邊上的高就是這個等腰三角形的對稱軸。

三、圖形與位置

1.用數對表示位置。

用數對表示位置在生活中經常用到，如從影劇院的票面上可以看到“第A排，第B號”，這里的A、B就確定了觀眾的位置。像這樣的用兩個數表示位置的方法叫做用數對表示位置，這樣的一對數我們稱它為“數對”。在小學數學中，用數對表示位置時先說列數，再說行數，也就是第一個數字表示“列”第二個數字表示“行”。如:(6，4)表示第六列，第四行;再如小明座在教室里的位置是第3列，第6行，小明的位置就可以用數對(3，6)來表示。

2.比例尺。

圖上距離和實際距離的比叫做這幅圖的比例尺。比如一幅地圖上的比例尺是1:20000，就是圖上1厘米表示實際20000厘米，也就是200米。比例尺除了可以寫成數字比的形式外，還可以用線段比例尺表示。比如在一幅地圖上，畫有一條線段比例尺:。即圖上1厘米表示實際長度5千米，2厘米表示10千米……

3.根據方向和距離確定物體的位置。

用方向和距離確定物體的位置，一般情況下，以南北為主要方向，用北偏東(西)或南偏東(西)多少度來描述方向，再加上距離就可以確定物體的位置。確定某物體的位置時，第一步確定觀測點，第二步測量角度，第三步測量距離。這樣就可以用比較準確的語言來描述物體的位置。比如:以學校大門口為觀測點，圖書室在大門口南偏東35°方向的280米處。

四、立體圖形

1.體積與容積。

物體所占空間的大小叫做物體的體積。物體所容納物質的體積叫做物體的容積。

求物體的體積是從物體的外面測量、計算的結果。求物體的容積是從物體的里面測量、計算的結果。對同一個物體來說，它的容積一般要比體積小。

2.長方體、正方體、圓柱、圓錐的特征和表面展開圖。

3.長方體、正方體、圓柱、圓錐表面積和體積的計算方法。

一個立體所有面的面積總和，叫作它的表面積。比如:長方體的表面積等于長方體六個面的面積總和。

學過的立體圖形表面積和體積計算公式如下表:

注意:在解決幾何應用題時，應靈活應用計算公式和根據需要取近似值。如求表面積在取近似值時，若是求用料問題，通常采用“進一法”;若求容器的容積，通常采用“去尾法”;其它情況一般采用“四舍五入法”。比如:一個木箱如右圖，木板厚0.2分米。

(1)在木箱的各面涂上油漆，每平方米費用需要50元，油漆這個木箱大約需要多少錢?

(2)木箱的容積是多少?

解:(1)箱子六個面的面積總和為:

(11.4×4.4+11.4×6+6×4.4)×2

=(50.16+68.4+26.4)×2

≈290(平方分米)

≈3(平方米)

費用需要:50×3=150(元)

(2)木箱容積:

(11.4-0.2×2)×(4.4-0.2×2)×(6-0.2×2)

=11×4×5.6

≈246(立方分米)

練習七

1.我會填。

(1)兩條直線相交，其中一個角是60°，和它相鄰的一個角是( )。

(2)從一點引出三條射線最多可以組成( )個小于180°的角。

(3)三角形的內角和是( );四邊形的內角和是()。

(4)一個等腰三角形的頂角是40°，這個三角形的一個底角是( )。

(5)銳角三角形中兩個銳角的和一定大于()度。

(6)一個圓的半徑是2分米，這個圓的周長是()分米。

(7)兩個同樣的正方形拼成一個長方形，它的周長減少了8厘米。這個長方形的面積是()平方厘米。

(8)把兩個棱長2分米的正方體拼成一個長方體，表面積減少( )平方厘米。

(9)把物體從低處提到高處，物體的運動是( )現象。

(10)李濤教室里的座位在第五列，第二排，用數對表示是()。

2.我會判斷。(對的打“√”，錯的打“×”)

(1)線段是直線上的一部分。( )

(2)很長的一條線段也比一條射線短。( )

(3)一個角的兩條邊越長，這個角越大。( )

(4)一個大三角形的內角和要大于小三角形的內角和。( )

(5)大圓周長除以直徑的商比小圓周長除以直徑的商要大。( )

(6)一個正方體的底面積和一個圓柱的底面積相等，高也相等，則它們的體積也相等。( )

(7)棱長6厘米的正方體，表面積和體積相等。( )

(8)一個鐵皮箱的體積一定大于它的容積。( )

(9)平行四邊形是軸對稱圖形。( )

(10)鐘擺的運動是旋轉現象。( )

3.說一說，畫一畫。(下面每個圖形各有幾條對稱軸，再畫出其中的一條對稱軸)

4.我會動手操作。(按要求在方格紙上畫圖)

(1)畫出左圖向右平移8格，再向上平移4格后的圖形。

(2)畫出右圖繞B點順時針旋轉90°的圖形。

7.解決實際問題看我。

(1)一個圓錐形小麥堆，底面周長是6.28米，高1.2米。把這堆小麥裝入一個從里面量長2米，寬1米，高0.8米的木箱。小麥上面離木箱頂端還有多高?

(2)用一根80分米長的鐵條，焊成一個棱長比為5:3:2的長方體框架。如果每個面都用鐵皮包上做成一個鐵箱，至少用鐵皮多少平方分米?這個鐵箱的體積是多少?

(3)在一幅地圖上，3厘米的線段表示實際距離45千米。

①這幅地圖的比例尺是多少?

②在這幅地圖上量得A、B兩地的距離是3.6厘米。兩地的實際距離是多少千米?

③一段75千米長的公路，在這幅地圖上的距離是多少厘米?

簡單統計與概率

一、簡單統計

1.統計表。

(1)統計表的分類和作用。統計表分為單式統計表和復式統計表兩種。統計表的主要作用是把數量或數量間的差別情況表示出來，便于分析比較。

(2)制作統計表。制統計表時，要根據資料和制表要求，確定表的格式和項目。一般包括總標題、縱欄目、橫欄目、數據等，還應注明數量單位和制表日期。

(3)分析統計表。統計的語言是數字，也就是說，它以數字為依據來具體說明事情的規模、水平、各種數量關系、發展變化情況等。因此，對統計表進行分析時，要有意識地從數量方面提出問題。比如，數量的多少、差別、數量間的關系、變化情況及原因等，也可以根據自己對表中數據的觀察、比較，提出自己的想法。

2.統計圖。

(1)統計圖的分類和作用。統計圖通常分為條形統計圖、折線統計圖和扇形統計圖三種。條形統計圖可以直觀反映數量的多少;折線統計圖既可以反映同一事物不同時間的變化情況，也可以表示數量的多少;扇形統計圖可以清晰地表示出各部分和總數之間、各部分和各部分之間的關系。

(2)制作統計圖。制作統計圖時，要根據統計的目的和制作要求，選擇合適的統計圖。比如:①要反映一個工廠各車間月產量的多少，制作成條形統計圖比較合適;②根據某地一個月的天氣，要反映每天氣溫的多少和變化情況，制作折線統計圖比較合適;③要反映某農場各種農作物種植面積和總面積之間的關系，制作扇形統計圖比較合適。

(3)對統計圖的簡單分析。分析統計圖時，可以從以下幾個方面考慮:圖中有哪些量?各個量相應的數據分別是多少?數量是怎樣變化的?有什么聯系?等。另外，還可以結合生活經驗、社會現象或自然現象等對統計圖進行深入的理解。比如:王老師從縣城乘汽車去省城，到達省城后把乘車行駛情況制成了下面的統計圖。從圖中可以看出:

①橫軸表示時間，每兩格表示1小時;縱軸表示路程，每兩格表示50千米。

②汽車從縣城到省城共行駛4小時，行駛250千米。前2小時行駛100千米;后2小時，汽車速度加快，2小時行駛了150千米。

3.求數據的平均數。

(1)平均數的意義。平均數是一個重要的統計量，在小學階段，平均數是指算術平均數，也就是一組數據的總和除以這組數據的總個數所得的商。因此，平均數不是一個實實在在的數，而是代表一組數的平均值。用平均數表示一組數量的一般情況，有直觀簡明的特點。比如:小明、小紅和小林進行拍皮球比賽，小明拍了15個，小紅拍了20個，小林拍了25個。平均每人拍:(15+20+25)÷3=20(個)。這20個并不是每人拍了20個皮球，它代表三個人的平均水平。

(2)求平均數的方法是多樣的。既可以根據“總數÷總份數=平均數”計算，也可以以其中的一個數據作為基數，采用移多補少的方法進行計算。

4.數據的中位數和眾數。

(1)中位數。把一組數據按從小到大的數序排列，在中間的一個數字(或兩個數字的平均值)叫做這組數據的中位數。

求中位數時，首先要按從小到大的順序來對這一組數據進行排序，然后算出中位數的序號，可根據數據的多少分為奇數個與偶數個兩種來求。即:如果總數個數是奇數的話，按從小到大的順序取中間的那個數;如果總數個數是偶數個的話，按從小到大的順序取中間那兩個數的平均數。例如:1、2、3、3、4的中位數是3;而1、2、3、3的中位數是2.5。

(2)眾數。一組數據中出現次數最多的那個數就叫做這一組數據的眾數。

求一組數據的眾數。比如有一組數據:1，2，3，4，4，5，5，

5，6，7，8，8，9，從小到大排好了順序，一共是13個，其中5有3個，4和6有2個，其他都是1個。那么這里的眾數就是5，出現了3次，比其他的都多。如果出現個數一樣的數據，或者每個數據都只有一次，那么眾數可以不止一個或者沒有。例如，一組數據:2、2、3、3、4的眾數是的眾數就是2、3，而另一組數據:1、2、3、4沒有眾數。

5.平均數、中位數與眾數的區別。

平均數的大小與一組數據里的每個數據均有關系，其中任何數據的變動都會相應引起平均數的變動;眾數則著眼于對各數據出現的次數的考察，其大小只與這組數據中的部分數據有關，當一組數據中有不少數據多次重復出現時，其眾數往往是我們關心的一種統計量;中位數則僅與數據排列位置有關，中位數算出來可避免極端數據，代表著數據總體的中等情況。因此，某些數據的變動對它的中位數影響不大。

二、簡單概率

1.事件發生的確定和不確定現象。

生活中經常會遇到很多事件，有些事件的結果是能夠預知的，我們稱此類事件叫確定現象。比如:太陽每天都從東方升起，西方落下。這件事情是能夠預知的事件，這樣的現象就是確定現象。

生活中還有很多事情和很多現象發生的結果有可能是這樣，也有可能是那樣的，也就是說，有些事情的結果不能確定，在數學上，我們把這類問題叫做“不確定現象”。比如:向空中拋擲一枚硬幣，硬幣落地后可能正面向上，也可能反面向上。這種事情的結果在拋擲硬幣前不能確定，這種現象就是不確定現象。

2.事件發生的可能性。

在生活中，有些事件一定會發生，有些事件不可能發生，有些事件則可能發生。事件發生的可能性有大有小。如果一件事，你不確定它發不發生，可以說可能發生，意思是可能發生，也可能不發生。

(1)等可能性。

(2)游戲的公平性。在玩游戲時，游戲規則必須保證事件發生的可能性相同，也就是等可能性才公平。確定一個游戲是否公平，要先找出事件發生的所有可能，然后看對于游戲雙方發生的可能性是否相同，若相同，游戲公平，否則，游戲就不公平。

(3)分辨可能性。

在涉及可能性大小的問題中，最常用的方法，是將所有可能的情況都列舉出來，哪種情況出現次數越多，其發生的可能性就較大。

比如:一個盒子里放有6個紅球、3個黃球和1個白球。閉上眼睛從中任意摸1個球，摸出什么顏色球的可能性大，是多少?

練習八

1.大家都來填一填。

(1) 要反映某旅游景點連續10天每天游客人數多少和變化情況，制作( )統計圖比較合適。

(2)要反映幾座山峰的海拔高度，制作( )統計圖比較合適。

(3)要反映某學校各年級人數與學校總人數之間的關系，制作( )統計圖比較合適。

(4)小明12歲，媽媽38歲。小明和媽媽的平均年齡是

( )歲。

(5)李剛和趙東下了8盤軍旗，李剛勝了3盤，輸了5盤，再下一盤( )勝的可能性大。

(6)一個盒子里有5個白球、3個黃球、2紅球。任意摸1個球，摸出白球的可能性是( )，黃球的可能性是()，紅球的可能性是()。

(7)在2、5、3、4、5、6、1一組數中，中位數是( )，眾數是

( )。

(8)在4、8、6、5、4、7一組數中，中位數是( )，眾數是

()。

2.選一選，填一填，我能行。(在下面的括號里填上“一定”、“可能”或“不可能”)

(1)六年級男同學身高比女同學身高()矮。

(2)陳旺媽媽的年齡( )比陳旺大。

(3)人如果沒有水喝( )長時間活著。

3.畫一畫，算一算，想一想。

希望小學六個年級男、女生人數統計如下:

一年級:男生25人，女生23人。

二年級:男生22人，女生26人。

三年級:男生20人，女生25人。

四年級:男生25人，女生25人。

五年級:男生23人，女生24人。

六年級:男生24人，女生26人。

(1)根據上面的數據制成統計表和復式條形統計圖。

(2)求平均每個年級有學生多少人?

(3)自己提出問題并解答。

4.操作間里顯身手。