有理數的核心概念解讀

數及其運算是中小學數學課程的核心內容.在小學里同學們已經學會了自然數、正分數及其運算.本章是在小學內容的基礎上，借助對具有相反意義的量的討論，引入負數、有理數、無理數、數軸、相反數、絕對值等一系列概念.本章的知識和思想方法是后續學習的重要基礎，為使同學們真正理解和掌握有理數的基礎知識，培養運算能力，增強數感和符號意識，有必要對有理數這一章的核心概念作進一步解讀.

一、正數與負數

1.對正數和負數的認識

生活中經常遇到零上與零下、向左與向右、前進與后退、上升與下降、收入與支出等許多具有相反意義的量，為了在數學上正確表示這些相反意義的量，我們引入正數和負數.

引入負數是實際的需要，也是數學內部知識發展的需要.同學們可以從學習過程中體會根據實際和數學發展需要引入新數的好處.

用正數和負數表示現實生活中具有相反意義的量，體現了數學運用的廣泛性，更重要的是引入負數可以使小學討論的問題大大簡化，例如我們把“少5個”理解成“多-5個”，就可以將小學討論盈虧問題時“盈盈”“盈虧”“虧虧”3種情況統一成一種情況.

2.對正數和負數概念的理解

正數：像+1.6、+20、+130、+80%等帶“+”號的數叫做正數，正數加上“+”號表示強調，也可以省略不寫.

負數：像-12、-326、-60、-0.8、-68%等帶有“-”號的數叫做負數.而負數的“-”號不能省略.

零既不是正數也不是負數，它是正數與負數的分界點.

對于正數與負數，不能簡單地理解為：帶“+”號的數是正數，帶“-”號的數是負數.例如-a不一定是負數，因為字母a代表任何一個有理數.當a是正數時，-a是負數；當a是0時，-a是0；當a是負數時，-a是正數.正數與負數能表示相反意義的量，習慣上把增加、盈利等規定為正，它們相反意義的量規定為負，正、負是相對而言的.

二、有理數和無理數

1.對有理數概念的理解

我們把能夠寫成分數形式■（m、n是整數，n≠0）的數叫做有理數，整數、有限小數和循環小數都能化為分數的形式，它們是有理數.整數包括三類：正整數、零和負整數.分數包括兩類：正分數和負分數.

引入負數后，數的范圍擴大為有理數，奇數和偶數的外延也由自然數擴大為整數.整數也可以分為奇數和偶數兩類：能被2整除的數是偶數，如…-6，-4，-2，0，2，4，6…；不能被2整除的數是奇數，如…-5，-3，-1，1，3，5….

有理數可以按兩個標準進行分類：（1）按整數和分數的關系分類；（2）按正數、負數和零的關系分類.

2.對無理數概念的理解

無限不循環小數叫做無理數，無理數不能寫成分數■的形式.

（1）無理數應滿足的條件：①是小數；②是無限小數；③是不循環小數.

（2）本章無理數的表現類型：①π型，如0.6π、3π等；②小數型，如0.101 001 000 1…，2.383 883 888 388 88…；③描述型，如面積為2的正方形的邊長a等.

3.有理數與無理數的主要區別

有理數包括有限小數和無限循環小數，而無理數則是無限不循環小數.所有的有理數都能寫成分數的形式（整數可以看成是分母為1的分數），而無理數則不能寫成分數的形式.

三、數軸

1.對數軸的認識

數軸的概念：規定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數軸.

數軸的畫法：①畫一條水平的直線；②在直線的適當位置選取一點作為原點，并用0表示這點；③確定向右為正方向，用箭頭表示出來；④選取適當的長度作為單位長度，從原點向右，每隔一個單位長度取一點，依次為1，2，3，…；從原點向左，每隔一個單位長度取一點，依次為-1，-2，-3，….如圖1所示.

2.對數軸的理解

概念的理解：①數軸是一條直線，可以向兩端無限延伸；②數軸有三要素：原點、正方向、單位長度，三者缺一不可；③原點的位置、正方向的取向、單位長度的大小都是根據實際需要而定的.

數軸是數形結合思想的產物.用數軸上的點可以直觀地表示有理數，為我們理解相反數和絕對值提供了直觀工具，同時為學習有理數的運算法則作了準備.我們借助圖形能直觀地確認有理數和無理數都可以在數軸上表示，數軸上的點都表示一個有理數或一個無理數，從而使我們了解數軸上的點與有理數和無理數是一一對應關系，并為有理數的相反數和絕對值的學習做了鋪墊.

四、絕對值和相反數

1.對絕對值的認識和理解

絕對值的幾何定義：在數軸上，表示一個數a的點到原點的距離叫做這個數a的絕對值，記作a.

絕對值的代數定義：一個正數的絕對值是它本身，一個負數的絕對值是它的相反數，0的絕對值是0.

絕對值的概念是借助距離的概念加以描述的.在數軸上，一個點由方向和距離（長度）確定；相應地，一個數是由符號和絕對值確定.這里“方向”和“符號”對應，“距離”和“絕對值”對應，又一次體現了數形的結合、轉化.所以，絕對值的概念既可以促進對數軸概念的理解，也可以進行數的大小比較，同時也是數的運算的基礎.

注意：（1）絕對值的求法：先判斷這個數是正數、負數還是零，再根據絕對值的代數定義去掉絕對值符號；（2）絕對值的非負性：無論是絕對值的幾何定義，還是絕對值的代數定義都揭示了絕對值的重要性質——非負性.也就是說，任何一個有理數或一個無理數的絕對值都是非負數，即a≥0.

2.對相反數的認識和理解

相反數的概念：只有符號不同的兩個數互為相反數.規定零的相反數是零.

從數軸上看，表示互為相反數的兩個數，分別位于原點的兩側（零除外，零和它的相反數都在原點），且與原點的距離相等.如圖1，4與-4互為相反數.

相反數是成對出現的，不能單獨存在，如+3與-3互為相反數，說明+3的相反數是-3，-3的相反數是+3，單獨一個數不能說相反數；“只有”的含義說明像+2與-3這樣的兩個數不是互為相反數.

引入相反數，一方面可以加深對相反意義的量的認識，另一方面可以為學習絕對值和有理數的運算做準備.

五、非負數和非正數

若數a≥0，則稱a為非負數.

非負數的性質：任何非負數的和仍為非負數；如果幾個非負數的和為0，則這幾個非負數均為0.例如：若m、n滿足m-3+（n+2）2=0，則m-3=0，n+2=0，即m=3，n=

-2.

與其相對應的還有非正數，若數a≤0，則稱a為非正數.

六、倒數

乘積為1的兩個數互為倒數，其中一個數叫做另一個數的倒數.

倒數的求法：求一個數的倒數，直接可以把這個數作為分母、作為分子，寫成分數；求一個分數的倒數，只要將分子、分母顛倒即可；求一個帶分數的倒數，應先將帶分數化成假分數，再將分子、分母顛倒；求一個小數的倒數，應先將小數化成分數，然后再求倒數.

只有零沒有倒數，其他任何數都有倒數.正數的倒數為正數，負數的倒數為負數，求一個數的倒數不改變它的符號.

七、數的大小的比較

利用數軸比較大小：數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大，故有：正數大于0，0大于負數，正數大于一切負數.例如：圖1中表示2的點在表示-3的點的右邊，則2>-3；也可由2是正數，-3是負數判斷出2>-3.

任意數大小的比較法則：正數都大于零，負數都小于零；正數大于一切負數；兩個負數，絕對值大的反而小.例如：比較兩個負數-3.6和-2.8的大小的步驟是：首先分別求出兩個負數的絕對值-3.6=3.6，-2.8=2.8；再比較兩個絕對值的大小3.6>2.8；最后根據“兩個負數，絕對值大的反而小”做出正確判斷：-3.6<-2.8.

以上是“有理數”這一單元中的一些重要的核心概念，它們是奠定整個中學數學的核心基礎.希望同學們要認真學習、正確理解、靈活運用，為自己今后的發展奠定厚實的基礎.