讓學生經歷數學發現的過程

所謂“發現學習”，就是學生不是從教師的講述中得到一個概念或原則，而是在教師組織的學習情境中，通過自己的頭腦親自獲得知識的一種方法。注重知識的發生、發展過程，讓學生自己發現問題，主動獲取知識，是發現學習的主要特點。這與新課程特別關注學生學習的過程性、體驗性和創造性的理念是相吻合的。因此，對“發現學習”的學習和實踐具有非常重要的現實意義。

那么，在教學中該如何組織、引導學生進行發現學習呢?下面結合“減法的運算規律”的教學談談自己的實踐與思考。

案例:

教師出示:《今日說法》《走進科學》《大風車》。

師:在這三個節目中，如果每人只準選一個，你最喜歡看哪一個節目?

學生紛紛發表意見。

師:看來，同學們的意見不盡相同!為了準確獲得信息，我們可以進行一次統計。選擇《今日說法》《走進科學》的同學請舉手……

統計完喜歡《今日說法》《走進科學》的人數后，教師提出一個既出乎學生意料，又在情理之中的挑戰性問題:如果不用“數一數”的方法，你能知道選擇它的有多少人嗎?

學生思考后用兩種不同的方法算出結果。

師:這兩道算式的得數相同，所以我們可以把它們寫成這樣的等式——

61-15-12=61-(15+12)

師:像這樣的等式你還能寫出一些嗎?

學生在位上列舉后交流。

教師選擇部分等式。

師:這樣的等式還有嗎?你發現了什么規律?

提示卡:觀察等式左邊部分，你能用一句話概括這些算式嗎?

學生獨立觀察后，小組交流，教師巡視傾聽、指導。

組1:被減數減去兩個減數的結果與被減數減去這兩個減數的和的結果是相同的。

組2:一個數連續減去兩個數等于從這個數里減去兩個減數的和。

師:這是同學們的發現，這個規律是否具有普遍性呢?怎么辦?

生:我們可以驗證。

師:那就請大家再寫出一些算式驗證結論。

學生驗證。

師:能經得起實踐驗證的規律才是真知識。這是減法的一個重要的規律(板書:減法的運算規律)。如果用a、b、c分別表示三個數，你能用含有字母的式子表示這個規律嗎?

學生交流，教師板書:a-b-c=a-(b+c)

師:用字母表示和用文字表述，你更喜歡哪一種?

師:同學們真了不起!通過你們的觀察、思考、合作、交流，探索出的規律和數學家的發現一模一樣，這就是今天我們重點研究的“減法的運算規律”。

最后，教師組織學生進入“鞏固、應用與拓展”環節。

反思:

發現需要時間，發現體現過程。沒有時間的保障，沒有過程的經歷，發現是很難進行的。因此，引導學生進行發現學習，首先必須經歷發現的過程。在數學學科中，就是讓學生經歷數學發現的過程，即:在教師的指導下，學生通過觀察、實驗、猜測、驗證、討論和交流等活動，像數學家當初發現定理那樣去發現、研究數學問題，進而解決問題、總結規律。本案例中，教師組織學生經歷了“啟動發現”“推進發現”和“確認發現”的過程。

1. 在現實情境中啟動發現

數學教學要從學生已有的知識和經驗出發。這就是強調在新知教學之前，教師不僅要弄清與新知有直接聯系的舊知和經驗，而且還要把這些舊知和經驗作為學生學習新知的生長點，從而更有效地展開教學。本案例中，“減法的運算規律”是以特殊的等式為思維支撐，而這種等式又是由兩個相關算式(不僅得數相同，而且數字及數字排列的順序也相同，只是運算順序不同)組成的。因此，提供兩道相關的算式和對這兩道算式的感悟就成為學生學習“減法的運算規律”的關鍵，這也是他們進行數學發現的基礎和起點。

教學時，先從談論“喜歡看的電視節目”開始，有效激活學生的思維，喚起學生的興趣，同時讓他們產生獲取“選擇每種節目的同學各有多少人”的需要。當師生通過“數一數”的方法很容易獲取前兩個數據之后，教師巧妙地設置障礙——如果不用“數一數”的方法，你能知道選擇它的有多少人嗎?給學生的思維制造一種不平衡，使學生在挑戰中獲得主動參與學習的動力，同時生成要研究的數學問題:根據已知信息，怎樣解決“最喜歡看《大風車》的有多少人”。通過學生獨立思考和集體交流，圓滿解決了問題，呈現兩種不同的算法(算式)，自然喚醒學生頭腦中相關的知識和經驗。此時，弄清這兩道算式的聯系就成為學生的一種實際需要，建立一個等式(把兩道算式用等號連接起來)也就水到渠成了。

在此基礎上，教師及時引導學生比較等式兩邊的算式，進一步聚焦思維，使學生對等式兩邊算式的關系有了更深層次的體驗，獲得清晰的認識。而這種清晰的認識必然引發學生的進一步思考:是否所有相應的兩道算式都存在這種關系?這里面是否有什么規律?數學發現就此啟動。

2. 在積累感悟中推進發現

積累感悟是學生進行數學發現的核心環節。通過積累感悟，力圖從不同角度、循序漸進地豐富學生的感知，幫助學生對思維對象中蘊藏的規律(數學模型)在頭腦中逐步清晰、明朗，直至可能用符號或語言外化。為此，案例中安排了三個層次的活動:一是填空。出示28-6-4=28○(_○_)，突出等式的結構，其目的是限定學生思維的方向，利用剛剛被喚醒和積累的經驗實現正遷移，強化學生對“減法的運算規律”的感悟。這里體現了教師的“扶”。二是猜測，即直接出示一個算式，讓學生思考與它相等(相應)的算式。先“從左到右”順向思考，再“從右到左”逆向思考，在互逆的轉換中，從不同的方向進一步豐富學生的感知，促進感悟。這里體現的是教師適度的“放”。由“扶”到“放”，既符合學生的認知規律，也拉長了積累感悟的過程，讓學生能在積累中感悟，在感悟中積累，使得學生對“減法的運算規律”的認識由模糊到清楚，由只能意會到有表達的沖動。三是發現。當積累和感悟到了火候，教師及時啟發、組織學生集中討論和交流，給學生創造一個進一步感悟的機會，讓他們在思維碰撞中外化規律，得到初步發現。

這里還需要提及的是，無論“填空”，還是“猜測”，教師都能及時引導學生進行驗證，充分體現了教師認真負責的態度和對學生的科學訓練意識。

3. 在實踐驗證中確認發現

小學階段學生所進行的數學發現，基本上都是“不完全歸納法”。面對很有限的感知對象，歸納、概括出來的內容是否正確，是否真的存在，這是值得懷疑的地方。因此，在發現規律之后應該引導學生進行驗證。雖然在驗證中列舉的例子還是有限，還是“不完全”的，但是從數量上已經增加了很多(從幾個到幾十個)，更為重要的是幾十位學生各自隨意地列舉，突出列舉的自然狀態，能有效提高驗證結果的可信度(在學生的頭腦中會認為，你再舉例子還是這樣，這條規律是正確的)，從而確認所發現的規律。在驗證中不僅確認了數學發現，更為重要的是讓學生經歷較為完整的類似于科學家的發現過程(發現后還需要進一步驗證)，增加數學發現的思維深度和科學含量，使學生學會數學地、科學地思維，培養他們的科學態度和求真精神。

(運河高等師范學校附屬小學)