擴散風險模型下再保險和投資對紅利的影響

摘 要:對擴散風險模型，研究了比例再保險和投資對紅利的影響.在常數邊界分紅策略下，得到了使得期望貼現紅利最大的最優比例再保險和投資策略的顯示表達式，并得到最大期望貼現紅利的顯示表達式.最后，通過數值計算得到了再保險和投資對期望紅利的影響，以及最優投資策略與各參數之間的關系.

關鍵詞 擴散風險模型; 邊界分紅; 比例再保險; 投資; Hamilton-Jacobi-Bellman 方程

中圖分類號 O212.63文獻標識碼:A



1 引 言

在保險實務中，由于競爭激烈，當保險公司的盈余達到一定水平時，保險公司將降低保費或將盈余的一部分作為紅利分給保單持有者.因此為了更好地描述保險公司的現金流，需在保險風險模型中考慮分紅.特別感興趣的是兩種依賴盈余的分紅策略.一是常數邊界分紅策略，對于常數邊界分紅策略，當盈余低于一個常數邊界時沒有分紅;當盈余高于這個常數邊界時，高出部分全部作為紅利分出.另外一種分紅策略是閥值分紅策略，當盈余低于一個常數邊界時沒有分紅;當盈余高于這個常數邊界時，只是把盈余的一部分作為紅利分出.

DeFinetti[1] 首次提出具有分紅策略的二項風險模型， 發現了最優的分紅策略是邊界分紅.自從這篇文章發表以后， 有大量的文獻對傳統復合泊松風險模型或擴散風險模型的邊界分紅策略進行了系統的研究，早期的研究包括Gerber[2]，Buhlmann[3]，Gerber[4]，Asmussen 和Taskar[5]等等.最近的研究包括Dicson和Waters[5]， Albrecher et al[6]，Lin et al[7]，Gerber 和Shiu [8]，Li[9]等.以上文獻僅研究傳統復合泊松風險模型或擴散風險模型的最優分紅策略，邊界紅利或閥值紅利所滿足的方程， 以及它們的顯示解或數值解.事實上，在保險實務中，保險公司為提高自己的償負能力，必然會在金融市場中投資，同時為減少所面臨的風險，還需進行再保險.而投資是有風險的，再保險也需要分一部分保費給再保險公司.而對傳統復合泊松風險模型或擴散風險模型，已有大量的文獻研究了投資和再保險對破產概率和期望效用的影響，見Browne[10]，Luo 等[11]，Schmidli[12] 等等.但到目前為止，還沒有發現有文獻研究投資和再保險對分紅的影響.因此對傳統復合泊松風險模型或擴散風險模型，找到使得紅利最大的投資和再保險策略，無論在理論上，還是在保險實務中，都有著非常重要的意義.本文對擴散風險模型，在邊界分紅策略下，研究使得紅利最大的投資和再保險策略，找到投資和再保險對紅利的影響，得到最大紅利和最優策略的顯示表達式.

2 模 型

為了使數學上更為嚴格，假設所有的隨機過程和隨機變量都定義在完備的概率空間Ω，F，P上，并且有一滿足通常條件的σ-流Ft，t≥0，即Ft右連續且P完備.本文允許連續交易，不考慮交易費用和稅收，且所有資產都是無窮可分的.

考慮下面的帶漂移的擴散風險模型，即保險公司的盈余為

經 濟 數 學第 27 卷

第1期林 祥等:擴散風險模型下再保險和投資對紅利的影響

R(t)=x+ct+βW1t，t≥0(1)

其中，x是保險公司的初始盈余，c>0是單位時間的保費率，擴散項β W(1)(t)代表累積理賠或保費收入中不確定的部分，W(1)(t)是一標準布朗運動.

假設現在考慮比例再保險，比例再保險的水平是1-a，這里0≤a≤1是保險公司的風險暴露，1-a為再保險公司的風險暴露.若保險公司的風險暴露固定，則在每次理賠時保險公司支付100a%，同時再保險公司支付剩余的1001-a%，因此，考慮比例再保險后，保險公司的盈余為

R(t，a)=x+act+aβW(1)(t)， t≥0(2)

此外，用A(t)表示t時刻投資于風險資產上的盈余數量，風險資產的價格S(t)服從幾何布朗運動，即

dS(t)=S(t)[μdt+σdW2t]， t≥0(3)

其中，μ和σ都是正常數，分別代表風險資產期望收益率和標準差，W(2)(t)是一標準布朗運動.并且假設W(1)(t)和W(2)(t)相互獨立.

在任何時間t，保險公司選擇比例再保險策略a(t)和投資策略A(t)，定義πt=at，At.一旦控制策略π#8226;選定，則t時刻保險公司的盈余R(t，π)可表示為

dRt，π=AtdStSt+dR(t，a)，

即

dR(t，π)=μAt+catdt+σA(t)dW2t+atβdW1t，(4)

R(0)=x(5)

如果πt=at，At關于Ft，t≥0是可料的，且at，At滿足下面的條件

(i) 0≤at≤1;

(ii) p∫T0A2tdt<

SymboleB@ =1，對于所有T<

SymboleB@ .

則稱控制策略πt是可行策略.所有的可行策略記為∏.

3Hamilton-Jacobi-Bellman 方程

下面考慮邊界分紅，假設保險公司支付紅利以一個常數b>0來控制.當盈余低于b時沒有紅利支付，當盈余高于b時，高出的部分全部作為紅利支付.對t≥0，設D(t)為到時刻t為止支付的總的紅利，則支付紅利后，在時刻t，保險公司的盈余R~t，π為

R~t，π=Rt，π-Dt(6)

破產時刻Tb定義為

Tb=inf t>0:R~t，π≤0(7)

設δ>0是紅利貼現率，Dπx，b為在初始盈余為x，控制策略為π時，到破產時刻Tb為止所有紅利現值，即

Dπx，b=∫Tb0e-δtdD(t)(8)

對x≥0，用Vπx，b表示Dπx，b的期望，即

Vπ(x，b)=E[Dπx，b|R~(0)=x](9)

投資和再保險的目的是使期望紅利最大，即找到最優的值函數

Vx，b=sup π∈∏Vπx，b(10)

以及最優的策略π*使得

Vπ*x，b=Vx，b(11)

由Flemming和Soner[12]或Schmidli[13]，容易得到下面的定理.

定理1假設Vx，b是定義在R+上二次連續可微函數，則Vx，b滿足下面的HJB方程

sup π∈∏12(β2a2+σ2A2)V″(x，b)+(ca+Aμ)V′(x，b)-δV(x，b)=0，0≤x≤b，(12)

Vx，b=x-b+Vb，b，x>b(13)

及邊界條件

V(0，b)=0，V(x，b)xx=b=1(14)

采用Flemming和Soner[12]或Schmidli[13]中的標準方法，容易得到下面的檢驗定理.

定理2 設Wx;b是定義在R+上遞增二次連續可微的凹函數，滿足邊界條件(14)且是HJB方程(12)和(13)的解，則值函數Vx;b和Wx;b是一致的，也就是說Wx;b=Vx;b.進一步，如果可行策略π=(a，A)滿足方程

12(β2a*2+σ2A*2)W″(x，b)+(ca*+A*μ)W′(x，b)-δW(x，b)=0，0≤x≤b，

(15)

Wx，b=x-b+Wb，b，x>b，

則π*是最優策略，即Wx，b=Vx，b=Vπ*x，b.

4最優再保險和投資策略

41 不考慮再保險和投資的風險模型

不考慮再保險，也不考慮投資，則分紅利后保險公司的盈余為

dR~t=cdt+βdW1t-dDt(16)

設V1x，b=EDx，bR~0=x，則由Gerber和Shiu[8]或在定理1中令A=0，a=1，可知V1x，b滿足方程

12β2V″1(x，b)+cV′1(x，b)-δV1(x，b)=0，0≤x≤b，(17)

V1x，b=x-b+V1b，b，x>b(18)

及邊界條件

V1(0，b)=0，V1(x，b)xx=b=1.(19)

易知方程(17)的解為

V1x;b=C1er1x+C2er2x

其中，r1=-c+c2+2β2δβ2，r2=-c-c2+2β2δβ2，因此由邊界條件(19)可得C1=-C2=1r1er1b-r2er2b.因此，有

定理3 對于盈余過程(16)，期望邊界紅利值函數V1x，b滿足

V1x;b=er1x-er2xr1er1b-r2er2b，0≤x≤b，

x-b+V1b;b，x>b(20)

其中，r1=-c+c2+2β2δβ2，r2=-c-c2+2β2δβ2.

42 僅考慮再保險的風險模型

不考慮投資，但允許保險公司通過再保險來減少風險，則分紅后保險公司的盈余為

dR~t，a=acdt+aβdW1t-dDt(21)

設V2x，b為比例再保險下的最大期望邊界紅利值函數，即

V2x;b=EDax，bR~0，a=0，

則由定理1知，V2x;b滿足下面的HJB方程

sup a∈[0，1]12β2a2V″2(x，b)+caV′2(x，b)-δV2(x，b)=0，0≤x≤b，(22)

V2x，b=x-b+V2b，b，x>b(23)

邊界條件

V2(0，b)=0，V2(x;b)xx=b=1(24)

由HJB方程(22)可知，a*=-cβ2V′2(x，b)V″2(x，b)，代入式(22)，求解方程，且由邊界條件(24)，可得值函數V2(x，b)=b1-ηηxη，其中η=δδ+c22β2.此時最優比例再保險策略為a*=2δc+cβ2x，而a*≤1，因此有

定理4 對于盈余過程(21)，設=2δc+cβ2x.若≤1，則最大期望邊界紅利值函數V2x，b滿足

V2x;b=b1-ηηxη，0≤x≤b，

x-b+V2b;b，x

其中，η=δδ+c22β2，此時，最優比例再保險策略為a*=2δc+cβ2x;若>1，則最大期望邊界紅利值函數為

V2x，b=V1x，b，

此時最優再保險比例為a*=1.

43 考慮比例再保險和投資的風險模型

考慮比例再保險，又考慮投資，則由定理1知最大期望邊界紅利值函數Vx，b滿足HJB方程(12)、(13)和邊界條件(14).因此由HJB方程(12)可得

a*=-cβ2#8226;V′(x，b)V″(x，b)，A*=-μσ2#8226;V′(x，b)V″(x，b)，(26)

把式(26)代入式(12)，化簡得

12c2β2+μ2σ2(V′x;b)2V′′x;b+δVx;b=0

則

Vx;b=Cxγ

其中，γ=δδ+12(c2β2+μ2σ2)，由邊界條件(14)得C=1γb1-γ.此時a*=cβ2#8226;x1-γ，A*=μσ2#8226;x1-γ.由于a*≤1，因此有

定理5 對于盈余過程(6)，假設x≤(1-γ)β2c，則最大期望邊界紅利值函數Vx;b滿足

Vx;b=1γb1-γxγ，0≤x≤b，x-b+Vb;b，x

其中，γ=δδ+12(c2β2+μ2σ2)，最優再保險策略a*=cβ2#8226;x1-γ，最優投資策略A*=μσ2#8226;x1-γ.

5數值結果

51投資和再保險對紅利的影響

假設δ=0.05，c=5，β=5，μ=0.1，σ=0.2和邊界紅利b=4，則由定理3，定理4和定理5，得到V1(x，b)，V2(x，b)和V(x，b)與初始盈余x之間的關系如圖1所示.

圖1 投資和再保險對期望紅利的影響

由圖1可以看出，V1x，4

52 市場價格μσ對紅利的影響

假設δ=0.05，c=5，β=5，x=3和邊界紅利b=4，則由定理5，得到Vx，b與風險的市場價格μσ之間的關系，如圖2所示.

從圖2可以看出，Vx，b是風險的市場價格μσ的增函數，這是因為μσ越大，投資風險資產能得到的收益越大，因而期望紅利也越大.

53 風險資產期望收益率μ和標準差σ對最優投資策略的影響

假設δ=0.05，c=5，β=5，x=3，σ=0.4，則由定理5，得到A*與風險資產期望收益率μ之間的關系如圖3所示.

圖3 風險資產的期望收益率對最優投資的影響

從圖3可以看出，A*是風險資產期望收益率μ的增函數.因為μ越大，投資于風險資產所能獲得收益越大，因此保險公司應投資更多的盈余于風險資產.

假設δ=0.05，c=5，β=5，x=3，μ=0.1，則由定理5，得到A*與風險資產的期望收益率的標準差σ之間的關系如圖4所示.

圖4 風險資產的期望收益率標準差對最優投資的影響

從圖4可以看出，A*是σ的減函數，由于σ是風險資產期望收益率的標準差，因此σ越大，風險資產的風險越大，所以保險公司應投資更少的盈余于風險資產.

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The Impacts of Reinsurance and Investment

on the Expected Discounted Dividendin

Diffusion Risk Model

LINXiang，YANGPeng

(School of Mathematics， Central South University， Changsha， Hunan 410075，China)

Abstract

We considered the impact of proportional reinsurance and investment on the expected dividend in the diffusion model. In the constant barrier strategy of dividend payment， the close form expressions for the maximal discounted expected dividend， optimal proportional reinsurance and investment strategy were derived. Finally， we investigated the effects of reinsurance and investment on the discounted expected dividend， and the relationships between the optimal investment strategy and various parameters.

Keywordsdiffusion risk mode;reinsurance;investment;barrier dividend;Hamilton-Jacobi-Bellman equation