雙參數Esscher變換及其應用

摘 要 :通過把Lévy過程分解為兩個獨立過程之和，將Esscher變換由單參數推廣到雙參數，并給出了雙參數Esscher變換測度為等價鞅測度的充要條件.

關鍵詞 Esscher變換;Lévy過程;期權定價;等價鞅測度

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中圖分類號 O211.6文獻標識碼:A

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1 引言

Black和Scholes[1]提出的經典的B-S模型和定價公式是數學金融學中最重要的成果之一.然而，大量的實證研究表明，實際金融市場

是不完全的.因此B-S模型不能很好地刻畫實際市場.為了更好地刻畫實際市場，人們提出了各種新的模型，幾何Lévy模型就是其中之一.由于幾何Lévy模型是不完全的，因此存在無窮多個等價鞅測度.眾所周知，不完全市場中的期權定價，首先要選擇一個特定的等價鞅測度作為定價測度.

Fllmer和Schweizer[2]建議把極小鞅測度(minimal martingale measure)作為定價測度; Schweizer[3]采用方差最優鞅測度

(variance-optimal martingale measure)作為定價測度; Frittelli[4]詳細討論了最小熵鞅測度(minimal entropy martingale

measure)的存在性; Platen和Rebolledo[5]給出了逆相對熵鞅測度(minimal reverse relative entropy martingale measure)的概念; Gerber和Shiu[6]首次將Esscher變換應用到期權定價中， 得到了Esscher鞅測度.

受Delbaen和Haezendonck[7]的啟發，本文通過把Lévy過程分解為兩個獨立過程之和，

將Esscher變換由單參數推廣到雙參數，并給出了雙參數Esscher變換測度為等價鞅測度的充要條件.

這樣，就更容易得到等價鞅測度，并且為研究某些等價鞅測度之間的關系提供了條件.

為進一步展開論述，先簡單回顧文獻[6]的單參數Esscher變換.設無風險利率r>0為常數，資產價格過程服從幾何Lévy過程S=eXt，其中Xt是定義在概率空間(Ω，F，F=(Ft)t∈[0，T]，P)上的Lévy過程.記Xt的累積量函數(cumulant function)為(u)，即

(u)=ln[EP(eiuX1)]

其中EP[#8226;]表示在概率P下的數學期望.按如下方式定義一簇概率測度Qh

dQhdP|Ft=ehXt-t(h)，

稱概率Qh為由參數h確定的Esscher變換測度.若存在某個h*，使得在概率Qh*下，資產價格的貼現過程t=e-rtSt是鞅，則稱Qh*為Esscher鞅測度.容易證明，h*必定滿足如下方程(參見Gerber和Shiu[6])

(h+1)=(h)+r.(1)

由于矩母函數是嚴格凸的，故若方程(1)有解，則其解是唯一的.

從上面可以看到， Gerber和Shiu[6]引入的Esscher變換只包含了一個自由參數，原因是將Lévy過程X看成整體來進行變換的，從而只能得到一簇(單參數)Esscher變換概率測度.注意到Esscher變換測度關于實際概率測度P的Radon-Nikodym導數是X的函數，而這個變換并不會影響到任何與X獨立的隨機過程.另外，按照Lévy-It 分解公式，任何Lévy過程都可以分解為連續的Brownian部分和純跳過程之和，并且這兩部分是獨立的.

因此，我們可以分別就這兩部分來進行Esscher變換，得到一簇(雙參數的)Esscher變換測度.

2 幾何Lévy模型

考慮如下市場模型:市場中有兩種資產，一種為無風險資產，其價格過程為Bt=exp(rt);另一種資產稱為股票，其價格過程為

經 濟 數 學第 27 卷第1期姚落根等:雙參數Esscher變換及其應用

St=S0eXt，0≤t≤T(2)

其中，S0>0是常數，X=(Xt)t∈[0，T]是一維Lévy過程，且具有特征三元組(α ，σ2，ν).假定

無風險利率(年利率)r>0是常數， 股票不分紅，St是定義在帶域流的概率空間(Ω，F，F=(Ft)t∈[0，T]，P)

上，且F滿足通常條件.

首先回顧關于Lévy過程的一些基本知識.Xt的特征函數有如下形式

EP[exp(iuXt)]=etη(u)

其中

最后一個式子說明了Xt在概率測度Q(a，b)下的特征三元組為式(6).證畢.

在這一簇概率測度(雙參數)Q(a，b)下，尋找適當的參數a，b，使得資產價格的貼現過程Ste-rt是Q(a，b)鞅.

定理3 設Xt在P下是具有特征三元組(α，σ2，ν)的Lévy過程，則Q(a，b)是等價鞅測度當且僅當a，b滿足如下條件

即有式(7)成立.證畢.

由于有兩個未知參數，而只有一個方程，方程(7)一般有無窮多個解，從而對應無窮多個等價鞅測度.特別地，若再加一個條件a=b，則得到的等價鞅測度實際上就是Gerber和Shiu[6]的Esscher鞅測度.

例1(均值修正鞅測度)在幾何Lévy過程模型中， 均值修正方法[8](mean correcting transform)是得到等價鞅測度的常用方法.其基本思想是修正Lévy過程的均值，使得在新概率測度下，資產價格的貼現過程是鞅.

具體來說，設股票價格的對數收益率Xt是具有特征三元組(α，σ2，υ)的Lévy過程， 對m∈R，

記 Yt=Xt-mt.選擇適當的參數m0，使得在某個與市場概率測度P等價的概率測度Qm0下，股票的貼現價格過程Ste-r t為Qm0鞅.相應的概率測度Qm0稱為均值修正鞅測度.容易證明m0只有唯一解

其中Wt是標準布朗運動; Nt是參數為λ的泊松過程，且與Wt獨立;

Yi~N(α，δ2)是獨立同分布的隨機變量序列并且與Wt， Nt都獨立，設f(x)代表隨機變量Yi的密度函數，定義測度ν

A∈B(R)，ν(A)=λf(A)，

則Xt是具有特征(μ，σ2，ν)的Lévy過程.在模型(8)下，取b*=0，則由式(4)和式(7)，可求得

(1)=a*=1σ2[r-μ-12σ2-λ(eα+12δ2-1)].

容易驗證， Q(a*，0)正是Merton采用的等價鞅測度.

4 結束語

本文將單參數的Esscher變換推廣到雙參數的Esscher變換，得到了無窮多個等價鞅測度.一般地，只需額外給定一個條件，就可確定一個相應的等價鞅測度.

需要注意的是，一般情況下，雙參數的Esscher鞅測度的全體只是全體等價鞅測度的一個真子集.實際上，可以做得更細致些.

因為一個Lévy過程可以分解為獨立的三個部分:Brownian部分，補償跳鞅部分，復合泊松過程，與前面討論類似，可以對這三個部分進行Esscher變換，從而可以得到三個參數的Esscher變換.

參考文獻

[1] BLACKlF， SCHOLESM. The pricing of options and corporate liabilities[J]. Journal of Political Economy: 1973， 81(3):637-659.

[2] FLLMERH， SCHWEIZERM. Hedging of contingent claims under incomplete information[C]// Davis，M.H.

Applied Stochastic Analysis， Gordon and Breach，1991: 389-414.

[3] SCHWEIZERM. Variance-optimal hedging in discrete time[J]. Mathematics of Operations Research， 1995， 20(1):1-32.

[4] FRITTELLIM. The minimal entropy martingale measure and the valuation problem in incomplete markets[J].Mathematical Finance， 2000， 10(1):39-52.

[5] PLATENE， REBOLLEDOR. Principles for modelling financial markets[J]. Journal of Applied Probability， 1996， 33(3):601-613.

[6] GERBERHU， SHIUE S W.Option pricing by Esscher transform[J]. Transactions of the Society of Actuaries， 1994， 46: 99-140.



[7] DELBAEN F， HAEZENDONCK J. A martingale approach to premium calculation principles in an arbitrage free market[J].

Insurance: Mathematics and Economics， 1989， 8(4)， 269-277.

[8] SCHOUTENS W.Lúvy process in finance: pricing financial derivatives[M]. New York:John Wiley and Sons，2003.



[9] MERTONR. Option pricing when underlying stock returns are discontinuous[J].Journal of Financial Economics， 1976， 3(1/2):125-144.

Two-parameters EsscherTransform 

and Its Application

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YAO Luo-gen1，2，YANG Gang1，YANG Xiang-qun2

(1. Information Department of Hunan Business College，Changsha，Hunan 410205，China;

2.College of Mathematics and Computer Science， Hunan Normal University，Changsha，Hunan 410081，China)

AbstractThis paper extended Esscher transform to two-parameters by decomposing Lévy processes as the sum of two independent processes， and gave a necessary and sufficient condition for two-parameters Esscher transform measures to be equivalent martingale measures.

KeywordsEsscher transform; Lévy processes;option pricing; equivalent martingale measure