模糊數在股本權證定價中的應用

摘 要 :采用Ukhov權證定價模型求解權證價值的過程中，需要求解一個非線性方程組.但是采用數值法得到的最優解與精確解往往有一定偏差.針對這個情況，本文采用模糊數刻畫非線性方程組的解，得到不確定形式的股本權證定價模型，并給出一定可信度下權證的模糊價格區間.同時也給出了給定任意一個權證價格求其對應的可信度的優化算法.數值算例驗證了該文方法的有效性.

關鍵詞 股本權證;權證定價;模糊數;模糊價格

中圖分類號 F830.59文獻標識碼:A



1 引 言

權證是一種允許持有人有權利但無義務以約定的價格和時間購買或出售約定數量標的資產的有價證券.股權分置改革后，權證產品在我國證券市場異軍突起，從而如何確定權證的合理價值也就成了證券發行商以及投資者首當其沖的問題.股本權證是由上市公司發行，行權時公司發行新股會產生攤薄效應，導致每股的真實價值下降，從而影響行權后的實際收益，故其定價不能完全套用Black-Scholes[1] (B-S)公式.Galai和Schneller[2]以及Lauterbach和Schultz [3]在B-S期權定價公式的基礎上，針對認股權證行權后產生的“稀釋效應”做了相應的調整，進一步完善了股本權證定價理論.Leonard和Solt [4]采用實證的方法驗證了“稀釋效應”的存在.近年來，Zhang，Xiao和He [5]考慮了分數布朗運動下股本權證定價問題.由于Lauterbach-Schultz權證定價模型中要用到公司價值的波動率，而這個量不能從金融市場數據中直接獲得，這就成了應用該定價公式的主要障礙.后來大量學者試圖尋找一種可觀測量來代替公司價值波動率，Schulz和Trautmann [6]以及Ukhov [7]提出了一種用公司股票價格波動率求得公司價值波動率的算法，且用實際的數據驗證了模型的可靠性.

以上研究是從概率統計方面討論了權證定價問題的隨機不確定性，然而這些隨機模型實際應用起來相當復雜.而Ukhov [7] 提出的定價模型雖然簡單，但得到權證的價值需要求解一個非線性方程組，由于數值軟件的局限性，使得所得的數值解與精確解之間存在著差異.同時，許多金融投資者比較關心權證價格的定價區間，即權證價格的波動范圍.由此，急需一種簡單而又能反映權證不確定性的定價模型來滿足投資者需求.Zadeh等[8] 提出模糊集理論可以作為這類不精確問題建模的有用工具.繼而大量學者采用模糊集理論研究了期權定價問題.Wu[9-11]在模糊環境下研究了歐式期權的定價問題，并根據金融投資者能夠承受的可信度(可以通過優化算法獲得)，選取不小于該可信度值進行決策時所使用的期權價格.Thiagarajah、Appadoo和Thavaneswaran [12]用 Bodjanova [13]提出的非線性模糊數來刻畫歐式期權的定價參數，得到了模糊形式B-S公式.

由于任何一個模糊數都可以用一個梯形模糊數逼近[14]，本文采用梯形模糊數來刻畫非線性方程組的解，從而得到了合理的權證價格區間.另一方面，本文也給出了給定任意一個權證價格求其對應的可信度的優化算法.21 模糊數學理論

定義1(隸屬函數) 設X表示一個論域，X到[0，1]區間的任一映射μA~記為:μA~:X→[0，1].則該映射確定X的一個模糊集A~，μA~叫A~的隸屬函數.

由上面的定義可知，模糊子集A~完全由其隸屬函數所刻畫.接下來給出模糊集理論的一些術語.

定義2 (α水平截集)給定模糊集A~，對任意α∈[0，1]，稱普通集合A~α=xx∈U，μA~(x)≥α為A~的α水平截集.

定義3 (模糊數)設A~是R上的模糊子集，μA~是它的隸屬函數，若對任意λ∈0，sup μA~x，有A~α=xμA~(x)≥α是一個閉區間，則稱A~是一個模糊數.

由定義2和定義3可以看出，A~是為模糊數時，A~α必為A~的α水平截集.又由模糊數定義知模糊數A~的α水平集是一個緊的(封閉且在R上有界)凸集.故A~的α水平集可以表示為A~α=Lα，Uα.其中，Lα和Uα分別表示α水平集A~α的上下界.很明顯，如果A~是一個非負的模糊數，那么對于所有的α∈[0，1]，Lα和Uα都是非負的實數.為了進一步的討論，引入下面引理.

引理1[10] (分解特性)設A~是論域上的一個模糊集，其隸屬函數可以分解為

μA~x=sup α∈[0，1]α#8226;1A~α(x)(3)

其中，1A~α(x)是A~α的示性函數.

下面引入任意兩個模糊區間的二元運算法則.用⊙表示兩個區間a，b和c，d之間的二元運算，，或○/，則有運算規律:

定義4 (模糊區間的算術運算)設a，b和c，d為兩個模糊區間，⊙∈，，，○/，且當⊙為○/時，c，d為無零區間數，則a，b⊙c，d也是區間數，且a，b⊙c，d=e，f，其中，e=min a⊙c，a⊙d，b⊙c，b⊙d和f=max a⊙c，a⊙d，b⊙c，b⊙d

引理2[10] 設f(x)是一個實值函數，A~是關于R的一個模糊子集.通過模糊擴展原理，函數f(x)可以導出一個模糊值函數f~:F→F.如果A~的隸屬函數μA~x是上半連續的，且對于所有的r，集合xr=f(x)是一個緊集(R上的有界閉集)，那么f~(A~)的α水平集可以表示為f~(A~)α=f(x)，x∈A~α.

由于任何一個模糊數都可以用梯形模糊數來逼近，且它們容易進行運算處理且具有較直觀的解釋能力，故本文采用梯形模糊數來刻畫定價模型的隨機參數.

定義5 (梯形模糊數) 梯形模糊數A~的隸屬函數定義為:

μA~(x)=(x-a1)/(a2-a1)，x∈a1，a2)，

1，x∈a2，a3)，

(a4-c)/(a4-a3)，x∈a3，a4)，

0，x∈其他 (1)

從而，模糊數A~=[a1，a2，a3，a4]的α-水平截集可以表示為:

Aα=[A-α，A+α]=[(1-α)a1+αa2，(1-α)a4+αa3](2)

22股本權證定價模型簡介

權證發行前，發行商需要給權證制定一個合理的理論價格以供市場參考，然而權證的標的資產是公司權益價值，使得定價權證的參數無法直接觀察到.Ukhov [7]提出了一種利用可觀察量求權證價值的算法，該算法通過一個非線性方程組求得公司價值和公司價值的波動率，繼而在考慮“稀釋效應”的條件下調整定價模型的參數求得股本權證的價值. Ukhov [7]提出的非線性方程組是:

SN=V-MN+kMCkV，τ，NX，σV，r，

σV=σSSNN+MkVN+kM-kMN(d1)(3)

其中:C#8226;表示根據B-S公式計算的歐式看漲期權的價值.

根據式(2)求得V和σV后，將它們帶入W=V-SNM中即得權證的理論價值.同時Ukhov[7]證明了式(2)有解.

23 模糊環境下權證的價格區間

在模糊環境下，假設由非線性方程組(3)求得的公司權益價值及其波動率均為模糊數，即模糊權益價值V~和模糊權益波動率.此時，t時刻的權證價值也是一個模糊數t.即

t=1~{k}(1)

e-1~{r}1~{τ}1~{N}1~{X}(2)○/(1~{N}1~{k}1~{M})

這里1=[ln ((1~{k})○/(1~{N}1~{X}))+(1~{r}(VV○/1~{2}〗))1~{τ}]○/(V1~{τ})

2=1○/(V1~{τ})

由于權證定價模型的有效期限、行權價格、行權比例、短期利率、公司流通股數以及公司發行的權證數都是可以事先確定的非模糊數，因此在模糊環境下，只需考慮模糊公司權益價值及其波動率.此時，t時刻權證的價格也變成一個模糊數W~t.同時根據分解特性定理知該模糊數的α水平集可以表示閉區間形式.

定理1 到期日為T，執行價格為K，無風險利率為r，流通股票數為N，流通權證數為M，行權比例為k，且模糊公司權益價值為V~=V1，V2，V3，V4，模糊權益波動率為σ~V=σ1V，σ2V，σ3V，σ4V的權證t時刻的價值可以表示為

證明 根據權證的定價模型和關于模糊區間的算術運算的定義4立即得到.

定理2若W~tα是t時刻權證模糊價格W~t的α水平截集，則該α水平截集的上下界可以表示為:

其中，

證明 根據引理1關于隸屬函數的分解特性定理，知W~tα的隸屬函數可以寫成

μC~tc=sup α∈[0，1]α1(C~t)α(c)

其中，W~tα是t時刻外匯期權模糊價格W~t的α水平截集.根據定義2和定義3，知外匯期權模糊價格的α水平截集是一個閉區間，上下界可以表示為W~tα=W~tLα，W~tUα.

根據定義4、函數的單調性以及引理2，定理顯然成立.

24 模糊環境下價格的置信度

給定一個權證價格參考價格w，我們希望得到w屬于W~t的置信度α.該置信度α可以用來度量w與Wt的距離大小，α越大則w與Wt的距離越小.若投資者能夠接受該可信度，則把w看作t時刻的權證價格對其來說是可以接受的.這樣投資者便可以根據他們對置信度α的要求來確定在t時刻，c是否可以被接受作為權證的價格.

權證在t時刻的模糊價格W~t的隸屬函數由式(2)確定.因此，給定任何一個可轉債的價格w，都可以通過求解下面的最優化問題來得到它所對應的置信度(參見Wu[9]):

MP1 max α

subjectto W~tLα≤w≤W~tUα，0≤α≤1

求該最優化問題的意義就在于:找到一個包含w的最小區間，根據模糊數的性質可以知道這與求解max α是等價的.

由于g(α)=W~tLα是α的一個單調遞增函數，h(α)=W~tUα是α的一個單調遞減函數，故上面的最優化問題(MP1)可以簡化成:

(MP2) max α

subjectto g(α)≤w，

h(α)≥w，

0≤α≤1

又因為g(α)=W~tLα≤w≤W~tUα=h(α)，對于兩個約束條件考慮以下幾種情況:

(ⅰ)若g(1)≤w≤h(1)，則μW~tw=1;

(ⅱ)若w≤g(1)，則約束條件h(α)≥w是多余的.這是由于α∈0，1，h(α)是α的減函數，并且h(α)≥h(1)≥g(1)≥w.故最優化問題可以放松為:

(MP3) max α

 subjectto  g(α)≤w，0≤α≤1

(ⅲ)若w≥h(1)，則約束條件g(α)≤w是多余的.這是由于α∈0，1，g(α)是α的增函數，并且g(α)≤g(1)≤h(1)≤w.故最優化問題可以放松為

(MP4)max α

 subjectto  h(α)≥w，0≤α≤1

由于g(α)是連續遞增的，問題(MP3)可以按下面算法求解(二分法搜索):

Step 1:設ε是容許偏差，α0為α的初始值.令α←α0，low←0，up←1.

Step 2:搜索g(α)=W~tLα.若g(α)≤w，則轉到Step3，否則轉到Step4.

Step 3:如果w-g(α)≤ε，則所求最優解為α;

否則，令low←α，α←(low+up)/2，并轉到Step2.

Step4:令up←α，α←(low+up)/2，并轉到Step2.

對于優化問題(MP4)，則只需考慮等價的約束條件-h(α)≤-w，同時因為-h(α)也是α連續單調遞增的，故上述算法對于求解最優化問題(MP4)同樣有效.

3 數值算例

為了評價定價模型的性能，本文采用Ukhov [7]的數值例子進行算例分析.假設一個具有100份流通股票公司，發行執行價格為100的認股權證50份，存續期為三年，行權比例為1∶1，無風險利率取0.048 8，股票現價為100且波動率為25%.采用B-S定價模型得到權證的價格為23.05，而采用Ukhov定價模型得到權證的價格為23.32.進一步根據Ukhov[7]提出的算法，求解非線性方程組得(11166，29.68%)，由于求解的不精確性，選取公司權益價值及公司權益價值波動率的模糊數為V=11 158，11 162，11 166，11 170與σV=29.28%，29.48%，29.68%，29.88%得到相應的模糊價格區間如表1所示.例如對于置信度α=0.9，表示權證的價格將會以95%的置信水平落在區間[23.049 9， 23.664 0]內.換而言之，若投資者滿意于0.9的置信度，則他們可以從區間[23.0499， 23.6640]內選取任何一個價格作為下一步權證投資的參考價.同時可以發現不論是采用B-S定價模型還是采用Ukhov定價模型，所得權證的價格都落在置信度為0.9的區間內，這進一步表明了模糊價格區間的準確性.4結 論

由于求解非線性方程組所存在的誤差，使得所求的最優解是不精確的.理論研究中，眾多學者采用隨機模型來刻畫這種隨機不確定性.而處理這些隨機模型的現代化方法可分為概率論方法(主要從隨機過程方面考慮)和模糊集方法.本文通過引入模糊集理論，將非線性方程組的解表示為梯形模糊數，并根據模糊權證的定價模型得到了權證價格的模糊區間，進一步采用優化算法，求出了給定任意權證價格所對應的可信度.為了評價模型的性能，本文給出了具體數值例子.數值算例的結果表明了模糊技術是對不精確金融變量進行建模的一個有用工具.

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Application of Fuzzy Numbers to the

Equity Warrants Valuation Model



SUN Lin

(Faculty of Applied Mathematics， Guangdong University of Technology， Guangzhou， Guangdong 51009，China)

Abstract

Solving nonlinear equations is needed when one uses Ukhov warrant valuation model to obtain the price of warrant. However， there exists obvious deviation between exact solution and optimal solution by using numerical method. In view of this situation， this paper used fuzzy numbers to describe the solution of the nonlinear equations， obtained the uncertain version of the equity warrant pricing model and presented the fuzzy price interval of equity warrant with an acceptable belief degree. The optimization algorithm， which can obtain the corresponding belief degree with any given warrant price， was also presented. Some numerical examples were given toillustrate the efficiency of this method.

Keywords equity warrants; warrants pricing; fuzzy numbers; fuzzy price