直接再入大氣的月球返回軌道設計研究

張 磊于登云張 熇

(1 北京空間飛行器總體設計部,北京 100094) (2 中國航天科技集團公司,北京 100048)

1 引言

月球采樣返回是月球探測任務中的重要內容之一[1],俄羅斯和美國都已完成了若干次采樣返回任務。在這些任務中,探測器都是由月-地轉移軌道直接再入大氣。作為一種已被任務驗證且被普遍采用的飛行方案,直接再入大氣的月球返回軌道對我國即將開展的月球采樣返回任務具有一定的參考價值。

直接再入大氣的月球返回軌道,以再入大氣點為界面分為月-地轉移軌道和再入大氣軌跡兩部分。本文采用兩級修正策略使月-地轉移軌道滿足再入大氣界面約束(再入點地心距、慣性再入角、傾角),進而通過再入大氣仿真及落點匹配,使落點地理位置滿足約束要求。此外,本文還對用于月球返回軌道設計的軌道動力學模型進行了攝動項影響分析。

2 數學模型

2.1 軌道動力學模型

在地心赤道慣性坐標下,月-地轉移軌道設計中的軌道動力學模型可由下式表示

式(1)中, μe為地球引力常數, rep為探測器在地心赤道慣性系下的位置矢量, aN為N 體引力攝動加速度, aNSE為地球非球形攝動加速度, aNSM為月球非球形攝動加速度, aD為大氣阻力攝動加速度, aR為太陽光壓攝動加速度。若完全考慮所有攝動項,則會造成軌道計算效率降低,因此,需要通過攝動項影響分析,得到兼顧計算精度和計算效率的軌道動力學模型。表1 所示為各攝動項被忽略時造成的再入點偏差。

表1 忽略某一攝動項時對月-地轉移軌道影響的再入點偏差Table 1 Reentry point deviations resulting from neglecting a certain perturbation terms

可以看出:太陽引力攝動對月-地轉移軌道的影響最大,也最為嚴重,以至于探測器不能進入大氣;其次是月球非球形攝動的影響,其對到達再入點時刻、再入點位置、慣性再入角造成一定的偏差;地球非球形攝動的影響、太陽光壓攝動、大氣阻力攝動對月-地轉移軌道的影響非常微小。本文采用如下軌道動力學模型,該模型考慮日、月引力攝動,忽略其它攝動項。式(2)中, rmp表示探測器相對月球的位置矢量,rsp表示探測器相對太陽的位置矢量,月球、太陽相對地球的位置矢量rem 、res 由NASA 噴氣推進實驗室(JPL)DE405 星歷得到, rmp=rep-rem,rsp=rep-res。盡管采用該模型計算的月地轉移軌道存在偏差(主要由月球非球形攝動引起),但還應考慮到采用該模型計算的月-地轉移軌道初始狀態與采用式(1)模型計算所得的差異非常小,如表2 所示。

表2 不同模型置入參數的偏差Table 2 Insertion point parameters deviations of different models

可見,升交點赤經Ωm、近月點幅角ωm的偏差均遠小于0.1°,置入速度vpm偏差遠小于0.1m/s,這樣的偏差小于發動機執行誤差甚至導航誤差,從工程設計的角度看,采用式(2)模型進行標稱月-地軌道設計即可,而不必采用更為復雜的軌道動力學模型。

2.2 再入飛行動力學模型

在球形旋轉地球、無風條件下,建立無量綱化的再入飛行動力學方程[2-3]。考慮彈道式和彈道-升力式兩種再入方式。彈道式再入,動力學方程中不包含氣動升力項。彈道-升力式再入,僅考慮其縱向運動過程,動力學方程中不包含sinσ項, σ為速度傾側角。

彈道-升力式再入通過σ調整其縱向航程, σ由再入制導律給出[4]。這里對問題進行簡化,考慮再入地心航程角為一給定值,可由此確定一個常值σ。為此,引入下面的方程

式中, sgo為需要完成的地心航程角, τ為時間變量,Vks為航跡速度, γ為航跡傾斜角,是航跡速度矢量與當地水平面間的角度,偏向上方時為正, rs為地心距。由于sgo(0)為給定值,因此, sgo(τf)是σ的函數,記作

采用割線法求解滿足sgof(σ)=0 的速度傾側角,如式(5)所示

3 初值修正策略

月-地轉移軌道初步設計是在雙二體模型下進行的,由初步設計得到的設計變量初值,直接用于上述軌道力學模型進行軌道傳播會產生較大的偏差,因此,必須對設計初值進行修正,這也是標稱月-地轉移軌道設計的基礎。初值修正是一個正向參數搜索的過程,對初值進行傳播得到終端狀態,計算終端偏差并根據該偏差改正初值,重復該過程使終端偏差最小。可用于初值修正的數值方法和非數值方法很多,本文采用在轉移軌道設計常用的微分校正法[5-8]。

初值修正的設計變量p 選為:轉移軌道置入速度vpm、升交點赤經Ωm、近月點幅角ωm;目標變量q選為再入界面終端參數:再入點地心距ren、慣性再入角γen、傾角ie。在初值修正中,若直接采用終端參數作為目標變量,迭代過程的收斂性不易保證。為此,本文引入橢圓軌道B 平面參數,并提出初值的兩級修正策略。

對月-地轉移軌道,考慮節省燃耗,地心段軌道通常是橢圓軌道,因此,雙曲線軌道B 平面參數[9-10]在這里就不再適用,但可以參考其定義引入橢圓軌道B 平面參數[8]。橢圓軌道B 平面參數Bp記為

式(6)中, BT、BR為B 矢量的兩個標量, b =TF P 為探測器從月-地轉移軌道置入點至近地點的飛行時間。B 平面參數與軌道根數間的關系由下式表示

式(7)、(8)中, ie為橢圓軌道傾角, ωe為橢圓軌道近地點幅角。

初值的兩級修正策略為:

1)第一級采用B 平面參數作為目標變量,積分終止條件為近地點,可適當放寬迭代終止條件;

2)第二級使用第一級修正所得的設計參數作為迭代初值,并采用終端參數作為目標變量,積分終止條件為飛行時間。

4 結合再入仿真的落點匹配方法

前文敘述了通過兩級修正獲得標稱軌道初始狀態,該初始狀態可以保證月-地轉移軌道滿足轉移時間、再入高度、再入角、傾角這些約束條件,但不能保證落點地理位置滿足要求,因此,還需要進行落點匹配。大致過程如下:

1)對設計初值p0進行兩級修正,第一級修正的結果為, 第二級修正的結果為;

3)由ren、ven生成再入動力學方程狀態變量初值x0, 積分再入動力學方程,得到落點地理位置λu、φu和地心航程角θnu;

4)比較φu與要求的落點緯度, 判斷是否滿足要求,若不滿足,則調整傾角ie , 更新橢圓軌道B平面參數qB和終端參數qE, 將第二級修正的結果作為設計初值p0, 返回步驟1),若滿足,則進行下一步;

5)比較λu與要求的落點緯度, 判斷是否滿足要求,若不滿足,則調整置入時刻ti, 將第二級修正的結果作為設計初值p0, 返回步驟1),若滿足,則輸出設計結果。

圖1 所示為結合落點仿真的標稱月地轉移軌道設計流程。

4.1 落點緯度匹配

調整軌道傾角ie的目標是為了使落點緯度φu滿足約束要求, 由再入點狀態ren、ven可以生成一組瞬時軌道根數ae、ee、ie、Ωe、ωe, 結 合由再入仿真得到的地心航程角θ, 可方便的計算落點位置單位矢量

式 中, 坐 標 轉 換 矩 陣 Toei= RZ(ωe+ fen+θnu)RX(ie)RZ(Ωe), fen為再入點真近點角。則落點緯度由下式計算

因此,可以將落點緯度φu看作傾角ie的函數

保持ae、ee、Ωe、ωe不變,通過調整傾角ie, 可使落點緯度滿足要求,本文采用New ton-Raphson 迭代法

圖1 標稱月地轉移軌道設計流程圖Fig.1 Flow chart of nominal moon-to-earth transfer orbit design

4.2 落點經度匹配

流程圖的外層是通過調整月-地轉移軌道置入時刻進行落點經度匹配,如下式所示

經度匹配實質上是對升級點赤經的調整,從式(7)、(8)可以看出,B 平面參數與升交點赤經無關,因此,經度匹配對置入時刻的調整,并不會影響用于緯度匹配的B 平面參數。

4.3 橢圓軌道B 平面參數的調整

相應的橢圓軌道B 平面參數按以下步驟更新,由再入點狀態ren、ven計算B 平面參數qB

式(17)、(18)中, ωe是由ren、ven計算的瞬時近地點幅角。

B 矢量的模b 可由下式計算

由月-地轉移軌道特性可知,月-地轉移軌道近地點地心距rp與慣性再入角余弦在一定范圍呈線性關系,如式(20)所示,且與其它因素幾乎無關。

因此,在慣性再入角確定的條件下,近地點地心距rp可認為是確定的。由于對軌道傾角ie的調整非常微小,所以由ren、ven確定的一組瞬時軌道根數,除ie外,其它都認為是不變的,這樣在計算新B 平面參數時, b、ωe保持不變,只需將新計算的軌道傾角i*e帶入即可,而過近地點的飛行時間TP F 也保持不變。這樣調整后的B 平面參數與新的終端參數具有很好的對應性,表現為第一級修正后的初值用于第二級修正時,迭代2、3 次即可以預定精度收斂,而不調整B 平面參數或直接以終端參數作為目標變量時,往往收斂速度慢,甚至不能以預定精度收斂。

5 算例

設置約束條件如下

1)月-地轉移軌道置入日期:2017年10月;

2)月球端約束:環月停泊軌道高度100km,環月停泊軌道傾角40°;

3)地球端約束:再入點地心距6 500km;

4)地-月轉移軌道飛行時間:72h;

5)落點地理位置:東經112°、北緯42°。

考慮彈道式再入和彈道升力再入兩種地球大氣再入方式,參數如下

1)彈道式再入:降段再入,軌道傾角60°左右,再入角-12°;

2)彈道-升力式再入:升段再入,軌道傾角43°左右,再入角-6°,按地心航程角70°計算常值σ。

探測器參數

1)彈道式再入:彈道系數BC=60;

2)彈道-升力式再入:質量m=2 800kg,迎風面面積S =5m2,升力系數CL=0.443,阻力系數CD=1.11。

采用月-地轉移軌道初步設計結果作為設計初值。如表3 所示。軌道動力學模型采用地-月-日-器限制性地體模型,不考慮其它攝動項。月球、太陽位置采用JPL 的DE405 星歷計算得到,軌道積分及再入仿真均采用RKF7(8)積分器,計算結果如表4、表5 所示。月地返回軌道的星下點軌跡如圖2、圖3 所示,再入軌跡如圖4、圖5 所示。

表3月-地轉移軌道設計初值Table 3 Preliminary design results of moon-to-earth transfer orbits

表4 標稱月-地轉移軌道軌道設計結果Table 4 Design results of nominal moon-to-earth transfer orbits

表5 再入初始狀態Table 5 Initial state parameters of atmospheric reentry

圖2 彈道式再入的月球返回軌道星下點軌跡Fig.2 Subsatellite point track of moon-return orbit with ballistic reentry

圖3 彈道-升力式再入的月球返回軌道星下點軌跡Fig.3 Subsatellite point track of moon-return orbit with ballistic-lift reentry

圖4 彈道式再入彈道Fig.4 Trajectory of ballistic reentry

圖5 彈道-升力式再入彈道Fig.5 Trajectory of ballistic-lift reentry

6 結論

直接大氣再入的月球返回軌道,要求月-地轉移軌道滿足大氣再入界面約束,并使探測器到達預定落點,本文將月-地轉移軌道設計同大氣再入仿真相結合,根據落點偏差調整月-地轉移軌道設計參數,使得月球返回軌道滿足要求。兩組分別采用彈道式再入和彈道-升力式再入方式的月球返回軌道算例表明,該方法是有效的。

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