一類時滯區間神經網絡的全局魯棒指數周期性

王 暉

(萊蕪職業技術學院,山東萊蕪 271100)

0 引 言

目前,時滯神經網絡已經被廣泛應用于聯想記憶、最優化計算及信息處理等領域中.在這些應用中,平衡點的性質發揮著重要作用.例如,在聯想記憶神經網絡中,平衡點代表儲存的模式,其穩定性意味著儲存模式在有噪聲的情況下能夠被恢復[1].基于此,對平衡點性態的研究一直吸引著廣大學者的興趣.眾所周知,平衡點可看作是一種特殊的周期解(任意周期的)[2],對時滯神經網絡周期解的研究比對其平衡點的研究更具一般性.然而,在時滯神經網絡的大規模集成電路實現過程中,參數的波動是不可避免的.這種情況下,神經網絡應該被描述為一個時滯區間神經網絡[3-6].因此,對時滯區間神經網絡動力行為的研究更具重要意義.本文在不要求激活函數有界、可微和單調的條件下,利用不等式分析技巧和Lyapunov泛函方法討論了一類時滯區間神經網絡的全局魯棒指數穩定性和周期性,給出了實用有效的判據,推廣了有關文獻中的結果.

1 預備知識

本文考慮時滯區間神經網絡系統模型,

式中,n是網絡中神經元的個數,xi(t)是第i個神經元在 t時刻的狀態,fj和gj是激活函數,c=diag(ci＞0)、A=(aij)n×n及B=(bij)n×n分別是反饋矩陣和時滯反饋矩陣,τij是信號傳輸時滯,滿足0≤τij≤τ,Ii(t)∶R→R,i=1,2,…,n,都是連續ω周期函數,即,Ii(t+ω)=Ii(t),?i(t),i=1,2,…,n,是[-τ,0]上的連續函數.

顯然,系統(1)的特殊情形為,

式中,I=(I1,I2,…,In)T為外部常值輸入向量.

本文要用到如下假定:

式中,Kj,Lj＞0,?s,t∈R,j=1,2,…,n.

(H2)存在常數ζkj,ηkj∈R,qk＞0,γi＞0,i,j =1,2,…,n,k=1,2,…,m,使得,

(H3)存在常數γi＞0,i=1,2,…,n,使得,

式中,a＊ij=max(|a—ij|,|a—ij|),b＊ij=max(|b—ij|, |b—ij|),i,j=1,2,…,n.

定義1 滿足條件(2)的系統(3)稱為全局魯棒指數穩定的,如果 ?c∈cI,A∈AI,B∈BI,系統(3)的唯一平衡點,x＊= (x＊1,x＊2,…,x＊n)T,是全局指數穩定的,即對系統(3)的任意解x(t),存在常數α≥1,β≥0,使得,

定義2 滿足條件(2)的系統(1)稱為全局魯棒指數周期的,如果 ?c∈cI,A∈AI,B∈BI,系統(1)有唯一的周期解,且當t→+∞時,系統(1)的其他所有解都指數地收斂于該周期解.

引理[7]?a≥0,bk≥0,k=1,2,…,m,有下面不等式成立,

式中,qk＞0(k=1,2,…,m)是常數,且,

2 主要結果

定理 若條件(H1)和(H2)成立,則系統(1)是全局魯棒指數周期的.

證明 ??,φ∈C,令,x(t,?)=(x1(t,?),…,xn(t,?))T,x(t,φ) = (x1(t,φ),…,xn(t,φ))T分別表示系統(1)滿足初始條件(0,?)和(0,φ)的解.定義 xt(?)=x(t+θ,?),θ∈[-τ,0],t≥0,則,xt(?)∈C,t≥0.由式(1)可得,

由條件(H2),可選取充分小的ε＞0,使得,

由式(4)和引理有,

考慮Lyapunov泛函,

沿用系統(1)的解計算V(t)的變化率,并利用式(5)和式(6),有,

從而,

從式(7),可以得到,

由此容易得出,

式中,常數

由式(8)可知,

故可以選取正整數m,使得,

定義一個 Poincaré映射 P:C → C,P? = xω(?),則由式(9)得到,

這說明,Pm是一個壓縮映射,從而存在唯一的不動點 ?＊∈C,使得 Pm?＊= ?＊.又,Pm(P?＊) = P(Pm?＊) = P?＊,可知,P?＊= ?＊,即, xω(?＊)= ?＊.設 x(t,?＊)為系統(1)通過(0, ?＊)的解,則由已知條件可知,x(t+ω,?＊),也是系統(1)的解,且對于 t≥0,有,xt+ω(?＊)= xt(xω(?＊))= xt(?＊).因此,對于 t≥0,有,

故,x(t,?＊)是系統(1)的唯一的ω周期解,且由式(9)可知,當t→+∞時,系統(1)的其他所有解均指數地收斂于這個周期解.

推論1 若條件(H1)和(H2)成立,則系統(3)是全局魯棒指數穩定的.

推論2 若條件(H1)和(H3)成立,則系統(1)是全局魯棒指數周期的.

證明 (H3)是(H2)當取ζkj=ηkj=0,ζm+1,j= ηm+1,j=1,k=1,2,…,m,j=1,2,…,n時的特殊情況.

推論3 若條件(H1)和(H3)成立,則系統(3)是全局魯棒指數穩定的.

注1 從定理的證明過程可以看出,定理對于r =1,時也成立.此時,條件(H2)和(H3)變為,

注2 顯然,本文結果也包含了文獻[6]的主要結論.

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[2]王儉勤,宋乾坤.具有時滯的回歸神經網絡全局指數魯棒穩定性的一個新判據[J].西華師范大學學報(自然科學版),2007,28(1):33-39.

[3]陶 霓,王林山.一類時滯靜態遞歸神經網絡的全局魯棒穩定性[J].山東大學學報(理學版),2008,58(3):40-42, 47.

[4]劉振偉,張化光,張慶靈.基于劃分時滯區間的一類Cohen-Grossberg神經網絡的魯棒穩定性[J].控制與決策, 2009,24(3):342-346.

[5]趙丹丹,王林山.變時滯區間細胞神經網絡的全局魯棒穩定性[J].生物數學學報,2006,21(4):557-563.

[6]那 靖,任雪梅,黃 鴻.基于神經網絡補償的非線性時滯系統時滯正反饋控制(英文)[J].自動化學報,2008,77 (9):1196-1202.

[7]Hardy G H,Littlewood J E,Polya G.Inequalities[M].London: Cambridge University Press,1952.

[8]廖曉昕.穩定性的理論,方法和應用[M].武漢:華中理工大學出版社,1999.

[9]宋乾坤.具有時滯的細胞神經網絡模型的全局指數穩定性[J].生物數學學報,2003,18(4):433-438.