Banach空間中一類(lèi)廣義擾動(dòng)優(yōu)化問(wèn)題最優(yōu)解的存在性*

何金蘇

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

0 引 言

設(shè)X是維數(shù)至少為2的實(shí)Banach空間,X*表示X的共軛,A為X的非空閉子集,intA,?A分別表示有界集A的內(nèi)部和邊界,B(x,r)表示X的以x為中心r為半徑的閉球,特別令B=B(0,1).

設(shè)C是X的閉有界凸子集,且0∈intC,顯然C是X的吸收集但不一定對(duì)稱(chēng).定義

pC(x)=inf{α>0:x∈αC},?x∈X.

稱(chēng)pC(x)為集合C上的Minkowski泛函.

設(shè)G是X的非空閉子集,J:G→R是下半連續(xù)下有界函數(shù).對(duì)?x∈X,考慮廣義擾動(dòng)優(yōu)化問(wèn)題

(1)

顯然,當(dāng)C=B時(shí),pC(5)是范數(shù)‖5‖,(JC,x)-inf問(wèn)題即為文獻(xiàn)[1]中的擾動(dòng)優(yōu)化問(wèn)題.擾動(dòng)優(yōu)化問(wèn)題最先由Baranger在文獻(xiàn)[2]中提出,由于該類(lèi)擾動(dòng)優(yōu)化問(wèn)題在由偏微分方程決定的優(yōu)化控制問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用[2-4],因此引起了很多優(yōu)化和逼近論學(xué)者的重視[5-7],但對(duì)廣義擾動(dòng)優(yōu)化問(wèn)題的研究未見(jiàn)報(bào)道.本文主要借助集合的緊性概念和廣義最優(yōu)值函數(shù)的方向?qū)?shù),研究廣義最優(yōu)解的存在性,推廣了文獻(xiàn)[1,8]中的部分結(jié)果.

1 預(yù)備知識(shí)

首先給出Minkowski泛函的一些已有性質(zhì),具體可參閱文獻(xiàn)[8-10].

命題1設(shè)C如上定義,則對(duì)于任意x,y∈X,有

1)-pC(y-x)≤pC(x)-pC(y)≤pC(x-y);

2)(pC(x+ty)-pC(x))/t≤(pC(x+t′y)-pC(x))/t′,?t,t′∈R{0},t

-pC(y-x)≤dG(x)-dG(y)≤pC(x-y),且|dG(x)-dG(y)|≤υ‖x-y‖.

定義1令y∈?C.

2)對(duì)任意y∈?C,C在y處緊局一致凸,則稱(chēng)C緊局一致凸.

定義2設(shè){zn}?G,若

則稱(chēng){zn}為x的JC-極小化序列.

定義3設(shè)x∈X,若x的任何JC-極小化序列{zn}均有收斂于G中元的子列,則稱(chēng)G在x處是JC-逼近緊;若對(duì)任意x∈X,G在x處JC-逼近緊,則稱(chēng)G是JC-逼近緊.

2 主要結(jié)果

設(shè)G是Banach空間X的非空閉子集,C是X的閉有界凸子集,且0∈intC.定義X上的函數(shù)φ為

(2)

則由命題2可知φ是Lipschitz連續(xù),即

|φ(x)-φ(y)|≤υ‖x-y‖,?x,y∈X.

(3)

對(duì)x,y∈X,用φ′+(x)(y)表示φ在x處沿y方向的方向?qū)?shù),其定義為

(4)

接下來(lái)主要討論廣義最優(yōu)值函數(shù)φ(x)的方向?qū)?shù)之值同相關(guān)集G的JC-逼近緊性和問(wèn)題(JC,x)-inf最優(yōu)解存在性的關(guān)系.

引理1設(shè)x∈XG,y∈?C,使

(5)

(6)

不妨設(shè)tnJ(zn)+pC(x-zn)-φ(x).由命題1的2)有

因此

定理1設(shè)x∈XG,y∈?C,使式(5)成立.若C在y處緊局一致凸,則G在x處是JC-逼近緊的.

證明 設(shè){zn}?G是x的任一JC-極小化序列,則由引理1有

不失一般性(取子列),可設(shè)

由定理1可得:

推論1設(shè)C是緊局一致凸空間,若對(duì)于任意x∈XG,存在y∈?C,使φ′+(x)(y)=1,則G是JC-逼近緊集.因而,對(duì)任意x∈X,問(wèn)題(JC,x)-inf的最優(yōu)解存在.

注1當(dāng)pC(5)是范數(shù)(C=B)時(shí)，定理1即為文獻(xiàn)[1]中的定理4.1;當(dāng)J(x)=0時(shí)，定理1即為文獻(xiàn)[8]中的定理3.1.

定理2若x∈XG,y∈?C,使

(7)

若C在y處緊局一致凸,則對(duì)任意x∈X,問(wèn)題(JC,x)-inf的最優(yōu)解存在.

證明 由式(7)可取{tn},使tn→0+,且

取zn∈G,滿(mǎn)足0

J(zn)+pC(x+tny-zn)<φ(x+tny)+tn2.

事實(shí)上,因?yàn)?/p>

φ(x)≤J(zn)+pC(x-zn)≤J(zn)+pC(x-zn+tny)+pC(tny)=J(zn)+pC(x-zn+tny)+tn≤

φ(x+tny)+tn+t2n≤φ(x)+2tn+t2n,

所以令tn→0+,得

(8)

則{zn}是x的一個(gè)JC-極小化序列.進(jìn)一步,不妨設(shè)

由命題1的2)知

(9)

所以,z0是問(wèn)題(JC,x)-inf的最優(yōu)解.定理2證畢.

推論2設(shè)X緊局一致凸,G是X的非空閉子集.若對(duì)于任意x∈XG,存在y∈?C,使φ′+(x)(y)=-1,則對(duì)任意x∈X,問(wèn)題(JC,x)-inf的最優(yōu)解存在.

注2當(dāng)J(x)=0時(shí),定理2即為文獻(xiàn)[1]中的定理4.2.

[1]何金蘇.Banach空間中一類(lèi)擾動(dòng)優(yōu)化問(wèn)題最優(yōu)解的特征與存在性[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2007,50(3):669-678.

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