改進(jìn)灰色馬爾科夫模型及其在水資源預(yù)測中的利用

馮江浪

(成都理工大學(xué) 信息管理學(xué)院,四川成都 610059)

0 前言

隨著社會經(jīng)濟(jì)的發(fā)展以及工業(yè)化、城市化進(jìn)程的逐步加快,工農(nóng)業(yè)及生活用水出現(xiàn)了供不應(yīng)求的現(xiàn)象。雖然生活用水在總用水量中所占比重不大,但生活用水緊張所造成的社會影響卻很大,與人民群眾的生產(chǎn)生活關(guān)系最為密切。因此,有必要對城市生活用水進(jìn)行預(yù)測。

用于城市用水量預(yù)測的方法很多,其中經(jīng)常用到的有指標(biāo)概率算法[1]、時序預(yù)測回歸模型法[2]、時序灰色系統(tǒng)理論模型法[3]等。如何有效地運(yùn)用這些方法,合理給出預(yù)測城市用水總量的模型,為決策者提供依據(jù),是目前需要研究解決的問題。

作者在本文中嘗試將改進(jìn)灰色馬爾可夫模型運(yùn)用到城市生活用水量預(yù)測領(lǐng)域,即在 GM(1,1)模型的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步運(yùn)用馬爾可夫模型對其結(jié)果進(jìn)行優(yōu)化。灰色 GM(1,1)模型要求數(shù)據(jù)序列成指數(shù)規(guī)律變化,且在建模前通過累加處理使數(shù)據(jù)的隨機(jī)性弱化。因此,該模型不適合長期的、隨機(jī)性和波動性較大的數(shù)據(jù)序列預(yù)測,通常 GM(1,1)模型用來揭示數(shù)據(jù)的發(fā)展趨勢。而馬爾可夫隨機(jī)性過程理論指出:系統(tǒng)將來所處的狀態(tài)只與現(xiàn)在系統(tǒng)狀態(tài)有關(guān),而與系統(tǒng)過去狀態(tài)無關(guān) (即無后效性)。它可以描繪一個隨機(jī)變化的動態(tài)系統(tǒng),根據(jù)狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移概率,來推測一個系統(tǒng)未來的發(fā)展變化,適合描述隨機(jī)波動性較大的預(yù)測問題,通常利用該模型來確定狀態(tài)的轉(zhuǎn)移規(guī)律。因而,將二模型結(jié)合使用,建立改進(jìn)的灰色馬爾可夫預(yù)測模型,一方面利用 GM(1,1)模型使數(shù)據(jù)序列,滿足了馬爾可夫的前提條件,即無后效性和平穩(wěn)過程等均值特點;另一方面,馬爾可夫模型又解決了對隨機(jī)波動性較大序列的預(yù)測問題。因此,預(yù)測精度大大提高。

將改進(jìn)的灰色 GM(1,1)模型的預(yù)測方法與馬爾科夫鏈結(jié)合,得到改進(jìn)的灰色馬爾柯夫預(yù)測模型,將模型用于城市用水總量預(yù)測,提高了灰色系統(tǒng)預(yù)測的精度,發(fā)揮了灰色系統(tǒng)對時間序列模型需要的數(shù)據(jù)少,預(yù)測結(jié)果精度高的優(yōu)勢,又利用了馬爾科夫鏈對波動性較大的數(shù)據(jù)預(yù)測精確的特點,因此,提高了預(yù)測精度。

1 灰色 GM(1,1)模型

1.1 灰色 GM(1,1)模型的特點

灰色 GM(1,1)模型的特點是灰色預(yù)測,是單數(shù)列預(yù)測,是單變量的一階線性模型。它是運(yùn)用在時間序列上排列的數(shù)據(jù)建立模型,分析數(shù)據(jù)自身的規(guī)律性。灰色系統(tǒng)把受眾多因素影響而又無法確定其復(fù)雜關(guān)系的量稱為灰色量[4],對灰色量進(jìn)行預(yù)測,是從自身的時間序列中尋找有用信息建立模型,發(fā)現(xiàn)和認(rèn)識內(nèi)在規(guī)律,進(jìn)行預(yù)測。

1.2 灰色 GM(1,1)模型步驟

一般的灰色 GM(1,1)模型是對原始序列x(0)(1)、x(0)(2)、x(0)(3)、…、x(0)(i)、…、x(0)(n)進(jìn)行累加,得到新的數(shù)據(jù)列 x(1)(1)、x(1)(2)、x(1)(3)、…、x(1)(i)、…、x(1)(n)。其中

對累加后的數(shù)據(jù)建立 GM(1,1)模型的一階微分方程:

根據(jù)微分方程,運(yùn)用最小二乘法,求得 a、u,得到微分方程

因為預(yù)測方程是對累加數(shù)據(jù)列的預(yù)測方程,所以進(jìn)行累減還原,可以得到數(shù)據(jù)列的預(yù)測值。

2 改進(jìn)灰色 GM(1,1)模型

改進(jìn)算法的灰色 GM(1,1)模型是不對原始序列進(jìn)行累加,而是直接對原始數(shù)據(jù)序列建立一階微分方程:

在得出 a、u的值之后,就可以帶入并建立一階微分方程 (5),在通過變換和積分,可以得出預(yù)測函數(shù)

3 改進(jìn)灰色馬爾科夫模型

馬爾科夫鏈模型是利用變量的現(xiàn)在狀態(tài)和未來發(fā)展的變化趨勢去做預(yù)測。當(dāng)系統(tǒng)由定義狀態(tài)的變量所取的值來描述時,稱系統(tǒng)處于一個狀態(tài)。如果系統(tǒng)的描述量發(fā)生改變,從一個狀態(tài)的特定值轉(zhuǎn)移到另一個狀態(tài)的特征值,稱系統(tǒng)發(fā)生了狀態(tài)的轉(zhuǎn)移。馬爾科夫鏈表明事物的發(fā)展是呈一環(huán)接一環(huán)的鏈條形式。估算未來的數(shù)值主要是通過確定轉(zhuǎn)移概率矩陣后,再根據(jù)現(xiàn)在時刻事物所處的狀態(tài),計算出未來事物所處的狀態(tài)。

3.1 改進(jìn)算法的灰色馬爾科夫模型的思路

改進(jìn)算法的思路:

(1)先建立灰色 GM(1,1)模型,根據(jù)改進(jìn)的算法,得出預(yù)測函數(shù)。

(2)以預(yù)測函數(shù)為基準(zhǔn),劃分若干個狀態(tài)區(qū)間。

(3)根據(jù)落入各狀態(tài)區(qū)間的點及其發(fā)展趨勢,計算出馬爾科夫的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣,從而得出預(yù)測的值所處的區(qū)間,取區(qū)間的中點作為預(yù)測值,以提高精度。

3.2 具體步驟

(1)根據(jù)灰色 GM(1,1),得出預(yù)測函數(shù)。

(2)以預(yù)測曲線為基準(zhǔn),結(jié)合每年的具體數(shù)值,劃分成若干個與預(yù)測函數(shù)平行的狀態(tài)區(qū)間,各狀態(tài)區(qū)間都是上含下不含。

其中 ?1i=x(t)+Ai;?2i=x(t)+Bi;(Ai=,Bi=為原始數(shù)據(jù)的均值)

(3)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣的計算。計算狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣的公式是

由狀態(tài) Ei經(jīng)過 k步轉(zhuǎn)移到 Ej的次數(shù) nij(k),狀態(tài)為 Ei出現(xiàn)的次數(shù)為 ni,得到狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣式(13)

狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣反映了系統(tǒng)內(nèi)部各狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移規(guī)律,通過狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣和初始狀態(tài),就可以確定未來的發(fā)展趨勢。

(4)預(yù)測值的計算。根據(jù)現(xiàn)狀數(shù)據(jù)以及所確定的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣,就可以得出未來的轉(zhuǎn)移狀態(tài),也就確定了預(yù)測值的變動區(qū)間,取該區(qū)間的中點作為預(yù)測值,有 ?1i=x(t)+Ai,?2i=x(t)+Bi得到

4 應(yīng)用舉例

根據(jù)用水對象的用水歷史和未來發(fā)展的要求,來預(yù)測未來某個水平年用水對象的需水量,這里不考慮水價因素。

下面以重慶市黔江地區(qū)城市居民生活用水為例,來預(yù)測未來年份的用水量需求。

重慶市黔江地區(qū)城市居民生活用水量變化狀況見表 1(數(shù)據(jù)來源于重慶黔江城市用水規(guī)劃簡介)。可以看出,用水量在逐年上升,但是上升的幅度每年不同,增加率有大有小,呈現(xiàn)出復(fù)雜和波動性特征。

表 1 2000年～2008年用水規(guī)模動態(tài)變化表Tab.1 2000-2008yearwaterusedscaledynamic changetable

表 2 精度檢驗表Tab.2 Precisionchecktable

我們應(yīng)用灰色 GM(1.1)模型和馬爾科夫模型相結(jié)合的方法,對未來用水量進(jìn)行預(yù)測。首先對時間序列上的用水規(guī)模建立灰色 GM(1.1)模型,計算得到

a=-0.15,u=-1223.33

則預(yù)測曲線為:

根據(jù)預(yù)測曲線和每年的用水量,將其劃分為四個狀態(tài)區(qū)間:

根據(jù)數(shù)據(jù)所處的狀態(tài),以及得到的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,就可以求出各年和預(yù)測年的值。將運(yùn)用改進(jìn)的灰色馬爾科夫模型預(yù)測出來的 1999年到 2008年數(shù)據(jù)與實際值比較,相對誤差最大的是 2005年為3.76%,相對誤差最小的是 2001年僅為 0.07%,平均誤差為 0.66%,均方差比值 C=0.04,小誤差概率 P>0.95。檢驗數(shù)據(jù)與表 2精度檢驗表比較,可以看出,預(yù)測的精度達(dá)到了一級,說明預(yù)測精度很高,擬合程度很好,能滿足精度檢表要求,可以用于城市用水預(yù)測,預(yù)測結(jié)果見下頁表 3。

運(yùn)用灰色 GM(1,1)模型和傳統(tǒng)的灰色馬爾科夫模型對用水總量進(jìn)行預(yù)測,將預(yù)測出來的數(shù)據(jù)與改進(jìn)后的模型預(yù)測出的數(shù)據(jù)進(jìn)行比較得出,改進(jìn)算法的灰色馬爾科夫模型的預(yù)測精度,比灰色GM(1,1)模型和傳統(tǒng)的灰色馬爾科夫模型的預(yù)測精度有明顯的提高。從中可以看出,灰色 GM(1,1)模型的預(yù)測函數(shù)是一條較平滑的直線,不適用對具有波動性數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測,必須對它修正。對其修正后的函數(shù)擬合程度較原函數(shù)高,改進(jìn)算法后的預(yù)測函數(shù),比沒有改進(jìn)的函數(shù)更加符合實際情況,誤差更小。

表 3 方法預(yù)測值與實際值比較Tab.3 Comparisonofpredictedvalueandtheactualvalue

5 結(jié)論

由以上分析可以看出,對影響較多,較復(fù)雜,有一定波動性的總量進(jìn)行預(yù)測,改進(jìn)算法的灰色馬爾科夫模型較灰色 GM(1.1)和傳統(tǒng)灰色馬爾科夫模型的預(yù)測精度高。進(jìn)一步說,對于只是從時間序列上對總量進(jìn)行預(yù)測的方法,在從時間上對數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合的模型中,如回歸模型[5],趨勢模型[6]等,改進(jìn)算法的灰色馬爾科夫模型的預(yù)測精度更高,擬合程度更好,預(yù)測的數(shù)據(jù)更為準(zhǔn)確,可用于一些總體規(guī)劃的預(yù)測數(shù)據(jù)。

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