系統方程與框圖的快速轉換

周傳璘

(孝感學院物理與電子信息工程學院,湖北孝感432000)

系統方程與框圖的快速轉換

周傳璘

(孝感學院物理與電子信息工程學院,湖北孝感432000)

在信號與系統中,模擬方框圖對于系統的建模及實現具有重要的作用,而在系統的分析中,也常常需要將實際系統的框圖和方程進行相互轉換。針對目前系統框圖與方程之間的轉換所采用的方法費時且計算量大的特點,提出了一種基于系統的線性時不變性的方程與框圖的快速轉換方法。實例說明:此快速轉換方法簡單、可行,只需要通過簡單移位變換即可實現系統框圖與方程的快速轉換,從而省去了大量的中間數學推導過程。

方程;框圖;快速轉換

在信號與系統中,常需要將實際系統的框圖和方程進行相互轉換。對于簡單的一階系統或激勵項為一項時,此過程相對簡單;而對于多階系統或激勵項為多項時,轉換變得比較復雜[1]。黑龍江科技學院的范艷根等[2]對常用的系統函數法和時域中間變量法進行了對比研究,發(fā)現時域中間變量法的計算量小,操作簡便。北京工商大學的朱啟昧[3]提出了框圖到方程轉換的另一種簡單方法,進行對比代換完成轉換過程,并無嚴格的數學依據。除此之外,再無文獻報道簡單快捷的轉換方法。

基于此,筆者在多年講授“信號與系統”課程的基礎上,依據系統的線性時不變性,提出了一種快速轉換方法。此方法只需要通過簡單的移項變換,即可實現系統框圖與方程之間的快速轉換,特別是在學生沒有學習變換域及信號流圖時,僅僅在時域利用線性時不變性實現方程與框圖的快速轉換,比現有方法簡單,更有利于學生理解線性時不變性及其應用。

1 系統框圖到方程的轉換

當框圖只有一個加法器時,圍繞加法器輸出很快可以寫出其相應的方程;而當有兩個加法器時,必須建立中間變量,并設法消去中間變量,間接得到方程。

例1某連續(xù)系統框圖如圖1所示,試寫出其微分方程。

圖1 連續(xù)系統例題框圖

1.1 傳統方法

1)對于連續(xù)系統,選最右端積分器輸出為中間變量 x(t);對于離散系統,則選最左端延遲單元輸入為中間變量x(k)。以圖1為例,中間變量設為x(t)。

2)寫出各加法器輸出信號的方程。

輸入端:

輸出端:

3)通過復雜代換[1-2]消除中間變量 x′′(t),x′(t),x(t),即可得到系統的方程為:

消除中間變量的過程計算量較大,數學推導多,費時費力。

1.2 快速轉換法

第1)、2)步與傳統方法相同。

3)巧用線性時不變性質,無須通過比較復雜的數學推導消除中間變量即可完成框圖到方程的轉換:

將(1)式移向整理得:

可以將(4)式看作當激勵為 f(t)時的系統的響應為 x(t)。利用線性時不變性,由 b2f′′(t)+b2f′(t)+b0f(t) 引 起 的 響 應 則 為 b2x′′(t) +b1x′(t)+b0x(t),即(2) 式中的 y(t)。

(2) 式表明 y(t) 是 x′′(t),x′(t),x(t) 的線性組合,因而以 y(t)為未知變量的微分方程左端的形式應與 (4) 式相同[1],即 y′′(t)+a1y′(t)+a0y(t)=ζ(t)。即輸入為ζ(t)時,系統的響應為y(t)。

結合前面的討論,ζ(t) 應等于 b2f′′(t)+b1f′(t)+b0f(t),則可得系統的微分方程為:

2 方程到系統框圖的轉換

如果方程右邊只有一項,也就是說框圖只有一個加法器時,則轉換都非常簡單;但當方程右邊有兩項及以上時,必須建立中間變量,通過有關的運算及代換,建立輸出與中間變量的關系方可畫出框圖。

例2知某系統差分方程為

y(k)+a1y(k-1)+a0y(k-2)=b1f(k-1)+b0f(k),請畫出該系統框圖。

2.1 傳統方法

文獻[2]給出了兩種常用的由方程轉換到系統框圖的方法,即系統函數法和時域中間變量法。前者需要對系統方程求拉氏變換或 Z變換以得到系統函數,再將系統分為全極點系統和全零點系統,然后分別實現其框圖并級聯可得到整個系統框圖。后者首先引入中間變量,然后將系統依照輸入、輸出加法器分為兩個部分,分別進行框圖的實現,然后找到兩個框圖之間的聯系,并進行合并。整體上來講,該文獻在進行系統方程到框圖的轉換既費時又費力,需要很多中間代換環(huán)節(jié),很容易出錯,在課堂上講授因數學推導較多也不易被學生接受。

2.2 快速轉換法

由方程可見,該系統是一個二階系統,則需要兩個延遲單元和兩個加法器。

1)建立中間變量 x(k),使其滿足

2)導出各個加法器的輸入、輸出關系。

(5)式可以理解為當激勵為 f(k)時,其響應為 x(k),則利用線性時不變性,當激勵為 b1f(k-1)+b0f(k)時,其響應也必然為 b1x(k-1)+b0x(k)。而例題中方程可理解為 b1f(k-1)+b0f(k)產生的響應為 y(k),則

(6)式即為輸出端加法器的方程。

同時將(5)式進行移項可得輸入端加法器方程:

3)利用(6)式和(7)式,可迅速畫出該離散系統框圖,如圖2所示。

圖2 離散系統例題框圖

3 結論

線性時不變性質是信號與系統中十分重要的性質,在信號與系統的分析中正確理解并巧妙地利用該性質往往可以收到事半功倍的效果。文中筆者根據線性時不變性完成了框圖與方程之間的快速轉換,對于多階系統,特別是系統框圖有多個加法器或方程右邊有多項時,該方法具有明顯的優(yōu)越性。

[1] 吳大正,楊林耀,張永瑞.信號與線性系統分析[M].4版.北京:高等教育出版社,1998.

[2] 范艷根,王玉萍,湯旭日.系統微分方程與系統框圖互換的兩種方法[J].黑龍江科技學院學報,2005,15(1):47-49.

[3] 朱啟昧.信號與系統中框圖與方程間關系的另一種推導嘗試[J].北京工商大學學報,2004,22(6):32-34.

Fast Conversion between Block D iagramsand Equations

Zhou Chuanlin
(School of Physics and Electronic Information Engineering,Xiaogan University,Xiaogan,Hubei 432000,China)

Block diagram s takes an important role in system’smodeling and realizing in signal and system s,w hile it is usually necessary to exchange between system equation and block diagram s in system analysis.At present,the common method for the conversion between system equation and block diagram s is complicated and taking much time.It is for this reason that we have proposed a method for fast conversion between equations and block diagram s based on the linear time invariant of system s.The example show s that this method is simple and available,and can savemuch more time formathematical deduction through simple changing.

equation;block diagram s;fast conversion

TN911.6

A

1671-2544(2010)03-0051-03

2010-04-02

湖北省高等學校教學研究項目(20060363)

周傳璘(1965— ),男,湖北漢川人,孝感學院物理與電子信息工程學院副教授,碩士。

(責任編輯:鄒禮平)