模糊圖像的最大熵恢復

陳春濤，黃步根

（江蘇警官學院 公安科技系，江蘇 南京210012）

引言

在刑事技術領域，各種圖像信息（其內容包括指紋，足跡，各種工具痕跡，槍彈痕跡以及現場照片，監視錄像等）具有很重要的證據作用，有時甚至是偵查破案的關鍵。但是，這類圖像信息經常會受圖像獲取過程中的一些因素的影響而產生“降質”，即變得模糊甚至難以辨讀。因此，在司法鑒定中，運用圖像恢復技術對模糊圖像進行恢復處理，提高其證據價值，具有重大的現實意義。

導致圖像模糊的因素一般包括對焦不準，相機在曝光時與被攝物體的相對運動，光學系統本身的缺陷，以及感光介質（膠片或光電器件）的噪聲等。離散形式的圖像降質過程通常可用如下的模型描述：

這里，矩陣Y，X和N分別表示含噪聲的模糊觀測圖像，原始清晰圖像和加性噪聲。矩陣H代表成像系統的點擴展函數（Point Spread Function，PSF）。符號“*”表示二維卷積運算。圖像恢復的任務就在于根據已經得到的受噪聲N和其他降質因素影響的觀測圖像Y，來求得對于原始清晰圖像X的最佳估計。

在眾多的圖像恢復方法中，最大熵方法因其優于一般線性恢復方法（如維納濾波法等）的恢復質量而占據著重要的地位。最大熵方法的一般數學模型如下：

其中，Xij表示X的元素，S表示圖像X的熵，這一圖像熵的表達式最早由Frieden[1]提出，與Shannon在信息論中提出的信息熵具有相同的形式。當然，還有一些學者提出了其他形式的一些圖像熵表達式[2]。

這一最大熵問題可以通過許多不同的方法求解，從而形成一系列的最大熵算法[3，4，5]。我們在經過比較研究后選擇了由Hollis等提出的算法，因為該算法具有處理效果良好，簡明且穩定收斂的特點。

1 Hollis等的最大熵算法

此算法僅考慮無噪聲的情況（或者說將噪聲與信號同樣看待）。運用拉格朗日乘數法解式（1.2）可以推出：

其中矩陣λ由拉格朗日乘子構成。從一個初始的λ0=0（對應于一個“平坦”的，即具有最大熵的初始圖像）開始，可以構造出如下的迭代算法：

其中，c是比例常數，δλk為λk的改變量。一開始，Hollis等定義δλk為：

但是那樣收斂很慢。后來發現用下式可以加速收斂：

本文在研究中采用了由David S.C.Biggs等提出的對于圖像迭代恢復算法的加速方法[7]，實踐表明其加速效率和恢復效果優于（2.5）式。

2 圖像恢復實例

本文用MATLAB與VC混合編程實現了上述算法，并針對大量的模糊圖像（包括人工模擬的和實際拍攝的模糊圖像）進行了恢復處理，取得了良好的效果。

2.1 運動模糊車牌圖像的恢復

圖1是一張快速行駛中的卡車照片，車牌號碼嚴重模糊，無法辨認。剪取車牌部分（如圖2（a）所示）進行恢復，其中運動方向和長度可以通過畫面上運動客體的邊緣部分的影像估計出來，并由此根據二維直線運動模糊的PSF的數學模型得到相應的點擴展函數。恢復結果（如圖2（b）所示），可以看出，車牌號碼已經變得很清楚。

圖1 原始運動模糊圖像

圖2 運動模糊車牌的恢復

2.2 運動模糊人臉圖像的恢復

圖4（a）是一張騎車男子的照片。由于拍攝時快門速度較慢，導致其面部影像嚴重模糊，無法辨認。根據衣領的運動軌跡估計出影像在曝光過程中的運動方向和長度。由此確定出點擴展函數。用加速的最大熵方法迭代15次恢復的結果（如圖4（b）所示）。可以看出，盡管存在一些因邊界效應引起的震蕩，該男子的五官已可以辨認。

圖4 運動模糊人像的恢復

2.3 離焦模糊照片的恢復

圖5是一個表現彈殼底部痕跡的照片，這類照片在公安工作的實踐中經常會遇到。由于在拍攝時沒有仔細地對焦，因而畫面有點模糊，彈底的細節不是很清晰。圖6是運用本文的最大熵方法進行恢復的結果。可以看出，畫面模糊的程度顯著減輕，照片表現出了更多的彈殼的細節。處理前，通過對圖像頻譜的過零點的考察確定出離焦半徑，進而得到PSF的估計。

圖5 原始模糊圖像

圖6 最大熵恢復結果

2.4 離焦模糊人臉圖像的恢復

圖7（a）是一個用CANON G5數碼相機拍攝的人臉照片（手動對焦）。圖7（b）是其恢復結果。處理前，通過對圖像功率譜的過零點的考察確定出離焦半徑，進而得到PSF的估計。經過18次迭代，圖像表現出更多的細節特征。

圖7 離焦模糊人像的恢復

3 結論

實踐表明，本文的最大熵算法是有效的、穩定的，完全可以應用于司法領域的圖像處理。需要指出的是，運用這一算法恢復含噪聲的圖像時，隨著迭代次數的增加，噪聲放大的情況也變得嚴重。這可能是由于算法沒有對噪聲單獨考慮，而是把它與信號同樣看待的原因。因此，實際處理時需要在適當的時候停止迭代以取得最佳恢復效果。在軟件設計時，我們通過在每次迭代結束時實時顯示圖像并進行交互控制的的方法（即對恢復結果進行連貫顯示）解決了這一問題。

[1]B.R.Frieden.Restoring with maximum likelihood and maximum entropy[J].Opt.Soc.Am，1972，62:511-518.

[2]E.Pantin，J.L.Starck.Deconvolution of astronomical images using the multiscale maximum entropy method[J].Astron.Astrophys.Suppl.Ser.1996，（9）:515-585.

[3]J.M.Hollis，J.E.Dorband and F.Yusef-Zadeh.Compare restored HST and VLA imagery of R ARUARⅡ[J].The Astrophysical Journal，1992，386:293-298.

[4]S.F.Gull and J.Skilling.MEMSYS5 User's Manual[M].Version 1.2.Suffolk，U.K，1999.

[5]X.Zhuang，E.Ostevold，and R.M.Haralick.A differential equations approach to maximum entropy image reconstruction [J].IEEE Trans.1987，35:208-218.

[6]陳春濤，黃步根，陶純堪，等.最大熵圖像復原及其新進展[J].光學技術，2004，（1）:12.

[7]David S.C.Biggs and Mark Andrews:Acceleration of iterative image restoration algorithms[J].Applied Optics.1997，36，（8）：1766-1775.