n階常系數線性非齊次微分方程特解的統一求法

陳華喜

(蚌埠學院 數理系,安徽 蚌埠 233030)

n階常系數線性非齊次微分方程特解的統一求法

陳華喜

(蚌埠學院 數理系,安徽 蚌埠 233030)

關于n階方程 y(n)+a1y(n-1)+…+an-1y′+any=f(x)的特解的求法,大多是對右端函數的f(x)按分成3種類型 ,設定相應的特解函數 ,然后利用待定系數法進行求解,方法較為繁瑣。文章采用了較為初等的方法,對 f(x)的3種不同類型的求解進行了統一。

線性微分方程;求導;特解

形如

的方程稱為n階常系數非齊次線性微分方程,其中a1,a2…,an為常數,而 f(x)為連續函數.若f(x)=0,則方程(1)變為

稱其為方程(1)對應的齊次方程。

方程(1)的通解,等于方程(2)的通解與方程(1)的一特解之和,方程(2)的通解易求,因此,要求(1)的通解,關鍵是求(1)的一特解。目前,國內《常微分方程》文獻中大多是將f(x)分為Pm(x),(其中 Pm(x)為 m次多項式,而為次數不高于m次的多項式,但二者至少有一個的次數為m)三種情況,分別按各種類型設定相應的特解函數,用待定系數法求解,方法較為繁瑣,而且難以記憶。

本文對上述方程右端函數的3種類型進行了統一求解,方法簡單、容易記憶。

1 類型 Ⅰ

當 f(x)=Pm(x)(Pm(x)為 m次多項式)時,則方程(1)為

兩邊關于 x依次求m次導有:求1次導得:

求2次導:

求m-1次導:

求m次導:

由于方程(1)的解為不高于 m次的多項式,故 y(n+m)=y(n+m-1)= …=y(m+2)=y(m+1)=0,因而在(6)式中令 any(m)=m!bm,即得 y(m)=!,將 y(m)帶入(5)可求得 y(m-1),再將 y(m),y(m-1)帶入上一級可得y(m-2),依次下去,最終可求得y。

例1求方程

的特解。

解:對方程兩端分別關于 x求三階導有:

求一階導得:

求二階導得:

求三階導得:

由于 y(6)=y(5)=y(4)=0,故令6y(3)=6,得

代入(8)有

再將(10),(11)代入(7)得

最后將(10),(11),(12)代入原方程得

2 類型 Ⅱ

當 f(x)=Pm(x)eλx時 ,則方程(1) 為

令 y=u(x)eλx為其特解,代入原方程消去 eλx后得:

(其中 f(λ)為原方程得特征多項式)方程為關于u(x)的n階方程,由類型I的解法可求出u(x),從而求得原方程得特解 y。

例2求方程

的特解。

解:令

則

將(13),(14),(15)代入原方程得:

將方程(16)兩端分別關于 x求兩階導有:求一階導得:

求二階導得:

由于 u(4)(x)=u(3)(x)=0,故令 20u′′(x)=2,得

代入(17)有

再將(19),(20)代入(16)得

原方程的特解為:

3 類型 Ⅲ

由疊加原理知,上述方程的特解 y等于求方程

的特解

的特解 y2之和,即 y=y1+y2。

對于方程(21)可求方程z(n)+a1z(n-1)+…+an-1z′+anz=的特解z(z解法同類型 Ⅰ),z的實部就是方程(21)的特解 y1,同理方程(22)的特解 y2也可求得,從而便知原方程得特解 y。

例3求方程 y′′-2y′+2y=x excos x的特解。

解:求原方程的特解等價于求方程

的特解的實部。令

則

將(24),(25),(26)代入原方程得:

對方程(27)兩端關于 x導得:

令 2i u′′(x)=1,得

代入(27)有

∴原方程的特解為:

由此可見,這里所介紹的求高階方程特解,不再用待定系數法根據方程右端函數 f(x)的不同種類進行求解,而是用了一種較為初等的方法求解方程的特解,這種方法將方程右端函數的不同種類進行了統一,易于理解和記憶。

[1] 王高雄,周之銘,朱思銘,等.常微分方程[M].3版.北京:高等教育出版社,2006.

[2] 黃啟昌,周之銘,等.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,2001.

[3] 佘智君.二階常系數非齊次線性微分方程通解的簡易求解法[J].重慶工學院學報,2008(8):85-86.

[4] 楊國梁,周周,楊志勇,等.二階常系數非齊次線性微分方程特解的一種求法[J].內江師范學院學報,2009(S1):248,250.

The Uniform Solution to n Order Constant Coefficient Non-homogeneous Linear Differential Equation

Chen Huaxi
(Department of Mathematics and Physics,Bengbu College,Bengbu,Anhui 233030,China)

About the solutions to the n order equations y(n)+a1y(n-1)+ …+an-1y′+any=f(x),most classify the function f(x) into three types according to Pm(x),Pm(x)eλx, ((x)cosβx +(x)sinβx)eλx,set appropriate particular solution function,and then solve the equation using undetermined coefficient method.These solutions are more complicated.In this paper,the author adopted a more elementary method to solve the equation and the solutions to three different types of f(x)were unified.

linear differential equations;derivation;particular solution

O175

A

1671-2544(2010)06-0026-03

2010-08-08

陳華喜(1977—),男,安徽淮南人,蚌埠學院數理系講師,碩士。

(責任編輯:陳 鑫)