汶川地震的6區域模型加速度峰值衰減關系

楊 帆,羅奇峰

（同濟大學a.結構工程與防災研究所;b.上海防災救災研究所,上海 200092）

目前,在加速度峰值衰減關系研究中主要存在2種思路：1）從原因出發,通過研究震源機制和地震動傳播過程與加速度峰值衰減的理論關系,得到由更多細化參數控制的衰減關系式。這類方法從研究地震過程本質出發,對提高地震傳播及衰減理論具有很強的指導意義。但是,由于地震過程本身的復雜性導致各參數間的相關影響,該方法必需依托龐于大量、精細的地震數據。如美國的NGA項目[2]下的3個工作團隊得出衰減關系式[3-7]所用到的地震波描述參數則多達130個,這在世界大部分地區是無法實現的,不便于地震動衰減關系的工程應用。2）以實際得到的加速度等震線出發,研究衰減關系。為簡化計算,該類方法以控制等震線的大體形狀來抓住影響衰減關系的主因。目前基本上都使用圓模型,它將等震線近似的看作同心圓,以震中距或震源距為加速度等震線在測點位置方面的唯一控制參數,然而對于長斷裂的大震而言,圓模型的加速度等震線和實際等震線偏差很大,例如圖1[8]中汶川8級地震的烈度等震線形狀就和圓模型明顯相悖。需要特別指出,圖1給出的是烈度等震線,它與加速度等震線還有一定區別,但可以認為兩者存在近似的線性關系,同時也必須認識到這種關系比較模糊。該文利用烈度等震線代替加速度等震線的基本依據已經在文獻[1]中詳細闡述。鑒于圓模型的嚴重不足,在4區域橢圓模型的基礎上提出了6區域模型,以便更加細致的刻畫衰減關系的區域性特點。

圖1 汶川地震烈度等值線圖

1 4區域橢圓衰減模型的不足

4區域的橢圓模型以斷層所在位置為長軸,以過斷層中點并垂直于斷層的方向為短軸,長短軸將整個觀測區域分為4個部分。4個區域物理意義分別為：沿破裂方向前端的上下盤和沿破裂反方向末端的上下盤。其加速度的等值線示意圖見圖2,該方法忽略了斷層長度垂直范圍的2個區域,其等震線形狀在斷層范圍內沒有沿著斷裂方向“發散開”的趨勢,這導致前區橢圓看起來更加扁平,這與圖1不符。由于破裂前端區域和末端區域共用短軸,短軸都是過斷層中心,不能通過比較得到過斷層不同位置處的短軸衰減關系來反映破裂方向對短軸衰減的影響。

圖2 4區域橢圓模型加速度峰值等值線示意圖

2 6區域衰減模型

由于4區域模型在等震線形狀刻畫和地震區域劃分上的不足,該文采用下述劃分方法：

以斷層所在位置為長軸,以過斷層2端點,且垂直與長軸的2條直線為短軸可以將等震線圖分為6個基本區域。從圖1可以看出：兩端的4個區域曲線近似于橢圓,其形狀由各自的長短軸控制。中間的2個區域曲線近似于直線。其形狀由直線與斷層2端點的斷層距控制。

上述劃分不僅在等震線圖形上更加符合實際,而且所劃分出的6個區域也具有明確的物理意義：斷層垂直區域外,沿破裂方向前端的上下盤、斷層垂直區域外,沿破裂反方向末端的上下盤以及斷層垂直范圍內的上下盤。

基于前文提到的烈度與加速度的線性關系,假設某幾個值的加速度等震線（基準線）與烈度等震線形狀相似,具體的控制指標是2種等值線在區域分割線方向上的截距相等,利用烈度等震線圖量出這些截距,并由此作出加速度峰值的基準線。（圖3）基準線間的其他等值線通過某種差值規律假設轉化為求解方程的方法求得,其具體步驟如下：

圖3 6區域模型加速度峰值等值線示意圖

1）以斷層（圖3中間實線）所在直線為長軸,以過斷層端點且垂直長軸的2條直線為短軸。分割線與等震線的截距標識為rij,i為基準線標號,j表示截取方向,取j=1,2,3,4,5,6。截距包含了兩端4條橢圓線和中間段2條直線所需全部參數,可以由此得到基準線。

2）對于2基準線i和i-1間任意觀測點的加速度等值線可由2條基準線差值算得。在理想狀態下,2條基準線間應由無窮條不相交的等值線覆蓋,在任意測點位置都有唯一一條加速度峰值等值線經過。同時等值線的形狀應漸變過渡直至與基準線重合。滿足下列2個條件的等值線符合這些要求：①它們都由4段不同的橢圓曲線和2段直線組成;②等震線在坐標軸正負方向上的截距為：

式中,k為自變量,0＜k＜1。這樣可以保證當k從0到1時,加速度等值線的6個截距相對均勻增長,并保證當k=0,1時加速度等值線過渡為基準線形狀。

如圖3,以基準線i和i-1間的任意點h（x,y）的等值線作法為例。判斷其所在象限,h（x,y）在第1區時,以l′1（k）為長軸、l′2（k）為短軸在一區范圍內作橢圓;h（x,y）在第3區時,以l′4（k）為長軸、l′3（k）為短軸在3區范圍內作橢圓;h（x,y）在第4區時 ,以l′4（k）為長軸 、l′5（k）為短軸在 4區范圍內作橢圓;h（x,y）在第6區時,以l′1（k）為長軸、l′6（k）為短軸在 6區范圍內作橢圓;將長短軸和h（x,y）點坐標帶入到橢圓方程中,通分化簡可以得到關于k的一元4次方程：

式中,j1取2個長軸即（j1=1,4）;j2取4個長軸即（j2=2,3,5,6）;其取值由h（x,y）所在象限決定。

h（x,y）在第2區或第5區時,K值直接由下式給出：

式中,j1取2個長軸即（j1=2,6）;j2取4個長軸即（j2=3,4）,其取值由h（x,y）所在象限決定。rn為斷層半長。

通過求解式2和式3,得到任意位置點在（0,1）的范圍內的唯一k值。將k代回到（1）式中即可求得等值線的6個截距。它是描述加速度等值線的完整參數,由其代替圓模型中的單一的震中距作為統計量進行擬合運算得到6個地震動加速度衰減關系。它們反映了6個區域中地震加速度衰減的基本特性。注意在求解方程式（2）時,應用一元4次方程的系數解[9]可以大大簡化計算,提高計算速度和精度。

3 汶川8.0級地震的加速度峰值衰減關系曲線

以汶川8.0級地震,四川、陜西、甘肅、青海、寧夏、云南、山西7省公布[10]的261個土層加速度峰值記錄為對象,擬合衰減關系曲線。

4區域橢圓模型的計算方法和過程文中不再給出,直接引用文獻[1]中的相關結論于表2,以便用于結論分析及對比。

對于圓模型采用衰減關系式為[11-12]：

式中y為地震加速度峰值,R為震中距,R0為距離飽和因子,有：R0=k1 exp（k2?M）,k1、k2直接按文獻[13]結論取值,分別等于0.39、0.623,算得R0=57,a、b為回歸系數。

相應6區域橢圓模型各方向半軸的衰減關系式為：

為保證震源體內加速度相等,采用聯合橢圓模型[14-15]類似的方法計算,給出聯合的衰減關系曲線式（6）。式中R1、R2、R3、R4、R5、R6為 6 個方向上的距離飽和因子,作為回歸參數,通過式（5）采用最小二乘法,循環回歸取方差為最小時對應的值。l1、l2、l3、l4、l5、l6為 6 個方向的半軸長,其值由式（1）、（2）、（3）求得,當其中任意一個按式（1）、（2）、（3）取值時,其它5個取為0,（1）、（2）、（3）式中ri,j在圖 1中量出 。a、b1、b2、b3、b4、b5、b6 為回歸系數 。

通過（6）式,采用最小二乘法,求得回歸系數后各個方向的衰減關系由式（7）確定。

通過觀測點坐標和震中坐標計算出測點震中距R,代入關系式（4）,利用最小二乘法得到圓模型的汶川地震水平向和豎向衰減曲線圖4、5。擬合系數、飽和距離及擬合方差見表1。

圖4 圓模型水平向加速度峰值衰減關系

圖5 圓模型豎向加速度峰值衰減關系

通過式（1）、（2）、（3）得到觀測點 4個方向的半軸長l1、l2、l3、l4、l5、l6 代入（5）式 ,通過循環回歸得到飽和因子與方差關系圖6、7,并取方差最小值為距離飽和因子。求得飽和因子后利用式（6）進行最小二乘擬合,求得回歸系數,并帶入式（7）求得4個半軸向的最終的衰減關系圖8。

表1 6區域模型的擬合系數

表2 4區域橢圓模型的擬合系數

4 模型的對比及結論

觀察圖形可知,利用圓模型按震中距統計的觀測點（圖4、5）離散性較大,在近場時,該現象尤其明顯;利用模型按6個方向的半軸長統計得到的數據點（圖8、9）離散性小。從擬合方差上看,表1、2中圓模型的水平向和豎向擬合關系式方差分別為0.930、0.750;4區域橢圓模型方差為：0.490、0.340;該文模型的擬合關系式方差為0.475、0.338。后2者方差都比圓模型減小了1倍左右。而6區域模型比4區域模型方差略小,這說明結果更加符合實際。

圖6 6區域模型水平向距離飽和因子

圖8 6區域模型水平向衰減關系

6區域模型可以得到6條衰減關系,每相鄰2條衰減關系代表了1個區域內加速度峰值衰減關系的上下限值。它可以反映破裂方向效應和上下盤效應。由衰減關系式2邊對距離取導數可知,擬合系數b與震中飽和距離R之比是衡量近場衰減速度的關鍵。比值越小近場的衰減慢,反之亦然。該文稱其為近場衰減速率系數。

從表1可以看出圓模型的近場衰減速率系數大小介于該文模型6個方向上的系數之間,可以認為圓模型是衰減速率在各方向的平均反應,對沿破裂方向的長軸l1衰減明顯高估,這種方法是危險的。

就長軸而言,4區域橢圓模型與6區域得到的結論一致,l1和l4方向,v1和v3方向

的衰減關系各項擬合系數差別明顯,從近場衰減速率系數上看,沿斷層傳播方向衰減慢,同時,它也是所有方向上衰減最慢的方向。

圖7 6區域模型豎向距離飽和因子

圖9 6區域線模型豎向衰減關系

就短軸而言,2種模型得到的結論有較大差別。從表2中可以看出,對4區域橢圓模型,v2和v4方向的衰減關系各項擬合系數以及近場衰減速率系數差別都很小,這1方面可能是由于汶川地震的傾滑成份較少引起的,同時還有另外1個原因：汶川地震的主斷層在其長度中心處有一定距離的間斷,由于間斷距離與斷層總長度相比很短,對間斷處垂直范圍以外的區域影響很小,才可以近似的將其看作一條連貫的斷層。但是4段線模型的短軸經過了這個間斷區域,在這里并沒有實際上的斷層,所以在該處得到的短軸衰減關系上下盤效應不明顯。另外,4區域橢圓模型并不能體現破裂方向對短軸衰減關系的影響。

對于6區域模型,l6方向是過斷層前端點,沿下盤垂直于斷層方向的傳播方向,l5方向是是過斷層末端點,沿下盤垂直于斷層方向的傳播方向,從表1中可以看出l6衰減更慢,另外由于l6和l5的衰減關系存在差別,說明在區域5內的等值線與斷層并不平行,除去斷層距,觀測點與斷層的垂足在斷層上所處的位置對短軸方向的地震衰減也有影響。研究l2和l3可以在上盤得到同樣的結論。

l6和l2的垂足均為斷層前端,且也是垂直與斷層方向,唯一的不同是,l6沿下盤傳播而l2沿上盤傳播,對比兩者的近場衰減系數可知,在該斷層位置,汶川地震上盤的近場衰減更慢,對比l3和l5可以得到相同結論。

對比在任意方向上的豎向近場衰減系數都比同方向上的水平向衰減系數大,即豎向衰減快。

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（編輯胡 玲）