基于比例危險-比例優(yōu)勢模型的加速壽命試驗設計

黃婷婷 姜同敏

(北京航空航天大學 工程系統(tǒng)工程系,北京 100191)

霍瑞堅

(中國新時代工程咨詢有限公司,北京 100034)

基于比例危險-比例優(yōu)勢模型的加速壽命試驗設計

黃婷婷 姜同敏

(北京航空航天大學 工程系統(tǒng)工程系,北京 100191)

霍瑞堅

(中國新時代工程咨詢有限公司,北京 100034)

將基于信息的優(yōu)化方法引入基于非參數(shù)模型的加速壽命試驗優(yōu)化設計中,針對恒定應力和步進應力兩種應力加載方式,分別給出了基于比例危險-比例優(yōu)勢模型的試驗優(yōu)化設計方法.通過對數(shù)似然函數(shù)建立 Fisher信息矩陣和方差-協(xié)方差矩陣,并采用基于信息的優(yōu)化方法建立最優(yōu)化問題.這種試驗優(yōu)化設計方法可以有效地提高模型參數(shù)評估精度,并且避免了傳統(tǒng)的優(yōu)化方法(即將一個與可靠性相關的函數(shù)的漸進方差在一個給定區(qū)間內(nèi)的積分值作為優(yōu)化目標)當目標函數(shù)中給定的積分區(qū)間變化時將得到不同優(yōu)化結(jié)果的局限.最后給出了應用該方法進行加速壽命試驗優(yōu)化設計的仿真實例.

試驗優(yōu)化設計;基于信息的優(yōu)化方法;比例危險-比例優(yōu)勢模型;非參數(shù)模型;加速壽命試驗

加速壽命試驗技術是使用在高應力下較短時間內(nèi)獲得的產(chǎn)品壽命數(shù)據(jù)外推產(chǎn)品在正常應力下的壽命和可靠性的技術[1].加速模型描述了產(chǎn)品壽命與應力水平之間的關系.加速模型的建立是進行外推的基礎,直接影響著外推的精度.加速模型可以分為物理加速模型、經(jīng)驗加速模型和統(tǒng)計加速模型.其中,統(tǒng)計加速模型又可以分為參數(shù)模型和非參數(shù)模型.參數(shù)模型需要預先確定產(chǎn)品的壽命分布形式,然而,如果產(chǎn)品壽命并不服從該壽命分布形式,則可能造成較大的評估誤差.非參數(shù)模型是一種無分布假設的模型,因此,更加受到研究人員及工程應用人員的青睞.比例危險-比例優(yōu)勢模型[2]通過轉(zhuǎn)移參數(shù)將比例危險模型[3]和比例優(yōu)勢模型[4-5]這兩種常用的非參數(shù)模型結(jié)合起來,使這兩種模型成為該模型的特殊形式.比例危險-比例優(yōu)勢模型較比例危險模型和比例優(yōu)勢模型具有更廣泛的適用范圍和評估精度.因此,本文的加速壽命試驗優(yōu)化設計是基于比例危險-比例優(yōu)勢模型進行的.

加速壽命試驗優(yōu)化設計的目的是為了減少運用加速模型進行產(chǎn)品壽命和可靠性外推時的誤差,提高評估精度.進行加速壽命試驗優(yōu)化設計通常包括以下幾方面的內(nèi)容:應力水平數(shù)及其量值,恒定應力試驗時每個應力水平下分配的受試產(chǎn)品個數(shù),或步進應力試驗時的應力轉(zhuǎn)換時間等.目前,研究人員運用了多種方法進行加速壽命試驗的優(yōu)化設計.對于非參數(shù)模型而言,通常使用的方法是最小化一個與可靠性相關的函數(shù)的漸進方差在一個給定區(qū)間內(nèi)的積分值[6-7].然而,這種優(yōu)化方法的局限性在于,當目標函數(shù)中給定的積分區(qū)間變化時,可能會得到不同的優(yōu)化結(jié)果.

近幾年,基于信息的優(yōu)化方法已應用于加速壽命試驗的優(yōu)化設計中,該方法可以避免上述優(yōu)化方法的局限.廣泛應用的基于信息的優(yōu)化方法包括 D-優(yōu)化方法和 A-優(yōu)化方法.這兩種優(yōu)化方法的目的都是最大化信息,同時最小化與信息互為倒數(shù)的方差.這兩種優(yōu)化方法通過不同的途徑得到優(yōu)化結(jié)果,然而,究竟采用哪種優(yōu)化方法取決于模型參數(shù)的特性.

D-優(yōu)化方法最大化了信息矩陣的行列式值.由于信息矩陣與方差-協(xié)方差矩陣互逆,因此,它同時最小化了方差-協(xié)方差矩陣的行列式值,也就是最小化了參數(shù)評估值聯(lián)合置信區(qū)間的體積[8].該優(yōu)化方法通常用于模型參數(shù)有較強相關性的情況[9].D-優(yōu)化方法的目標函數(shù)是 max det[I].

A-優(yōu)化方法最小化了信息矩陣逆的跡,即最小化了方差-協(xié)方差矩陣的跡,也就是說它最小化了參數(shù)評估值方差的和.該優(yōu)化方法通常用于模型參數(shù)相關性較弱的情況[9].A-優(yōu)化方法的目標函數(shù)是 min tr[I-1],即 min tr[∑].

Ng等研究人員將 D-優(yōu)化方法和 A-優(yōu)化方法應用于威布爾分布的產(chǎn)品的加速壽命試驗優(yōu)化設計中[9],之后,又將這兩種優(yōu)化方法用于處理極值分布情況的產(chǎn)品樣本量分配問題[8].然而,這些基于信息的優(yōu)化方法目前主要應用于基于參數(shù)模型的加速壽命試驗優(yōu)化設計中.本文將這些優(yōu)化方法應用于基于非參數(shù)模型的加速壽命試驗優(yōu)化設計中,分別針對恒定應力和步進應力兩種應力加載方式,給出了加速壽命試驗優(yōu)化設計方法.

1 恒定應力加速壽命試驗優(yōu)化設計

1.1 試驗過程及優(yōu)化目標

假設 n個受試產(chǎn)品進行恒定應力加速壽命試驗,有 k種應力類型,對于每種應力類型有 q個不同應力水平.那么,加速壽命試驗將在 k×q個不同應力組合下進行.定義了分配給應力水平zi1i2…ik=(zi1,zi2,…,zik)T的受試產(chǎn)品個數(shù)與參與試驗的總產(chǎn)品個數(shù) n的比值,其中,ij=1,2,…,q,j=1,2,…,k.應力組合為 zi1i2…ik的試驗在預先確定的 τi1i2…ik時間截尾.圖 1給出了當 k=2,q=2時的試驗剖面.

圖1 多應力類型恒定應力加速壽命試驗剖面

優(yōu)化目標是合理地選取應力水平 zi1i2…ik和每個應力水平下分配的產(chǎn)品比例 pi1i2…ik,ij=1,2,…,q,j=1,2,…,k,使得對模型參數(shù)的評估結(jié)果更精確,從而減小在正常應力水平下對產(chǎn)品壽命和可靠性評估結(jié)果的誤差.

1.2 對數(shù)似然函數(shù)

比例危險-比例優(yōu)勢模型中可靠性函數(shù)R(t;z)和概率密度函數(shù) f(t;z)的定義[2]為

式中,β是模型未知參數(shù)向量;z是協(xié)變量向量;γ1＞0,γ2＞0是模型未知參數(shù) ;c∈ [0,1]是轉(zhuǎn)移參數(shù).

定義一個指示函數(shù) I:

其中 τ為試驗截尾時間.

因此,對于某一個失效數(shù)據(jù)(t,I,z),對數(shù)似然函數(shù)可以寫為

將式(1)和式(2)代入式(3),可以將對數(shù)似然函數(shù)改寫為

1.3 Fisher信息矩陣及漸進方差-協(xié)方差矩陣

計算式(4)給出的對數(shù)似然函數(shù)對每個模型參數(shù)二階偏導數(shù)的負期望值(積分區(qū)間為 0到τi1i2…ik),并建立恒定應力條件下的 Fisher信息矩陣 Fc,見式(5).對 Fisher信息矩陣求逆,可以得到方差-協(xié)方差矩陣.將加速壽命試驗之前通過預試驗失效數(shù)據(jù)或者相似產(chǎn)品歷史失效數(shù)據(jù)得到的模型參數(shù)評估值帶入方差-協(xié)方差矩陣,恒定應力條件下的漸進方差-協(xié)方差矩陣,見式(6).

1.4 目標函數(shù)和約束條件

在如式(6)的漸進方差-協(xié)方差矩陣中代入給定的應力水平和截尾時間,就可以得出給定試驗條件下模型參數(shù)和的相關度,即協(xié)方差.當模型參數(shù)相關度遠大于 0時,說明模型參數(shù)具有較強的相關性,那么,采用 D-優(yōu)化方法建立最優(yōu)化問題的目標函數(shù)和約束條件.

D-優(yōu)化方法最大化了信息矩陣的行列式值,這里如式(5)的 Fisher信息矩陣.決策變量是zi1i2…ik和 pi1i2…ik,ij=1,2,…,q,j=1,2,…,k.因此,目標函數(shù)及約束條件可以寫為

其中,Ni1i2…ik是應力組合 zi1i2…ik下預先確定的所需最小產(chǎn)品失效數(shù).下標 o表示相應應力類型的設計應力水平,下標 u表示相應應力類型的極限應力水平.

當模型參數(shù)相關度接近 0時,說明模型參數(shù)的相關性較弱,此時,為了減小計算量可采用 A-優(yōu)化方法建立最優(yōu)化問題目標函數(shù)和約束條件.

A-優(yōu)化方法最小化了方差-協(xié)方差矩陣的跡,這里如式(6)的漸進方差-協(xié)方差矩陣.決策變量是 zi1i2…ik和 pi1i2…ik,ij=1,2,…,q,j=1,2,…,k.因此,目標函數(shù)及約束條件可以寫為

求解最優(yōu)化問題,可以得到滿足約束條件的決策變量最優(yōu)解,從而給出優(yōu)化的恒定應力加速壽命試驗方案.

2 步進應力加速壽命試驗優(yōu)化設計

2.1 試驗過程及優(yōu)化目標

假設 n個受試產(chǎn)品進行步進應力加速壽命試驗,應力水平為 z1和 z2.對于每一個應力水平,有k種不同應力類型,即.該試驗在低應力水平 z1下運行到 τ1時間,轉(zhuǎn)換到預先確定的高應力水平 z2運行至預先確定的 τ2時間截尾.步進應力加速壽命試驗剖面如圖 2所示.

圖2 多應力類型步進應力加速壽命試驗剖面

優(yōu)化目標是合理地選取 z1和 τ1,使得對模型參數(shù)的評估結(jié)果最精確,從而減小在正常應力水平下對產(chǎn)品壽命和可靠性評估結(jié)果的誤差.

2.2 對數(shù)似然函數(shù)

采用累積損傷模型建立步進應力加速壽命試驗中的對數(shù)似然函數(shù).累積損傷模型假設產(chǎn)品剩余壽命只與其損傷量有關,而與損傷量累積方式無關[10].

考慮試驗在低應力水平 z1下運行到 τ1時間,然后在高應力水平 z2下運行到 τ2時間截尾.對于應力水平 z2來說,它有一個等效的起始時間 s.即受試產(chǎn)品在應力水平 z1下運行 τ1時間的損傷量相當于受試產(chǎn)品在應力水平 z2下運行 s時間的損傷量.依據(jù)累積損傷模型,s可以由下式計算:

即

因此,受試產(chǎn)品的累積分布函數(shù)可以表達為

相應地,受試產(chǎn)品的概率密度函數(shù)為

定義 2個指示函數(shù) I1和 I2:

其中,τ1≤τ2.

因此,對于某一個失效數(shù)據(jù)(t,I1,I2,z),對數(shù)似然函數(shù)可以表達為

將式(1)和式(2)代入式(9),可以將對數(shù)似然函數(shù)改寫為

2.3 Fisher信息矩陣及漸進方差-協(xié)方差矩陣

計算式(10)給出的對數(shù)似然函數(shù)對每個模型參數(shù)二階偏導數(shù)的負期望值(積分區(qū)間為 0到τ2),并建立步進應力條件下的 Fisher信息矩陣Fs見式 (11).

對 Fisher信息矩陣求逆,可以得到方差-協(xié)方差矩陣,帶入模型參數(shù)評估值,步進應力條件下的漸進方差-協(xié)方差矩陣見式(12).

2.4 目標函數(shù)和約束條件

在如式(12)的漸進方差-協(xié)方差矩陣中代入給定的應力水平和截尾時間,就可以得出給定試驗條件下模型參數(shù)和的相關度,即協(xié)方差.當模型參數(shù)相關度遠大于 0時,說明模型參數(shù)具有較強的相關性,那么,采用 D-優(yōu)化方法建立最優(yōu)化問題的目標函數(shù)和約束條件.

D-優(yōu)化方法最大化了信息矩陣的行列式值,這里如式(11)的 Fisher信息矩陣.決策變量是 z1和 τ1.因此,目標函數(shù)及約束條件可以寫為

其中,N1是應力水平 z1下預先確定的所需最小產(chǎn)品失效數(shù).

當模型參數(shù)相關度接近 0時,說明模型參數(shù)的相關性較弱,此時,為了減小計算量可以采用A-優(yōu)化方法建立最優(yōu)化問題目標函數(shù)和約束條件.

A-優(yōu)化方法最小化了方差-協(xié)方差矩陣的跡,這里如式(12)的漸進方差-協(xié)方差矩陣.決策變量是 z1和 τ1.因此,目標函數(shù)及約束條件可以寫為

求解最優(yōu)化問題,可以得到滿足約束條件的決策變量最優(yōu)解,從而給出優(yōu)化的步進應力加速壽命試驗方案.

3 仿真實例

3.1 恒定應力加速壽命試驗優(yōu)化設計實例

假設某產(chǎn)品進行三水平恒定應力加速壽命試驗,試驗應力為溫度應力.可獲得的受試產(chǎn)品數(shù)量為 300個.受試產(chǎn)品的工作極限為 200℃.對于每個應力水平,截尾時間為 300 h,并且要求每個應力水平下至少有 20個受試產(chǎn)品失效.

溫度應力水平值依照阿倫尼斯模型轉(zhuǎn)換為100K-1.因此,正常應力水平 25℃以及產(chǎn)品工作極限應力水平 200℃分別轉(zhuǎn)換為 0.336和 0.211.假設采用比例危險-比例優(yōu)勢模型對該產(chǎn)品加速壽命試驗預試驗的失效數(shù)據(jù)進行評估得到的模型參數(shù)評估值為:β=-60,c=0.5,γ1=2,γ2=3.那么,針對正常應力水平下 300個受試產(chǎn)品運行300h的情況,計算得到模型參數(shù)的相關度為6.40.因此,認為模型參數(shù)相關性不可以忽略,采用 D-優(yōu)化方法進行試驗優(yōu)化設計.目標函數(shù)是如式(5)的 Fisher信息矩陣的行列式值,決策變量是 zi和 pi,i=1,2,3.對于該問題,建立目標函數(shù)和約束條件如下:

其中,n=300;τ=300;Ni=20,i=1,2,3.

滿足約束條件的決策變量最優(yōu)解為 z1=0.277,z2=0.255,z3=0.215,p1=0.454,p2=0.308,p3=0.238.因此,該產(chǎn)品恒定應力加速壽命試驗最優(yōu)試驗方案如表 1所示.

表 1 恒定應力加速壽命試驗最優(yōu)試驗方案

目標函數(shù)值為 3258595.14.由于信息矩陣與方差-協(xié)方差矩陣互逆,因此,方差-協(xié)方差矩陣的行列式值即模型參數(shù)評估值聯(lián)合置信區(qū)間的體積為 3.069×10-7.可以看出,通過基于信息的優(yōu)化方法對恒定應力加速壽命試驗進行優(yōu)化設計可以有效地提高模型參數(shù)的評估精度.

3.2 步進應力加速壽命試驗優(yōu)化設計實例

假設一產(chǎn)品進行兩水平步進應力加速壽命試驗,試驗應力為溫度應力.可獲得的受試產(chǎn)品數(shù)量為 300個.受試產(chǎn)品的工作極限為 200℃.試驗在低應力水平 z1進行 τ1時間后,轉(zhuǎn)到高應力水平 z2(取為產(chǎn)品工作極限 200℃),并在 τ2=300h截尾.要求低應力水平 z1下至少有 50個受試產(chǎn)品失效.

假設模型參數(shù)評估值與恒定應力加速壽命試驗優(yōu)化設計實例中相同,那么,模型參數(shù)相關性不可以忽略,采用 D-優(yōu)化方法進行試驗優(yōu)化設計.目標函數(shù)是如式(11)的 Fisher信息矩陣的行列式值,決策變量是 z1和 τ1.對于該問題,建立目標函數(shù)和約束條件如下:

其中,z2=0.211;n=300;N1=50;τ2=300.

滿足約束條件的決策變量最優(yōu)解為 z1=0.258,τ1=156.8.因此,該產(chǎn)品步進應力加速壽命試驗最優(yōu)試驗方案如表 2所示.

表 2 步進應力加速壽命試驗最優(yōu)試驗方案

目標函數(shù)值為 10546 881.35.由于信息矩陣與方差-協(xié)方差矩陣互逆,因此,方差-協(xié)方差矩陣的行列式值即模型參數(shù)評估值聯(lián)合置信區(qū)間的體積為 9.481×10-8.可以看出,通過基于信息的優(yōu)化方法對步進應力加速壽命試驗進行優(yōu)化設計可以有效地提高模型參數(shù)的評估精度.

4 結(jié)束語

本文基于比例危險-比例優(yōu)勢模型,分別針對恒定應力和步進應力兩種應力加載方式給出了加速壽命試驗優(yōu)化設計方法.通過對數(shù)似然函數(shù)建立了 Fisher信息矩陣和方差-協(xié)方差矩陣,并采用基于信息的優(yōu)化方法建立了最優(yōu)化問題.本方法以信息矩陣的行列式值或方差-協(xié)方差矩陣的跡為優(yōu)化目標,從而避免了傳統(tǒng)的基于非參數(shù)模型的加速壽命試驗優(yōu)化設計方法中由于目標函數(shù)中積分區(qū)間變化而造成的優(yōu)化結(jié)果不一致的問題.最后給出了運用該方法進行加速壽命試驗優(yōu)化設計的仿真實例.仿真實例結(jié)果表明這種試驗優(yōu)化設計方法可以有效地提高模型參數(shù)的評估精度.

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(編 輯 :婁 嘉)

Optimum design of accelerated life testing based on proportional hazards-proportional oddsmodel

Huang Tingting Jiang Tongmin

(Dept.of System Engineering of Engineering Technology,Beijing University of Aeronautics and Astronautics,Beijing 100191,China)

Huo Ruijian

(China XinshidaiCompany,Beijing 100034,China)

Information based optimality criteria were adopted in the optimum design of accelerated life testing(ALT)based on non-para metric model.The optimum design of accelerated life testing based on proportional hazards-proportional odds model was processed for constant stress loading and step stress loading respectively.The optimum problem was established by defining Fisher information matrix and variance-covariance matrix based on log-likelihood function.These optimality criteria could improve the accuracy of model parameter estimates effectively and they avoided the drawbacks of the traditional optimality criteria which minimized the integral of asymptotic variance of a reliability-related function over a specified time period undernormal operating condition that might result in different optimum solutions with the varying of the length of the time period.Numerical examples were given to demonstrate these methods.

test planning;information based optimality criteria;proportional hazards-proportional odds model;non-parametricmodel;accelerated life testing

TB 114.3

A

1001-5965(2010)05-0570-06

2009-10-14

黃婷婷(1981-),女,新疆烏魯木齊人,博士生,huangtingting@dse.buaa.edu.cn.