巧用方法 妙在變形
——談談求陰影圖形面積的十二種技巧

■王慶明羅蘭香

巧用方法 妙在變形
——談談求陰影圖形面積的十二種技巧

■王慶明羅蘭香

求組合圖形的面積是小學數學教學的難點之一。這類題目由于融識圖分析、基本幾何圖形的特性及計算、空間想象能力于一體，知識、能力的綜合性強。對于這類問題的解答，除了要熟練地掌握平面圖形的概念和面積公式之外，還要利用圖形運動變化的規律來尋求解答途徑，使一些表面上看來條件不足、不能計算的求積問題，通過轉化使圖形化繁為簡，使解題思路更加簡捷。這樣不僅能使我們熟練地掌握分析圖形和進行面積計算的方法和技巧，還能有效地提高我們的識圖能力、分析綜合能力和空間想象能力。根據長期的教學實踐的探索與研究，下面談談平面組合圖形求積的幾種方法。

一、去空求差法

去空求差即一個圖形由陰影部分和空白部分組成，從整個圖形中去掉空白部分而求得陰影部分面積的一種方法。

例1求陰影面積（單位：厘米）

分析與解答：此題的解題思路為：S陰影=S梯形-S扇形，已知：a=8 b=4 h=4 r=4 n=90°+90°÷2=135°所以：S陰影=（8+4）×4÷2-× 135=18.84（平方厘米）。

二、等分法

等分法是將所求部分等分成若干份，先求出一份，再求出要求圖形面積的方法。

例2在長方形ABCD中，Q為長邊的中點，P為寬為的中點，問下圖陰影部分面積占長方形的幾分之幾？

分析與解答：作輔助線QM、PN、MN，把長方形分為8等份，陰影部分的面積占3等份，故陰影部分的面積占長方形的。

三、割補法

割補法指在組合圖形中，把其中一部分圖形割下來，補在另一部分圖形有適當位置上，使兩部分的陰影圖形相拼后，組成一個求積運算比較簡單的圖形。

例3求陰影部分的面積（單位：厘米）

分析與解答：把陰影部分的小半圓割下，補在上面的空白小半圓處。兩部分陰影圖形相拼，拼合成一個直徑是4厘米的半圓。

所以：S陰影=3.14×（4÷2）2÷ 2=6.28（平方厘米）

四、擴倍法

擴倍法是把圖形擴大倍數，先求擴倍的面積，再求原圖面積的方法。

例4求陰影部分的面積（單位：厘米）

分析與解答：將圖1擴大一倍變為圖2，所以圖1陰影部分的面積為：10×10-3.14×5×5=21.5（平方厘米）。

五、平移法

平移法即把組合圖形中的一部分陰影圖形作水平移動，與另一部分陰影圖形相拼，組成一個求積運算比較簡單的圖形。

例5求下圖陰影部分的面積（單位：厘米）

分析與解答：把圖中左邊的陰影圖形向右作水平移動，與右邊的陰影圖形相拼，拼合成一個直角梯形。S陰影= [（6-2）+（4-2）]×2÷2=6（平方厘米）。

六、翻折法

翻折是指把一個圖形按某一直線翻折180°后所形成的新圖形的變化。在較復雜的計算陰影部分面積的幾何題中，有些題目運用分解法求解非常麻煩，但若能根據圖形及數據的特點，運用翻折法便可十分簡捷地得出解答。

例6求下圖陰影部分的面積（單位：厘米）

分析與解答：沿著OA把上面的圖形向下翻折，兩邊的陰影圖形拼合成一個三角形。所以S陰影=3×（3÷2）÷ 2=2.25（平方厘米）。

七、旋轉法

旋轉法是以組合圖形中的某一點為旋轉中心，把組合圖形中的一部分圖形旋轉，與另一部分圖形相拼，使陰影圖形變成一個求積運算比較簡單的圖形。

例7如圖，正方形ABCD的面積是36平方厘米，求陰影部分的面積。

分析與解答：設小圓半徑為r，4r2=36，r=3，大圓半徑為R，R2=2r2=18，將陰影部分通過轉動移在一起構成半個圓環，所以陰影部分的面積為：

π（R2-r2）÷2=4.5π=14.13

八、等積變形法

等積變形法是通過圖形之間的等積變形而獲得其解的方法。

例8下圖梯形中兩個陰影部面積的和應是多少平方厘米？

分析與解答：可根據同底等高的三角形面積相等，用添輔助線進行等變形來解此題。因梯形的高為3×4÷ 5=厘米，連接BE，那么S三角形ASC= S三角形BCE，所以S陰影=S三角形BED=×（平方厘米）。

九、比例法

比例法是利用圖形之間的比例關系來解題的一種方法。

例9一塊長方形耕地，它由四個小長方形拼合而成，其中三個小長方形的面積分別為15、18、30公頃，圖中陰影部分的面積是多少？

分析與解答：因為陰影部分也是一長方形，所以只要求出它的長、寬是多少就行，為此設它的長、寬分別為a、b，面積為18公頃的長方形的長、寬分別為c、d，按公式便有：

a×c=15，c×d=18，b×d=30，

因為（a×c）×（b×d）=15×30，

而（a×c）×（b×d）=（a×b）×（c× d）=18×（a×b）

所以a×b=15×30÷18=25

陰影部分的面積為25公頃。

此題可以直接按比例關系來理解。因為（a×c）：（d×c）=（a×b）：（d×b），a：d=15：18=陰影面積：30，求出陰影面積為15×30÷18=25（公頃）。

十、等量代換法

等量代換法指一個圖形可以用與它相等的另一個圖形替換，如果甲乙大小相等，那么求出乙的大小，就知道甲的大小；兩個圖形同時增加或減少相同的面積，它們的差不變。

例10平行四邊形ABCD的邊BC長8厘米，直角三角形ECB的直角邊EC長為6厘米。已知陰影部分的總面積比三角形EFG的面積大8平方厘米，平行四邊形ABCD的面積是多少？

分析與解答：陰影部分的總面積比三角形EFG的面積大8平方厘米，分別加上梯形FBCG，得出的平行四邊形ABCD比三角形EBC的面積大8平方厘米。

平行四邊形ABCD的面積：8×6÷ 2+8=32（平方厘米）。

十一、布列方程法

布列方程法是通過設未知數、布列方程而使問題獲得解答的方法。

例11 ABCD是一個長方形，BC=9厘米，CD=6厘米，且三角形ABE、三角形ADF和四邊形ABCF的面積彼此相等，求三角形AEF的面積是多少？

分析與解答：從圖中可以看出，三角形AEF的面積，等于四等邊AECF的面積與三角形ECF面積之差，由于三角形ABE、三角形ADF和四邊形AECF的面積彼此相等，而長方形ABCD的面積為6×9=54（平方厘米），所以四邊形AECF的面積為54÷3=18（平方厘米）。另外只要算出EC、FC的長度，便能求出三角形CEF的面積。

因為三角形ABE、ADF是直角三角形，面積都是18平方厘米。而根據面積公式有18=×AB×BE，18=× AD×DE，AB=6厘米，AD=9厘米，即得兩個簡易方程：×6×BE=18，× 9×DF=18，BE=6厘米，DF=4厘米。EC=BC-BE=9-6=3（厘米），CF=CDDF=6-4=2（厘米）。

十二、參數過渡法

有些題初看起來比較麻煩，一時難以找到解題途徑，如果通過一些字母（即參數）作為過渡，往往能迎刃而解，這樣的方法稱為參數過渡法。

例12在下圖中，正方形的面積是24平方厘米，求陰影部分的面積。

分析與解答：因圓的直徑正好是正方形的對角線，設圓的半徑為r，則正方形的面積為：r×2r××2=24，所以r=24÷（r×2r××2×）=12，因此陰影部分的面積為：S陰影=S圓-S正方形=3.14×12-24=13.68（平方厘米）。

除以上常用的12種方法外，還有重疊法、假設法、代數法和添輔助線法等等。由于組合圖形千變萬化，不可能有一固定的解題模式，所以應對具體的問題進行具體的分析。在認真分析題意的基礎上，靈活發揮和借鑒上述解題的思想方法，一般的組合圖形面積問題都可以順利求解。

武漢市新洲區辛沖鎮河東中心小學）

責任編輯 廖林