一種可靠性增長試驗抽樣數Max-Min準則的反饋修正方法

王星博，李本威，陳定海，浦 鵬

（1.海軍航空工程學院 a.飛行器工程系，山東 煙臺 264001；b.青島分院，山東 青島 266041；2.91423 部隊，遼寧 大連 116000）

成敗型航空產品可靠性增長試驗抽樣數的研究是可靠性增長試驗規劃的一個重要方面。1992年，美國國防部科學顧問Seglie E.A教授在一篇武器系統研究報告中首次提出成敗型產品的可靠性增長試驗問題[1]。此后，這一問題引起許多學者的關注，紛紛開始進行相關研究。1996年Mu-Yeh Huang提出了MYOPIC可靠性增長試驗規劃模型[2-3]。受他的啟發，其他學者發展了不同的序慣決策模型。1997年和2003年Gaver D.P.教授以導彈研制試驗為例，從消除產品失效模式角度提出和發展了一種Max-Min模型，并建立Bayes分析方法，得到產品研制試驗的最佳試驗量[4]。

國內對這一問題研究較少。國防科大劉飛等針對固體火箭發動機開展了成敗型產品可靠性增長試驗規劃研究，引入了Max-Min模型，取得了良好效果[5]。

本文從航空發動機部件系統性缺陷數角度結合試驗數據的分析處理建立數學模型，在初始故障數分別服從二項分布、泊松分布、幾何分布的條件下，通過理論推導給出帶樣本最大似然估計值反饋循環修正的可靠性增長試驗數最小化最大準則，為成敗型部件可靠性增長試驗抽樣數的確定提供了一種工程實用方法。

1 數學模型

對成敗型航空發動機部件，作以下模型描述：產品總數為n；初始系統性缺陷數為F0；其導致的失效率均為p0；通過可靠性增長試驗發現這些缺陷。若試驗失敗，則查找導致失敗的故障模式，改進設計，盡可能地在以后的產品中消除此類故障。研究的問題為如何合理的選擇試驗抽樣數t，使余下的(n ? t)個產品成功數期望值最大[6]。

2 初始最小化最大停止準則

若原始設計生產n個產品，不做可靠性增長試驗，此時該批產品的成功數 R0服從成功率為的二項分布，即則條件期望為

如果隨機抽取t個產品樣本進行可靠性增長試驗，其中一些失效，通過確定故障模式和設計改進，從剩余產品中消除部分上述故障模式，使導致失敗的系統性缺陷數變為tF。此時，剩余產品成功數期望為

任一次抽樣試驗中，各種故障模式可能出現，也可能不出現，其出現概率為p0，假設出現了某種故障模式，通過改進設計成功消除的概率為b，則t次試驗后任一故障模式仍然存在的概率為(1 ? bp0)t，則 Ft關于 F0的條件分布為二項分布

由條件概率的性質可得t次試驗后剩余產品成功數的期望值為

因此，只要知道 F0的分布特征（函數），就可求得 E[Rt]。

取初始系統性缺陷數 F0的分布律為P{F0}，若所有參數已知或可估計，則由式(4)可得到最佳試驗量 t0=t0opt(n)，使剩余產品成功數期望值最大。實際應用過程中，初始參數 p0值不易確定，為消除E [Rt]與 p0的相關性，令 dE [Rt]dp0=0，求出 p0，使 E [Rt]取得最小值 Emin[Rt]。然后，基于可靠性增長的原則應選取使 Emin[Rt]最大的試驗量，記為t0，這就是Max-Min準則。

本文在初始系統性缺陷數 F0符合不同的離散分布時，推導出了Max-Min準則的表達式，如表1所示（推導過程略）。

表1 0F 不同分布條件下的最小化最大準則表達式

3 逐次抽樣樣本估計值反饋修正方法

F0為部件初始系統性缺陷數，為離散分布的正整數，Ft也是如此，但目標值 E [Rt]卻不一定是整數，它只是剩余產品成功數期望大小的度量。同樣，我們也可將 F0定義為連續的隨機變量來衡量系統性缺陷的多少。實際上，航空發動機部件結構的復雜性使系統性缺陷多樣化，有的缺陷用整數來度量往往無法準確界定，用實數描述更為合理。

若初始系統性缺陷數 F0的概率密度為f0(x),x≥0，其含有的參數為θ1、θ2、…、θk（k ∈ N）。此時，Emin[Rt]值只與n、θ1、θ2、…、θk（k∈ N）和t 有關，消除了 p0對初始試驗量選擇的影響。

初始參數 θ1、θ2、…、θk（k ∈ N）可由專家信息和相似系統試驗出現的系統性故障數目統計得到，記為此時，我們可以按照初步求得的t0為實驗量進行抽樣試驗。

對每一個產品的測試，只有成敗兩種結果，將其作為同分布的隨機變量Xi（i=1,2,…,t0），定義：

則可得：

式中：E[F0]為初始系統性缺陷數的數學期望，為θ1、θ2、…、θk的函數。

構造似然函數

或對數似然函數

分別令

或者

解上述由k +1個方程組成的方程組，即可得到各參數 θj（j=1,2,…,k）及 p0的最大似然估計值（對結構復雜的似然函數可由不同數值計算法由計算機求得極大似然估計）。由初步試驗數據得的估計參數顯然比先驗參數及 p0更加可靠，因此，用這些估計參數代替原來的先驗參數。

采用Max-Min準則求得使 E [Rt]值最大的t值，記為t1。如 t1=0，則停止試驗，最佳抽樣數取值為t0；如 t1≥ 1，說明前述的抽樣不夠，應追加試驗。

接下來規劃可靠性增長試驗時，為保證最高效的抽樣數量，采用的方式是每做一次抽樣試驗，充分利用樣本信息進行初始值的反饋修正，最大程度上確保可靠性增長的目標。

再次抽樣試驗的結果記為Xt0+1，與上次抽樣結果一起構造新的似然函數，由式(5)～(7)求得新的參數估計值此時，剩余產品系統性缺陷數為

剩余部件產品數量為n ?(t0+1)。

成功數期望

再次求使 E [Rt]最大的t值，記為t2。

重復上述步驟，直到 tM+1=0，停止試驗。

則總共進行了 M + t0次抽樣試驗，這就是我們尋找的最佳試驗量，最終剩余產品數為n? (M + t0)，系統性缺陷數為：

剩余部件產品成功數期望值為

4 實例分析

研制生產的某航空發動機部件數n=100個，隨機抽取部分樣品用于可靠性增長試驗，初始系統性缺陷數服從區間在(0,m)上的均勻分布，由歷史數據和專家信息初步確定先驗分布參數m=10，期望

由式(4)得

將上述參數代入計算，得

按 t0=12抽樣，試驗結果如表2所示：

表2 t0=12時可靠性增長試驗結果

由式(6)、(7)構造最大似然函數，解得各參數的極大似然估計值。由式(8)解得 t1=4，應繼續逐次抽樣試驗，將試驗結果構造新的似然函數，進行新的參數估計。按本文的反饋修正方法進行試驗和計算，結果如表3所示。

表3 可靠性增長試驗結果

根據計算，不進行增長試驗，該批產品的系統性故障模式數期望為5，由式(4)可求得產品總體可靠度期望為71.44%；按照Max-Min準則進行可靠性增長試驗，抽樣數為12，剩余系統性故障模式數期望為3.003 5，由式(8)可求得剩余產品可靠度期望為86.44%。由表3可見，經過試驗的產品可靠性得到較大程度的提高。采用本文所提出的抽樣反饋修正方法進行可靠性增長試驗，抽樣共分三階段，抽樣數分別為12、1、1，總數為14，剩余產品數為86，由式(10)可求得系統性故障模式數期望為2.631 9，剩余產品成功數期望為72.643 7，可靠度期望為84.47%。可見，通過試驗的追加，故障模式數進一步減少，但剩余產品可靠度期望也有所降低，這并不能說明隨著試驗的進行，可靠性呈現負增長，而是因為此前的參數存在偏差，導致對產品的期望過于樂觀。采用本文的分階段抽樣反饋修正方法更加可信和穩健。

5 結語

本文對航空發動機部件可靠性增長試驗量的確定問題進行了初步研究。以剩余產品成功數期望值最大為目標函數推導了幾種典型離散故障數分布情況下的Max-Min準則，首次提出一種反饋修正方法，得到最佳試驗量；采用上述方法對某發動機部件進行了可靠性增長試驗，效果明顯。由于模型假設針對部件產品的總體，不涉及其復雜的內部構造和子系統，因此，該方法具有較強的適應性，在工程中也可用于各種成敗型或現場不可修產品可靠性增長試驗量的確定問題。

但是，如果試驗前對產品性能水平無法把握，缺乏合理的先驗信息時，采用不同的分布類型及參數初始值，對過程中參數估值的影響和由此產生的偏差問題不容忽視，尤其是抽樣數過少時，較少的樣本信息可能無法修正較大的先驗值偏差，這些問題還有待進一步研究。

[1]SEGLIE E.How much testing is enough[R]//Paper Presented at the “Workshop on Statistical Issues in Defense Analysis and Testing” Sponsored by the National Research Council.Washington,D.C.,1992.

[2]HUANG MU-YEH,Douglas McBeth,Stephen B.Vardeman.Development test results[J].IEEE Transactions on Reliability,1995,3(45):189-198.

[3]HUANG MU-YEH.Design of developmental test programs for one-shot systems with two state reliability[D].Lowa State University,1995.

[4]GAVER D P,JACOBS P A.Probability models for sequential-stage system reliability growth via failure mode removal[J].International Journal of Reliability,Quality and Safety Engineering,2003,10(1):15-40.

[5]劉飛.固體火箭發動機可靠性增長試驗理論及應用研究[D].長沙:國防科技大學,2006.

[6]劉飛,竇毅芳,張為華,等.固體火箭發動機可靠性增長試驗規劃初步研究[J].戰術導彈技術,2007(6):1-3.