基于不敏變換的GDOP計算

譚順成，曾慶和，王國宏，王 娜，2

（1.海軍航空工程學院 信息融合技術研究所，山東 煙臺 264001；2.92941部隊，遼寧 葫蘆島 125001）

0 引言

系統對目標的定位誤差與目標相對于定位站的幾何關系密切相關。為了評估系統的定位性能，引入定位精度幾何稀釋（Geometrical Dilution of Precision，GDOP）作為評價指標[1-3]。通過對GDOP的計算，可以評價定位系統中各定位站的測量精度以及定位站的幾何布局對系統定位能力的影響。

對于非線性系統，其GDOP的計算通常是一個強非線性的問題，而現有的文獻一般采用線性化的方法對其進行求解[3-6]。在系統定位精度較高且定位函數的非線性較弱的情況下，通過線性化方法得到的GDOP與實際定位誤差基本相符合。但是在某些情況下，當定位精度較低或定位函數的非線性較強時，線性化方法得到的GDOP 并不可靠，對系統定位能力的分析造成嚴重的影響。

不敏變換（Unscented Transformation，UT）是用于計算經過非線性變換的隨機變量的一種新方法，可以非常方便地應用于非線性系統的狀態估計，因而在許多方面得到廣泛應用[7-11]。UT的基本思想是：近似非線性函數的概率密度分布比近似其函數本身更容易。因此，UT通過選取一系列完全體現高斯密度真實均值和協方差的σ 采樣點對非線性函數的PDF 進行近似，而不是對非線性系統進行線性化處理。本文針對強非線性系統，提出一種基于UT的GDOP計算方法，并將其與線性化求解GDOP的方法進行了分析和比較。

1 基于UT的GDOP計算

以三維非線性定位系統為例，GDOP的定義式

假定z為nz維隨機量測向量，其均值和協方差分別為和Pz，y為三維隨機定位向量，其均值和協方差分別為為非線性定位函數

與文獻[7]中的方法類似，基于UT方法的GDOP計算過程如下所述：

令

將式(7)代入式(1)得

2 仿真分析

本節以文獻[1]給出的時差無源定位模型為例，分別對基于線性化方法和UT方法的GDOP 進行計算，并與平均系統定位誤差進行分析和比較。

2.1 仿真場景

圖1為三站時差無源定位的示意圖。3個無源傳感器1、2和3分別位于點A、O和B。

圖1 三站時差無源定位原理

由文獻[1]可知，該系統的定位方程為

其中，

式中：點(x,y)表示輻射源位置；l1=l2=40 km分別表示傳感器1、2和傳感器2、3之間的量測距離；θ為傳感器1、2和傳感器2、3的基線之間的夾角；1θ和2θ分別為輻射源主波束依次掃過傳感器1、2和2、3形成的夾角。

設輻射源掃描周期為T=10 s，主波束依次掃過傳感器1、2和2、3的掃描時差分別為Δt12和Δt23，則

假設量測距離1l、l2和掃描時差Δt12、Δt23的量測誤差是相互獨立的零均值高斯隨機噪聲，其標準差分別為為了計算簡便，令θ=0 °（即 3個傳感器位于同一直線上），基于線性化方法和UT方法的GDOP計算分別如式(15)和式(16)所示。

式中：

其中，

而 PUT,y由第1節的計算方法得到。

2.2 仿真結果

圖2、3分別為線性化方法和UT方法得到的GDOP分布，圖4為基于200次Monte Carlo仿真取平均得到的系統定位誤差分布?；趯ΨQ性，文中只給出了各分布圖的上半部。

圖2 基于線性化方法的GDOP分布

圖3 基于UT方法的GDOP分布

圖4 基于200次Monte Carlo仿真取平均的系統定位誤差分布

為了方便比較，表1給出了某些點分別基于兩種方法得到的GDOP以及這些點的平均系統定位誤差。

從圖2和圖4可以看出，當目標距傳感器較遠時，基于線性化方法的GDOP分布與平均系統定位誤差相近；而當目標距傳感器較近時，其GDOP分布嚴重偏離平均系統定位誤差。而由圖3和圖4可以看出，基于UT方法得到的GDOP分布與平均系統定位誤差分布非常接近。

從表1可以得出相同的結論。由仿真結果可知，當定位系統的非線性較強時，基于線性化方法得到的GDOP 并不可靠，而基于UT方法得到的GDOP則能夠較準確的反映系統定位誤差。造成這種結果的可能原因是：基于UT方法的GDOP可以精確到二階項，而線性化方法僅保留了泰勒展開式的第一階項，因此造成較大的誤差。

表1 某些點的GDOP和平均定位誤差 km

3 結論

本文首先提出了一種基于UT方法的GDOP計算方法，然后通過一個三站時差無源定位的例子證明：在定位系統的非線性較強的情況下，基于線性化方法得到的GDOP 并不可靠，而基于UT方法得到的GDOP 則能比較準確的反映系統定位誤差。因此，強非線性情況下利用線性化方法計算GDOP 必須特別慎重，而基于UT的方法不失為一種較好的可選擇方法。

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