Gamma過(guò)程退化失效可靠性分析

孫中泉，趙建印

（海軍航空工程學(xué)院 a.科研部；b.兵器科學(xué)與技術(shù)系，山東 煙臺(tái) 264001）

0 引言

可靠性是產(chǎn)品的一個(gè)重要的質(zhì)量特性，它在滿足用戶“需求”方面起著極為重要的作用。傳統(tǒng)的可靠性分析方法分析的對(duì)象為壽命數(shù)據(jù)，即產(chǎn)品的失效時(shí)間，通過(guò)對(duì)壽命數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析確定產(chǎn)品的壽命分布，進(jìn)而確定產(chǎn)品的可靠性特征量。隨著科技的不斷進(jìn)步，設(shè)計(jì)、制造方法以及使用材料的不斷提高與改善，產(chǎn)品的可靠性越來(lái)越高，壽命越來(lái)越長(zhǎng)，這使得產(chǎn)品在較短的時(shí)間內(nèi)很難失效，由于得不到足夠的失效數(shù)據(jù)，使得基于壽命數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析的可靠性分析結(jié)果精度很差，理論與實(shí)際脫離，僅利用壽命數(shù)據(jù)評(píng)價(jià)產(chǎn)品可靠性變得非常困難。在某些情況下，如果產(chǎn)品的失效是由于其某些性能指標(biāo)隨時(shí)間不斷退化而引起的，那么可以使用性能退化分析代替?zhèn)鹘y(tǒng)的失效數(shù)據(jù)分析來(lái)進(jìn)行產(chǎn)品的可靠性評(píng)估。

實(shí)際上，相對(duì)于失效數(shù)據(jù)來(lái)說(shuō)，產(chǎn)品的退化數(shù)據(jù)包含更多的可靠性信息[1]。另外，通過(guò)產(chǎn)品的退化信息進(jìn)行可靠性分析更節(jié)省試驗(yàn)時(shí)間和費(fèi)用。

所謂退化失效是指產(chǎn)品在以往的存儲(chǔ)或工作過(guò)程中，產(chǎn)品的功能表征量隨時(shí)間的延長(zhǎng)而逐漸緩慢地下降，直至達(dá)到無(wú)法正常工作的狀態(tài)（通常規(guī)定一個(gè)判定的臨界值，即退化失效標(biāo)準(zhǔn)），產(chǎn)品退化過(guò)程一般是一個(gè)單調(diào)的過(guò)程。已經(jīng)有一些學(xué)者對(duì)基于退化數(shù)據(jù)的可靠性分析方法進(jìn)行了研究，文獻(xiàn)[1]的工作對(duì)退化失效模型的一些問(wèn)題做了討論，而且在相當(dāng)一般的條件下，提出了一些解決問(wèn)題的方法；文獻(xiàn)[2]的工作更進(jìn)一步，采用多重多元回歸模型來(lái)描述產(chǎn)品的退化過(guò)程，該模型包含了文獻(xiàn)[1]所給出的模型；文獻(xiàn)[3]利用退化信息對(duì) ILF（Integrated Logic Family，一種新一代海底電纜的組件）進(jìn)行了可靠性評(píng)估；文獻(xiàn)[4]對(duì)一些相關(guān)的研究做了較好的總結(jié)。以上文獻(xiàn)的研究主要利用隨機(jī)系數(shù)或混合系數(shù)的回歸模型來(lái)描述產(chǎn)品的退化量。但是，由于受到產(chǎn)品材料、應(yīng)力以及環(huán)境的隨機(jī)因素的影響，產(chǎn)品的退化過(guò)程一般可認(rèn)為是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，因此可以利用隨機(jī)過(guò)程對(duì)產(chǎn)品退化失效進(jìn)行建模。文獻(xiàn)[5-6]采用布朗運(yùn)動(dòng)可用來(lái)描述產(chǎn)品退化量的增長(zhǎng)，通過(guò)求解該過(guò)程首次達(dá)到失效閾值時(shí)間的分布來(lái)獲取產(chǎn)品的失效分布。根據(jù)該隨機(jī)過(guò)程，某一時(shí)間段內(nèi)的退化量服從正態(tài)分布，不能保證退化量的增長(zhǎng)是單調(diào)遞增的。因此，對(duì)于描述單調(diào)變化的退化過(guò)程來(lái)說(shuō)，該過(guò)程并不很合適。

對(duì)于退化量的描繪，Gamma過(guò)程是更為合適的，它能保證退化量是單調(diào)遞增的。根據(jù)以上分析，為更好地描繪產(chǎn)品的退化失效，本文給出了一個(gè)基于隨機(jī)Gamma過(guò)程的退化失效模型。

1 退化失效模型

設(shè)產(chǎn)品的性能參數(shù)為y (t)，它隨使用時(shí)間的增加逐漸單調(diào)下降，產(chǎn)品初始性能值記為y0，它是一個(gè)已知量。另記 w(t)=y (t)?y0，表示到t時(shí)刻產(chǎn)品累積退化量的大小。由于退化量單調(diào)上升，對(duì)于任意的ti、tj，如果 tj＞ti，必有 w(tj)?w(ti)＞0。

Gamma分布為常用壽命分布之一，它具有形狀參數(shù)和尺度參數(shù)兩個(gè)參數(shù)，其形狀參數(shù)取不同值時(shí)，Gamma分布形狀多樣，可表征多種數(shù)據(jù)變化特性。因此，這里我們利用Gamma分布來(lái)描述退化量的隨機(jī)性，利用隨機(jī)Gamma過(guò)程來(lái)描述退化量隨時(shí)間變化的情況。即假設(shè){w(t),t ≥ 0}為一個(gè)隨機(jī)Gamma過(guò)程，它具有如下特性：

1）w(0)=0；

2）對(duì)任意的τ＞t，w(τ)?w(t)服從Gamma分布 Ga (α (τ)?α (t),λ(t))；

3）w(t)具有獨(dú)立增量，即任意對(duì)于 t1＜t2＜…tn(n＞2)，諸增量 w(t2)?w(t1),…,w(tn)?w(tn?1)相互獨(dú)立。

根據(jù)以上分析，退化量 w(t)服從Gamma分布Ga (α (t),λ(t))，其密度函數(shù)為

使用Gamma過(guò)程描述產(chǎn)品退化時(shí)，假設(shè)Gamma分布中的尺度參數(shù)λ (t)不隨時(shí)間變化，即λ(t)≡ λ，而形狀參數(shù)為時(shí)變參數(shù)。經(jīng)驗(yàn)表明，一般情況下t時(shí)刻退化量的期望與時(shí)間的冪成正比，故設(shè)α (t)=ktb。因此，t時(shí)刻退化量 w(t)的分布密度為

記產(chǎn)品的失效閾值為l，產(chǎn)品失效時(shí)間為T，根據(jù)退化失效的定義，則

即失效時(shí)間為性能退化量首次達(dá)到失效閾值的時(shí)刻。也就是

該Gamma過(guò)程首達(dá)時(shí)的分布即為產(chǎn)品的失效分布。一般情況下很難利用解析方法求得Gamma過(guò)程首達(dá)時(shí)分布，因而可考慮采用仿真的方法求解。這里我們利用Monte-Carlo仿真模擬退化量的增長(zhǎng)過(guò)程來(lái)求產(chǎn)品的失效時(shí)間，由仿真產(chǎn)生的一組失效數(shù)據(jù)進(jìn)一步可求產(chǎn)品失效分布的經(jīng)驗(yàn)函數(shù)，并基于此進(jìn)行可靠性統(tǒng)計(jì)推斷。可按如下步驟仿真產(chǎn)生一個(gè)失效時(shí)間：

1）積退化量w=0，t=0；

2）產(chǎn)生服從Gamma分布函數(shù)Ga(α (t)?α (t?1),λ)的隨機(jī)數(shù)wt，該隨機(jī)數(shù)即為t時(shí)刻單位時(shí)間內(nèi)的產(chǎn)品退化量的大小，令 w=w+wt；

3）累積退化量w與失效閾值l的大小，如果w ≥ l，則執(zhí)行4），否則返回2）；

4）T為品的失效時(shí)間。

2 參數(shù)估計(jì)

設(shè)有m個(gè)樣品做性能退化試驗(yàn)，分別在t1＜t2＜…＜tn時(shí)刻對(duì)樣品進(jìn)行測(cè)量并記錄其性能退化量的大小，通過(guò)退化試驗(yàn)可得到數(shù)據(jù){wij;i=1,2,…,m,j=1,2,…,n}，其中 wij表示第i個(gè)樣品的第j次測(cè)量時(shí)測(cè)得的累積退化量的值。模型(2)中未知參數(shù)為λ、k、b，下面我們利用試驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)它們。

產(chǎn)品t時(shí)刻的退化量大小 w(t)服從Gamma分布，分布的尺度參數(shù)不隨時(shí)間變化，形狀參數(shù)是時(shí)變參數(shù)，t時(shí)刻的退化量的均值和方差分別為

對(duì)固定j，j=1,2,…,n，由數(shù)據(jù){wij;i=1,2,…,m}可求得第j次測(cè)量時(shí)刻產(chǎn)品退化量均值和方差的估計(jì)值由于則利用可求得λ的估計(jì)值

對(duì)上式兩邊取對(duì)數(shù)，有

基于模型通過(guò)Monte-Carlo仿真即可獲得產(chǎn)品的失效分布。

3 實(shí)例分析

金屬化膜脈沖電容器是一種高可靠性器件，許多的激光慣性約束核聚變（ICF）試驗(yàn)裝置，例如國(guó)外的NIF、OMEGA 或國(guó)內(nèi)的神光III 等強(qiáng)激光裝置[7-8]，均采用是該種電容器來(lái)提供泵浦能量。該型電容器元件是由兩張單面蒸涂厚約20～100 nm的薄金屬（鋁或鋁合金）的有機(jī)膜繞卷而成的，電流的引出是由元件兩端面噴以金屬層來(lái)實(shí)現(xiàn)的，由于膜在生產(chǎn)過(guò)程中不可避免地存在帶有雜質(zhì)或缺陷的區(qū)域，從而使得這些區(qū)域的耐電強(qiáng)度較低，形成“電弱點(diǎn)”。在外施電壓不斷作用下，電弱點(diǎn)處薄膜會(huì)首先被擊穿而形成放電通道，當(dāng)薄膜被擊穿的同時(shí)，電荷通過(guò)擊穿點(diǎn)形成大電流，引起局部高溫，擊穿點(diǎn)處的薄金屬層會(huì)迅速蒸發(fā)并向外擴(kuò)散使絕緣恢復(fù)，這樣，局部擊穿不會(huì)影響到整個(gè)電容器，電容器仍然可以使用，這一過(guò)程稱為“自愈”[9]，單次自愈過(guò)程所造成的僅是電容量極微小的損失。在使用過(guò)程中電容器不斷發(fā)生自愈，電容不斷降低，當(dāng)電容下降量超過(guò)預(yù)定閾值時(shí)電容器將發(fā)生退化型失效。對(duì)于工作在高場(chǎng)強(qiáng)下的金屬化膜電容器來(lái)說(shuō)，一般退化型失效模式的失效閾值取為5%[10]。

利用以上模型，我們下面對(duì)強(qiáng)激光裝置所用的某型金屬化膜脈沖電容器進(jìn)行可靠性分析。共有8臺(tái)電容器進(jìn)行性能退化試驗(yàn)，電容器每充放電1 000次做一次測(cè)量，共運(yùn)行了10 000次。

圖1給出了電容器的容值退化量隨時(shí)間的變化情況，圖中橫坐標(biāo)為充放電次數(shù)，縱坐標(biāo)為電容器容值。

圖1 電容器容值退化情況

將以上各估計(jì)值帶入到式(2)即可獲得退化量的分布密度函數(shù)，基于該函數(shù)，利用仿真方法獲取退化量到失效閾值的一組首達(dá)時(shí)，即失效時(shí)間，利用這一組失效時(shí)間可進(jìn)一步求得電容器失效分布的經(jīng)驗(yàn)函數(shù)。

另外，由于經(jīng)驗(yàn)函數(shù)在工程上不好應(yīng)用，而雙參數(shù)的Weibull分布可以表示故障率遞增、遞減或恒定的故障類型，具有很好的靈活性，因而可以用雙參數(shù)的Weibull分布擬合該經(jīng)驗(yàn)函數(shù)，雙參數(shù)的Weibull分布函數(shù)及其密度函數(shù)為

圖2 電容器失效概率曲線

圖3 Weibull 失效分布概率密度曲線

4 小結(jié)

由于受到其內(nèi)部結(jié)構(gòu)、材料特性、應(yīng)力以及工作環(huán)境等因素的隨機(jī)影響，產(chǎn)品的退化一般可認(rèn)為是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，并且該退化過(guò)程一般是單調(diào)變化的，當(dāng)退化量首次達(dá)到其失效閾值時(shí)產(chǎn)品便會(huì)發(fā)生退化失效。根據(jù)退化過(guò)程的特點(diǎn)，本文給出了一個(gè)基于隨機(jī)Gamma過(guò)程的退化失效模型，以及模型參數(shù)的估計(jì)方法，由于采用解析方法求解退化量首達(dá)時(shí)的分布存在一定難度，因而本文給出了一個(gè)基于仿真的求解方法。文章最后利用所得模型對(duì)強(qiáng)激光裝置所用某型金屬化膜脈沖電容器進(jìn)行了可靠性分析并給出了可靠性評(píng)估結(jié)果，該結(jié)果表明所給模型在工程中是適用的。

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