基于simulink參數尋優的靜不穩定導彈三回路過載控制系統設計

李世雄，張友安，尹遜青

（1.海軍航空工程學院 控制工程系，山東 煙臺 264001；2.海裝武漢局駐洛陽軍事代表室，河南 洛陽 471000）

由于具有靜不穩定性的導彈或飛行器，其機動能力和航程要好于靜穩定導彈或飛行器，所以有著廣泛的應用背景[1]。

近些年由于導彈等空中武器飛速發展，靜不穩定設計逐漸成為主流，相應的靜不穩定控制技術也逐漸成為研究熱點。因此，設計出能滿足靜不穩定導彈穩定飛行的控制系統在提高導彈的可靠性、飛行特性與操作品質上，有著重大的理論意義與實際價值[2]。在設計出靜不穩定導彈的控制系統后，控制系統的參數不一定是最優的，也就是說不能使導彈達到最佳的控制效果。為解決這個問題本文提出了基于simulink參數尋優的方法對控制參數進行優化。

1 導彈縱向運動模型

我們選取導彈的縱向運動擾動方程來作為研究對象，縱向擾動運動線性化方程表示如下[3]：

為了將縱向擾動運動方程組用矩陣形式表示：

我們可以用以 α?、zω?為狀態變量的二階運動方程來近似描述導彈縱向小擾動短周期運動。簡化后的二階小擾動運動狀態方程如下

式中：

代入動力學系數得：

式中：A、B 同式(3)；

2 基于最優控制理論的縱向通道三回路過載控制

靜不穩定導彈，自身彈體沒有穩定效應，故需要人工設計穩定控制系統來穩定導彈的飛行。通常的導彈是靜穩定的，只要有控制回路一般就能控制導彈飛行，但對于靜不穩定導彈，需要在控制系統中加入穩定回路，即通常所說的姿態控制回路。三回路過載控制系統就是內回路為姿態控制穩定回路，外回路為過載控制回路的靜不穩定導彈控制系統[4-6]。下面從理論上來設計這種控制系統。

因為控制的目標是盡可能的跟蹤加速度指令，以及控制使用的舵偏能量最少。所以用加速度誤差平方的積分和舵機偏轉速率平方的積分之和作為控制系統設計的最優控制目標，應用最優控制原理建立的控制系統模型如下

這里如果不引入一個狀態估計器的話，需要增加一個測量量，為此我們假設控制偏轉是確實可測的，則系統變成

如果我們稍微改變一下轉換關系，則可以不需要濾波器。

令

運用轉換關系 x2=C1x1，則系統方程變為

建立目標函數如下

所以 H1=C1(1,:)，L1=[0]。

和前面一樣，LQR 最優解可以通過以下得到

則控制律為

式中：AC=A2+B2Kopt；

按目前的機構，俯仰角加速度是不可測的，注意到最優控制 u2實際上是zδ˙，所以兩邊同時積分：

根據上面的控制律我們可以得到控制系統框圖如圖1所示。

圖1 三回路過載控制框圖

3 基于最優控制器設計理論的控制參數優化

1）最優控制的概念

所謂“最優控制”，就是在一定的具體條件下，要完成某個控制任務，使得選定指標最小或最大的控制，常用的目標函數[7]有

式中：n=0稱為ISE指標，n=1 和n=2分別稱為ISTE 和IST2E指標，另外還有常用的IAE 和ITAE指標，其定義分別為

上面都是一些誤差積分指標，還有些指標是時間最短，能量最小等指標，此處不列舉。為使得最優控制問題解析可解，通常需要引入兩個其他矩陣Q、R，這樣雖然能得到數學上較好的狀態反饋規律，但這兩個加權矩陣卻至今沒有被廣泛認可的選擇方法，這使得系統的最優準則帶有一定的人為因素，沒有足夠的客觀性。

隨著像MATLAB 這樣強有力的計算語言與工具普及后，很多最優控制問題可以變換成一般的最優化問題，用數值最優化方法就可以簡單地求解。

2）最優控制數值優化的解算原理

最優控制數值優化方法，目的也是為了求得滿足約束要求的最優反饋增益矩陣Kopt，但是它是基于數值尋優的解算方法，也就是說對于選定的目標函數或性能指標，在一定范圍內我們按照某種尋優算法嘗試不同的狀態反饋增益矩陣K，計算出對應的性能指標大小J，然后從中找出使目標函數或性能指標最小的K 就是最優反饋增益矩陣Kopt。

3）基于simulink的最優反饋參數尋優

上面介紹了最優控制的概念和它的解算過程，下面就基于simulink 來實現這種最優控制器設計以及參數尋優。為便于理解，我們結合本文所設計的控制回路來詳細的說明整個設計和尋優過程。圖2是本文所采用的三回路過載控制simulink 結構圖。

圖2 三回路過載控制simulink 結構圖

下面我們選擇性能指標函數，一般采用誤差信號ITAE 準則作為性能指標

這里的e(t)是輸入過載指令Ayc與輸出過載yA的差。

把式(13)編寫成simulink模塊加入到三回路過載控制結構圖中，結果見圖3。

圖3 基于ITAE 準則控制參數尋優三回路過載控制simulink 結構圖

將圖3中的simulink模型保存到OCD 最優控制器設計工具箱中，在MATLAB 命令窗口中輸入OCD 命令，選定需要優化的模型，輸入要優化的狀態反饋參Kss、KAy、?K、K?˙，輸入反饋參數的初始值。需要說明的是，初始值設定對于參數尋優效果非常重要，尤其回路結構比較復雜時，如果初始參數偏離太大可能尋找不到最優反饋參數，或者計算機找到的最優反饋參數不準確。確定初始反饋參數的方法有傳統的根軌跡設計法和LQR 最優控制方法。

最后輸入我們搜索反饋參數的邊界條件，這個邊界一般比初始參數大一個數量級就可以了。

4 控制系統仿真

選取的特征點[8]處的系統矩陣為：

由A 中第二行第一列數據為正可以知道我們選取的控制對象是靜不穩定彈體。將上面的系統矩陣寫成傳遞函數形式為

先用LQR 最優控制來求解初始參數。由前文中確定的系統矩陣A、B可以計算出三回路過載控制對應的系統矩陣令Q=2，R=1，在MATLAB 中用LQR 命令解出來結果為：

K=[1.3709 ?1.0316 7.2087 1.0710]T。

由圖4可以看出，經過由LQR 最優控制計算出的參數經過ITAE 準則優化后，對控制系統的控制效果有明顯改善，上升時間明顯縮短，也就是說系統能更快的跟蹤上控制指令信號，這一點對導彈的機動性來說是相當重要的。

當然施加的控制能量會增大，也就是說舵機偏轉幅度會增大。這時的最大跟蹤輸入指令相比LQR最優控制有所減小。但是，如果需要的最大輸入指令在LQR 最優控制所能承受的最大指令范圍之內，就能對其進行優化，優化時選取的輸入指令為設計需要的最大指令。優化之后，控制系統不僅能跟蹤上最大輸入指令，并且控制效果要優于LQR 最優控制。

如圖4所示，當Q=2，R=1時，LQR 最優控制所對應的最大輸入指令為2.5 g，假定需要的最大輸入指令為2 g，此時便可以對其進行ITAE 控制系統參數優化，優化后的系統階躍輸入為2 g時的響應曲線明顯要優于直接的LQR 最優控制，圖5為其對應的舵偏輸出角度?？梢钥闯?，經過ITAE 優化后舵偏輸出有接近飽和的現象，但可以接受。?

圖4 經過ITAE 準則優化后與LQR方法階躍響應對比曲線

圖5 經過ITAE 準則優化后與LQR方法舵偏輸出對比曲線

5 結論

本文針對靜不穩定導彈，建立了導彈縱向運動線性化模型。對導彈的俯仰通道進行了基于最優控制的三回路過載控制器設計，并選取特征點進行控制系統仿真，結果表明三回路過載控制方法能較好地控制靜不穩定導彈。此外，采用基于最優控制器設計的控制參數尋優方法對控制系統參數進行了優化。從優化結果可以看出，在滿足戰術需求的過載情況下，優化后的控制系統能使導彈具有更快的跟蹤性能、更好的機動能力，舵機僅接近飽和。

[1]李世雄,張友安.靜不穩定導彈俯仰通道三回路過載控制與仿真研究[J].計算機仿真,2009（增刊）:137-141.

[2]柳玉甜,陳欣.無人飛行器靜穩定性問題的研究[J].現代防御技術,2004,32(5):11-14.

[3]錢杏芳,林瑞雄,趙亞男.導彈飛行力學[M].北京:北京理工大學出版社,2003:178-179.

[4]CURTIC P MRACEK,D BRETT RIDGELY.Missile longitudinal autopilots:connections between optimal control and classical topologies[C]//AIAA GNC Conference SanFrancisco,CA.2005.

[5]CURTIC P MRACEK,D BRETT RIDGELY.Missile longitudinal autopilots:comparison of multiple three loop topologies[C]//AIAA GNC Conference SanFrancisco,CA.2005.

[6]ADAMS R J,CONRARDY N M.Design plant manipulations for implementation of an LQR controller in a classical three loop autopilot[R].Raytheon Missile Systems,2003.

[7]薛定宇.控制系統計算機輔助設計[M].北京:清華大學出版社,2005:312-321.

[8]劉興堂.導彈制導控制系統分析、設計與仿真[M].西安:西北工業大學出版社,2006:170-175.