變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)中的混沌現(xiàn)象

楊 侃，熊文君

（1.海軍航空工程學(xué)院 控制工程系，山東 煙臺(tái) 264001；2.揚(yáng)州大學(xué) 水利學(xué)院，江蘇 揚(yáng)州 225000）

混沌現(xiàn)象出現(xiàn)于非線性系統(tǒng)中，揭示了有序與無序的統(tǒng)一，確定性與隨機(jī)性的統(tǒng)一。對(duì)混沌現(xiàn)象的研究不但在自然科學(xué)領(lǐng)域受到人們的極大關(guān)注，而且已擴(kuò)展到人文學(xué)科，如經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會(huì)科學(xué)等領(lǐng)域。涉及混沌的非線性系統(tǒng)的微分方程不可能用解析方法求解，所以混沌概念是與計(jì)算機(jī)等學(xué)科分不開的。自然界和人類社會(huì)中廣泛存在混沌這一事實(shí)已被普遍接受，如何應(yīng)用混沌研究的成果為人類服務(wù)已成為非線性科學(xué)發(fā)展提出的重要課題之一[1]。

變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)是一種典型的非線性系統(tǒng)。在滑模變結(jié)構(gòu)控制中，滿足了滑模的存在性及可達(dá)性條件，系統(tǒng)狀態(tài)是不是一定漸近收斂呢？

1 混沌的定義

混沌科學(xué)的發(fā)展引起各學(xué)科的興趣，但作為科學(xué)術(shù)語，混沌沒有被普遍認(rèn)可的定義。從概念上來講，混沌是指確定性系統(tǒng)中所產(chǎn)生的類似隨機(jī)的不確定輸出，是非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)在一定條件下所表現(xiàn)的一種運(yùn)動(dòng)形式，它是非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)運(yùn)行過程中的又一定常狀態(tài)。作為一種確定性的非線性運(yùn)動(dòng)，它的運(yùn)動(dòng)軌跡非常復(fù)雜但又并不完全隨機(jī)。因此可見，非線性是產(chǎn)生混沌的必要條件，但并非任何非線性系統(tǒng)都會(huì)產(chǎn)生混沌，一般認(rèn)為當(dāng)系統(tǒng)具有下列數(shù)值特征時(shí)則發(fā)生了混沌[2]：

1）系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡表現(xiàn)為奇怪吸引子現(xiàn)象。

2）系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的功率譜具有連續(xù)譜上迭加有尖峰的特點(diǎn)。狀態(tài) x (t)的功率譜密度 Sx(ω)是它的自相關(guān)函數(shù) Rx(τ)的傅里葉變換[3]，

3）系統(tǒng)中至少有一個(gè)李雅普諾夫指數(shù)大于0。對(duì)一個(gè)實(shí)際的系統(tǒng)，李雅普諾夫指數(shù)的計(jì)算非常困難，當(dāng)考慮到外界干擾和系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或參數(shù)不完全清楚時(shí)，系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)的求取甚至是不可能的[4]。

2 系統(tǒng)模型的描述及動(dòng)力學(xué)方程的建立

設(shè)一單輸入二階定常線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：

取切換函數(shù)

在切換線（s=0）上有

該系統(tǒng)采用比例切換的控制策略，即

式中：α、β 均為實(shí)數(shù)。

要同時(shí)滿足滑模的存在性及可達(dá)性條件，應(yīng)有

3 仿真結(jié)果及分析

考察系統(tǒng)2），先看一個(gè)系統(tǒng)狀態(tài)能夠漸近收斂到原點(diǎn)的情況。取b=1，c=0.5，α=10，β=?10，a2=2，a1=0.5，初始條件為x1=x2=20。相平面圖與功率譜圖分別見圖1～4。

圖1 相平面

圖2 相平面的局部放大圖

圖3 功率譜

圖4 功率譜的局部放大圖

下面3種情況都出現(xiàn)了混沌現(xiàn)象。

取b=1，c=0.5，α=10，β=?10，a2=2，a1=1.22，初始條件為x1=x2=20。相平面圖與功率譜圖分別見圖5～8。

圖5 相平面

圖6 相平面的局部放大圖

圖7 功率譜

圖8 功率譜的局部放大圖

取b=1，c=0.5，α=10，β=?10，a2=2，a1=?1.2，初始條件為x1=x2=20。相平面圖與功率譜圖分別見圖9～12。

圖9 相平面

圖10 相平面的局部放大圖

圖11 功率譜

圖12 功率譜的局部放大圖

取b=1，c=0.5，α=10，β=?10，a2=2，a1=?3，初始條件為x1=x2=20。相平面圖與功率譜圖分別如見圖13～16。

圖13 相平面

圖14 相平面的局部放大圖

圖15 功率譜

圖16 功率譜的局部放大圖

以上3種情況都滿足滑模的存在性及可達(dá)性條件，但由于出現(xiàn)混沌，相軌跡最終都沒到達(dá)原點(diǎn)。

4 結(jié)論

在實(shí)際的變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)中，滿足滑模的存在性及可達(dá)性條件并不能保證系統(tǒng)狀態(tài)漸近收斂到原點(diǎn)，因?yàn)橄到y(tǒng)可能存在混沌現(xiàn)象。混沌對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和收斂性會(huì)造成有害的影響。

[1]潘洪明.復(fù)擺振動(dòng)中的混沌現(xiàn)象[J].物理實(shí)驗(yàn),2006,26(9):10-13.

[2]楊亮.DC-DC 開關(guān)變換器混沌現(xiàn)象的研究[D].天津:天津大學(xué),2003.

[3]WU YUN-JIE,LIU ZHENG-HUA,ZHAO YUANYUAN.Study on chaotic behavior of control systems[J].系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào),2006,18(11):3168-3171.

[4]宋運(yùn)忠.混沌控制與反控制若干問題研究[D].杭州:浙江大學(xué),2006.